عدد طبيعي

الغرابيل

اختبار أولية عدد ما مقابل البرهان على ذلك

إذا كان: ، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

من جهة ثانية، كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.

وفي هذا الصدد، إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.

• لكن يمكن مع ذلك كتابة:
• إذا كان p غير أولي فإن متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
• الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

من جانب آخر، عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا

وعلى صعيد آخر، مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن:

ومن ناحية أخرى، برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.

تحليل عدد صحيح

كذلك، تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 32·5.

11 = 11

أمثلة أخرى:

ومن خصائصها الجبرية: الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب

كذلك، التبادلية، الجمع عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة:a + b = b + a. الضرب عملية تبديلية في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة: a × b = b × a.

¤ الأعداد الطبيعية تكتب من دون فاصلة /./ ومن دون كسر 1/3

من جهة ثانية، وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.

في هذا الإطار، ملاحظة: لم يعتبر الكثير من علماء الرياضيات الإغريق الواحد عددا. فبالنسبة إليهم، اثنان هو أصغر عدد.

إضافةً إلى ذلك، توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c

التجميعة، الضرب عملية تجميعية: c × (b × a) = (c × b) × a.

تاريخ

في هذا الإطار، لا وجود لقواسم الصفر، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0..

نرمز له بالرمز pgcd

• مثال:
• pgcd(126;90)=18
• pgcd(4;9)=1

عن طريق القسمة المتكررة

وفي هذا السياق، الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.

الأعداد الطبيعية: تجريد للأشياء الحقيقية

علاوةً على ذلك، يُدعى هذا التمرين الفكري التجريد. نُجرّد الشيء من صفته ليصبح كميّة فقط.

كذلك، لذا ظهرت أشياء لا توجد في الحقيقة، يمكن تغيير أمكانها في ما بينها. هي أشياء لا علاقة لها بالحقيقة، لا توجد إلاّ في الخيال. لذا سنكتب «واحد 1» «اثنان 2» «ثلاثة 3»... ثلاثة ماذا؟ ثلاثة من هذه الأشياء التي اخترعناها ولا وجود لها، ثلاثة «وحدات».

كذلك، تملك الأشياء والحيوانات خاصية مشتركة: في سلة ما، كلّ التفاحات منفصلة وتتشابه بعض الشيء. في قطيع غنم، تتشابه الحيوانات وهي منفصلة.

علاوةً على ذلك، و لو افترضنا أنّ أ هو عدد التفاحات وج هو عدد الأغنام، هذان العنصران يمكن التعامل معهما رياضيًّا مهما كانت الأشياء التي تمثلها.

من جانب آخر، لقد وجدنا إذا خاصية مهمّة وهي خاصية المجموعات العدودة) ولقد اخترعنا عدادا خياليا لا يملك إلا هذه الخاصية. وهذا الشيء هو الوحدة.

الأعداد الزوجية والأعداد الفردية

علاوةً على ذلك، العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة.

• نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
• عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: .
• عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: .
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
• عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: .
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال: .
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال: .
• ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال: .
• عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:
• إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
• أمثلة: .
• إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
• أمثلة: .
• إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
• أمثلة: .
• إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
• أمثلة: .

إضافات

علاوةً على ذلك، أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b، فإذا آان الجواب لا، أتابع البحث إن آان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.

طريقة لتحديد القاسم المشترك الآكبر للعددين a و b حيث a>b

طريقة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b حيث a>b

• طريقة لتحديد ما إذا كان العدد a أوليا أم لا
• نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p<a
• -إذا كان a يقبل القسمة على أحد هذه الأعداد فان a غير أولي
• -إذا كان a لا يقبل القسمة على أي عدد من هذه الأعداد فان a أولي
• تعريفات رسمية

من جانب آخر، أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أكبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آن الجواب لا، أتابع البحث ان كان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b.

مسائل خاصة بالأعداد الفردية والزوجية

ومن جهة أخرى، حدسية غولدباخ حدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).

إضافةً إلى ذلك، الأعداد المثالية العدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من .

وفي هذا الصدد، الأعداد الأولية العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.

تعريف

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين

من جهة ثانية، القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو اآكبر قاسم مشترك لهما

التعريفات الحديثة

علاوةً على ذلك، من بعد فريجه، قدم بيرس تعريفًا، وحَسَّنَهُ ديديكيند، وطوره بيانو بصورة أكبر فيما يعرف الآن بمسلمات بيانو. وهو يعتمد على مسلمات خصائص الأعداد الترتيبية: حيث كل رقم طبيعي له خَلَفْ وكل رقم طبيعي غير صفري له سَلَفْ متفرد. مسلمات بيانو مُكافِئَة للعديد من نظم نظرية المجموعات الضعيفة. أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية (Axiom of infinity) بما ينفيها. نظرية جودشتاين (Goodstein's theorem) من النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولا اثبات لها بمسلمات بيانو.

وفي هذا الصدد، بسبب انتقادات الطبيعانيين، رأي البنائيون (constructivists) الحاجة لتطوير أساس الرياضيات المنطقي ليصبح أكثر دقة.

علاوةً على ذلك، في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح جراسمان لأول مرة وباستخدام الاستقراء الرياضي تعريفًا ذاتيًا للأعداد الطبيعية، بدءًا بالصفر ثم مضيفا له واحد (قيمة سماها e) للحصول على الرقم التالي، هو ما يعني بالتبعية أنها نتاج لاستخدام دالة الاستقراء f(n+1) المعرفة بدورها من الدالة الأولى f(0) وليست نتاج طبيعي بشكل تام.

وعلى صعيد آخر، في هذه التعريفات، يسهل إدراج 0 (ويقابله المجموعة الخالية) كرقم طبيعي. إدراج 0 هو الآن تقليد متعارف عليه بين علماء نظرية المجموعات والمنطقيين. وكذا يدرج علماء الرياضيات الآخرون الصفر ولغات الحاسوب كذلك تستعمل نظم عد تبدأ بالصفر عند تعداد العناصر كـ عدادات الحلقات وعناصر السلسلة أو المصفوفات. لكن على الجانب المقابل، تمسك كثيرون من علماء الرياضيات بالتقاليد القديمة معتبرين 1 أول رقم طبيعي.

من جهة ثانية، بدأ فريجه تعريف الأرقام مستعملا نظرية المجموعات. في البداية عرَّفَ الرقم الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تكون في تقابل واحد لواحد مع مجموعة معينة. ولكن أدى هذا التعريف لمفارقات، كمفارقة راسل. لتجنب ذلك، عُدِّلَ التعريف لينص على أن الرقم الطبيعي هو مجموعة بعينها، وأن أي مجموعة في تقابل واحد لواحد معها تحوي هذا العدد من العناصر.

من جانب آخر، في القرن التاسع عشر في أوروبا، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول ماهية الأعداد الطبيعية. مثلًا هنري بوانكاريه ممثلا للفلسفة الطبيعانية نَقَدَ تعريف الرياضيون (كـ فريجه، وديدكايند، وراسل) الأرقام منطقيًا لأنه سيؤدي لتناقضات والوقوع في فخ التعريفات الدائرية، بدلا من ذلك اعتبر أن الأرقام هي نتاج طبيعي للنفس البشرية وطبيعة الأشياء من حولنا، وهي تتوافق مع رؤية كرونيكر، الذي قال «خَلَقَ الله الأعداد الصحيحة، غير ذلك من صنيع البشر».

خصائص الأعداد الأولية

• أمثلة
• ppcm (4;9) = 36
• ppcm (6;10)=30

ومن ناحية أخرى، إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان.

في هذا الإطار، إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.

علاوةً على ذلك، المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

• ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم
• نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk
• لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
• للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*
• ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين

إضافةً إلى ذلك، أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.

كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.

25 = 5 × 5 = 52

• 125 = 5 × 5 × 5 = 53
• 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 23 × 32 × 5
• انظر كذلك
• التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
• مجموعة قابلة للعد
• عدد صحيح
• ملاحظات

اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية

وعلى صعيد آخر، هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.

خصائص جبرية

من جانب آخر، الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب: مهما كان a و b عددين طبيعيين، فإن كلا من a + b و a × b هما عددان طبيعيان.

وفي هذا الصدد، التبادلية، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة: و.

كذلك، التجميعة، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان: مها كانت a و b و c أعدادا طبيعية، فإن و.

من جانب آخر، وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.

كذلك، لا وجود لقواسم الصفر، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0.

من جهة ثانية، لعملتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية مجموعة من الخصائص الجبرية:

من جهة ثانية، توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية:a × (b + c) = a × b + a × c

الترميز

الأعداد الطبيعية بدون الصفر:

الأعداد الطبيعية مع الصفر:

وفي السياق ذاته، يستعمل علماء الرياضيات الرمز أو للإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. التي أسستها نظرية المجموعات. أحيانا استعمل الرمز في الكتابات القديمة للإشارة لهذه المجموعة.

من جانب آخر، ونظرًا لأن العنصرين و لهما خصائص مميزة (كعناصر محايدة للجمع والضرب، على التوالي)، فمن المهم معرفة نوع الأرقام الطبيعية المستعمل. يمكن ذلك عن طريق الشرح داخل النص (بكتابة عناصر المجموعة)، أو بوضع علامة علوية أو منخفضة، كالمثال التالي:

ومن ناحية أخرى، بشكل آخر ونظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل طبيعيًا مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة (غالبًا ما لذا يمكن الإشارة إليها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة. لتوضيح إذا كان الرقم 0 مدرجًا أم لا، يتم أحيانًا إضافة حرف سفلي (أو علوي) "0" في الحالة الأولى (الأعداد الموجبة)، ويتم إضافة حرف علوي "" في الحالة الأخيرة (غير السالبة):

الجذور القديمة

كذلك، والبابليون كان لديهم نظام عد قيمة الموضع اعتمد على الأرقام من 1 إلى 10، مستعملا قاعدة ستينية، وفيه رمز العدد 60 هو نفس رمز العدد 1 ويميز بينهم السياق.

ومن ناحية أخرى، في البدايات مُثِلَت الأرقام الطبيعية عن طريق وضع علامة للشيء المعدود. منها تطور لمقارنة الأشياء المعدودة بأخرى لمعرفة الزيادة والنقصان أو المساواة - عن طريق حذف شيء وشطب علامته أو إضافة آخر مع علامة له وهكذا.

ومن جهة أخرى، ، وبالتالي بحسب تعريفه، فإن الوحدة (الرقم 1) ليست عددًا، ويعرف العدد على أنه الكمية المؤلفة من الوحدات.

من جانب آخر، استعملت حضارات الأولمك والمايا الصفر كرقم نحو بدايات القرن 1 ق م، لكنه لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى.

وفي هذا الصدد، شكل نظام العد خطوة هامة في تطور تمثيل الأرقام، لأنه مَكَّنَ الإنسان من تسجيل أعداد كبيرة.

في هذا الإطار، أول دراسة منهجية للأرقام كمفهوم مجرد تُنسب عادة للفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس. اعتبر بعض علماء الرياضيات اليونانيون أن الرقم 1 يختلف عن الأعداد الأكبر منه، وأحيانًا لا يعتبر كعدد. ، مثلًا عرّف إقليدس أولًا الوحدة

من جانب آخر، كما دُرِسَتْ الأرقام على وجه التقريب في نفس الوقت في الهند والصين وأمريكا الوسطى.

إضافةً إلى ذلك، لاحقا تطور نظام العد ليشمل تخصيص رمز للصفر باعتباره رقم. استخدام رقم للصفر في نظام القيمة الموضعية يعود للبابليين نحو 700 ق. م.، حيث حذفوا هذا الرقم لو كان آخر رقم في العدد.

إضافةً إلى ذلك، فالمصريون القدماء كان لديهم نظام عد استعمل رموزا هيروغليفية مختلفة لتمثيل 1 و10 وجميع القوى من 10 لأكثر من 1مليون. فهناك نقش حجري في الكرنك يعود تاريخه إلى قرابة 1500قبل الميلاد (الآن في متحف اللوفر)، مثل فيه الرقم 276 كـ 2 من فئة المئات، و7 من فئة العشرات و 6 من فئة الآحاد. وبنفس الطريقة للرقم 4622.

من جهة ثانية، في العصر الحديث بدأ استخدام الصفر مع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا نحو 628 م. ولكن مع ذلك، استعمل ديونيسيوس الصغير في 525 م الصفر كرقم لحساب عيد الفصح، دون أن يُشار له كرقم (حيث لا تتضمن الأرقام الرومانية القياسية رمز الصفر). واستعملت مكانه كلمة nulla (أو صيغة المضاف nullae) من nullus ، وتعني باللاتينية «لا شيء»، للإشارة لقيمة الصفر.

عن طريق القسمة المتكررة

كذلك، الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.

الرموز المستعملة