عدد غير منطق

مجموعة الأعداد غير النسبية

• هي الجذور التي تكون مربعاتها ليست كاملة مثل 7√ و 5√
• انظر كذلك
• حد ديديكايند
• البرهان على أن e عدد غير كسري
• البرهان على أن عدد غير كسري
• عدد متسام
• جذر عدد
• الجذر التربيعي ل 2
• الجذر التربيعي ل 3
• الجذر التربيعي ل 5
• مجموعات الأعداد

مسائل غير محلولة

من جانب آخر، لا يُعرف هل العددان π + e و π − e هما نسبيان أم لا. وبشكل أكثر عموما، لا يُعرف هل يوجد عددان صحيحان m و n حيث يعلم العدد mπ + ne هل هو كسري أم لا. علاوةً على ذلك، لا يُعرف هل المجموعة {π, e} مستقلة جبريا أم لا على مجموعة الأعداد الكسرية Q.

علاوةً على ذلك، لا يُعرف هل πe و π/e و 2e و ee و eee و πe و π و الجذر التربيعي ل 2 ولغارتم طبيعي π و ثابتة كاتالان وثابتة أويلر-ماسكيروني γ أعداد كسرية أم غير كسرية.

الجذور التربيعية

وفي هذا الصدد، على وجه التقريب جميع الأعداد غير الكسرية هي أعداد متسامية وجميع الأعداد الحقيقية المتسامية هي أعداد غير كسرية (هناك كذلك أعداد متسامية عقدية). e r و π r أعداد غير كسرية إذا كان r ≠ 0، مثلًا، eπ هو عدد غير كسري.

في هذا الإطار، الجذر التربيعي ل 2 هو أول عدد عُرف عنه بأنه عدد غير نسبي. العدد الذهبي هو ثاني عدد اشتهر بكونه عددا غير كسري. الجذر التربيعي لأي عدد صحيح موجب ليس بمربع كامل هو عدد غير نسبي.

الأعداد غير الكسرية المتسامية والأعداد غير الكسرية الجبرية

حاليا

وعلى صعيد آخر، في القرن السابع عشر، صارت الأعداد التخيلية أداة قوية بين يدي أبراهام دي موافر وخصوصا ليونهارد أويلر.

وفي هذا السياق، لقيت الكسور المستمرة، لأنها شديدة الارتباط بالأعداد غير النسبية (عمل بييترو كاتالدي على ذلك في قرابة عام 1613)، اهتماما كبيرا من طرف ليونهارد أويلر، ومع بداية القرن التاسع عشر، جُلبت إلى شهرة كبيرة بفضل كتابات جوزيف لوي لاغرانج. كما أضاف دركليه ومساهمون آخرون إضافات كثيرة إلى هذا المجال.

ومن جهة أخرى، أدريان ماري ليجاندر، (في سنة 1794)، بعدما أن قدم دالة بيسل-كليفورد، أعطى برهانا يبين أن π2 عدد غير نسبي مما يدل مباشرة بأن π هو كذلك عدد غير نسبي. ولقد برهن على وجود الأعداد المتسامية لأول مرة من طرف جوزيف ليوفيل (1844، 1851). فيما بعد، برهن جورج كانتور (1873) على وجودهم بطريقة أخرى، مبرهنا بذلك وجود أعداد متسامية في أي مجال من الأعداد الحقيقية. في سنة 1873، برهن تشارلز هيرمت على أن e عدد متسام. ثم برهن فيردينوند فون ليندمان في سنة 1882، اعتمادا على نتائج هيرميت، على أن π هو كذلك عدد متسام. ولقد بُسط برهانه عام 1885 من طرف كارل ويرستراس، وبسط بشكل أكبر في عام 1893 من طرف ديفيد هيلبرت. وفي نهاية المطاف، بُسط هذا البرهان إلى مستوى ابتدائي من طرف أدولف هورفيتز وبول غوردان.

أمثلة للبراهين

ومن جهة أخرى، برهن يوهان هاينغيش لامبرت في سنة 1761، أن العدد π لا يمكن أن يكون نسبيا، وأن العدد en هو كذلك غير نسبي ما دام n يختلف عن الصفر.

العصور الوسطى

وفي هذا الصدد، كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم هو أول من قبِل بالأعداد غير الجذرية حلولا لمعادلات تربيعية أو معاملات لهن، عادة على شكل جذور تربيعية أو تكعيبية أو رباعية. عمل في المجال كذلك، عالم الرياضيات العراقي الهاشمي وعالم الرياضيات أبو جعفر الخازن.

في هذا الإطار، قد يكون قد قبِل علماء الرياضيات الأوروبيين الكثير من هذه المفاهيم بعد الترجمة إلى اللاتينية لعمل عالم الرياضيات والإرث المغربي أبي بكر الحصار، والذي عاش خلال القرن الثاني عشر في مدينة فاس. هو أول من أشار إلى استعمال الكسور عازلا البسط عن المقام بخط أفقي. ظهر هذا الرمز بُعيد ذلك في عمل ليوناردو فيبوناتشي في القرن الثاني عشر.

وعلى صعيد آخر، درس وصنف عالمُ الرياضيات الفارسي المهاني (توفي في عام بين عامي 874 و884) خلال تعليقه على الجزء العاشر لكتاب العناصر، الأعداد غير الكسرية التربيعية والأعداد غير الكسرية التكعيبية.

من جهة ثانية، في العصور الوسطى، طور علمَ الجبر علماء الرياضيات المسلمون. مكن ذلك من التطرق إلى الأعداد غير النسبية باعتبارها كائنات جبرية. وقد جمع علماء رياضيات الشرق الأوسط بين مفهومي العدد والمقدار، في فكرة واحدة أكثر عمومية تتمثل في الأعداد الحقيقية، كما انتقدوا مفهوم النسبة الذي قدمه أقليدس.

التاريخ

• انظر إلى الرياضيات الهندية.
• الإغريق
• الهند