عملية بواسون

عملية بواسون غير المتجانسة

في هذا الإطار، هكذا عدد الوصول في الفترة الزمنیة [a, b] تعطى بـ (N(b) − N(a یتبعها توزیع بواسون المرتبط بالمعامل λa,b

كذلك، عموماً معدل المعامل قد یتغیر مع الوقت. في هذه الحالة دالة معدل العمومیة تعطى بـ (λ(t العدد المتوقع من الإحداث بين الوقت a والوقت b هو

أیضاً تُعرف باللامتجانسة.

وفي السياق ذاته، عملیة بواسون المتجانسة ممكن أن تنظر على أنها حالة خاصة متى كان λ(t) = λ معدل ثابت.

أمثلة

في هذا الإطار، عدد المكالمات التي تصل على لوحة المفاتیح، أو نظام التحویل الآلي للمكالمات ممكن أن تُصف بعملیة بواسون.

علاوةً على ذلك، عدد الفوتونات التي تصدم لاقط الصور والتي تطلق من جهاز لیزري من الممكن تصنیفها كمثال على عملیة بواسون الغیر متجانسة. بعض المصادر الأخرى ممكن أن ترى الفوتونات على شكل حزمة أو مطلقة بدون حزمة.

علاوةً على ذلك، عدد قطرات المطر التي تسقط على مساحة واسعة ممكن أن تُصف بعملیة بواسون المكانیة.

علاوةً على ذلك، عدد قدوم الزبائن یمكن أن یمثل عموماً بعملیة بواسون في دراسة أنظمة الانتظار البسیطة.

انظر كذلك

إضافةً إلى ذلك، عدد المواد المطلقة من رادیو اكتف المتحللة بسبب عنصر متغیر ممكن أن تُصف بعملیة بواسون الغیر متجانسة، حیث النسبة تفسد بینما المادة تستقر.

مراجع

من جانب آخر، عدد طلبات الصادرة من صفحة ویب والتي تصل إلى الخادم أو مزود الخدمة یمكن أن تُصف بعملیة بواسون ما عدا في الظروف غیر العادیة مثل هجوم إنكار الخدمة أو بما یسمى الحشودالكاذبة.

الاستقرار: التي تقريباً نعني بها

ولذلك احتمالات هذه الإحداث متساویة:

ومن جهة أخرى، بشكل خاص، لنفرض وقت الانتظار حتى الوصول الأول. بشكل أوضح، هذا الوقت أكبر من t إذا وإذا فقط كان عدد الوصولات قبل الوقت t هو صفر. جمع هذه الخاصیة اللاحقة مع التوزیع الاحتمالي أعلاه لعدد إحداث عملیة بواسون المتجانسة في فترة زمنیة ثابتة یعطى كالتالي:

وعلى صعيد آخر، و لذلك وقت الانتظار حتى الوصول الأول لدیه توزیع أسي، بالتالي لدیه فقدان ذاكرة. لذلك من الممكن لإي شخص إن یثبت وبنفس الطریقة أن هذه الفترات الزمنیة الأخرى تشترك بنفس التوزیع. بالتالي هذه الفترات مستقلة ولدیها متغیرات عشوائیة متماثلة توزیعیاً مع معامل λ > 0، وقیمة متوقعة 1/λ. مثلًا إذا كان متوسط المعدل للوصولات 5 لكل دقیقة إذا معدل الانتظار ما بین الفترات الزمنیة 5/1 بالدقيقة.

من جهة ثانية، فقدان الذاكرة (والذي یسمى أیضا بالتطور بدون تأثیرات لاحقة.): أن عدد الوصولات التي تحدث في فترة زمنیة محدودة بعد الوقت t تكون مستقلة عن عدد الوصولات التي تحدث قبل الوقت t.

من جهة ثانية، الذي یشیر ضمناً أن الوصولات لا تحدث بنفس الوقت (بالحقیقة هذا بیان أقوى ریاضیا.)

من جهة ثانية، لشرح خاصیة الموزع الأسي للفترات الزمنیة، لنفرض عملیة بواسون المتجانسة (N(t مع معدل معامل λ. ولتكن Tk وقت وصول kth بحيث k = 1, 2, 3,.... بشكل واضح عدد الوصولات قبل الوقت الثابت t هو k إذا وإذا فقط كان وقت الانتظار حتى صول kth هو أكبر من t بالرموز، الحدث [ N(t) < k ] یحدث إذا وإذا فقط [ Tk > t ] حدث مسبقاً.

كذلك، و على ما یبدو هذه الشروط الغیر تقییدیة تفرض في الحقیقة الكثیر من التركیب في عملیة بواسون. بشكل خاص، هذه الشروط تشیر ضمنیاً إلى أن الوقت بین الإحداث المتتالیة (أو بما یسمى بالفترات الزمنیة) هو عبارة عن متغیرات عشوائیة مستقلة. بالنسبة لعملیة بواسون المتجانسة هذه الفترات الزمنیة موزعة أسیاً مع المعامل λ. أیضا خاصیة فقدان الذاكرة تثبت بأن عدد الإحداث في فترة زمنیة واحده هو مستقل عن عدد الإحداث في فترة زمنیة أخرى بشرط أن كلتا الفترتان لا تتقاطعان. وهذه الخاصیة اللاحقة تعرف باسم خاصیة الزیادات المستقلة لعملیة بواسون.

عملية بواسون المكانية

إضافةً إلى ذلك، في حاله خاصة دالة المعدل العمومیة هي داله مفصولة عن الوقت والمكان ونحصل:

وفي هذا السياق، ماعدا ذلك نحن قد نقیس بشكل ملائم الآن تمثل داله كثافة الاحتمال المكاني لهذه الأحداث العشوائیة في الحالات التالیة. أثر أخذ العینات لعملیة بواسون المكانیة تكافئ علمیة بواسون بدالة المعدل (λ(t وترتبط مع كل حدث عشوائي موجه مأخوذ دالة كثافة الاحتمال أي نتیجة مماثله ممكن أن ترى لحالة العمومیة (الغیر مفصولة).

لبعض الدالة . من غیر فقد للعمومیة تكون:

في هذا الإطار، الاختلاف الأخر لعملیة بواسون تسمى علمیة بواسون المكانیة تقدم اعتماد مكاني على دالة المعدل وتعطى بـ حيث لبعض فضاء المتجه V (مثلاً R2 وR3) لأي مجموعة (مثل منطقة مكانية) مع مقياس محدود، عدد من الأحداث التي تحدث داخل هذه المنطقة ممكن أن تشكل على أنها عملیة بواسون المرتبطة بدالة المعدل (λS(t وهذا:

الخصائص العامة لعملية بواسون

وفي هذا الصدد، بشكل عام، الشرطان الوحیدان اللاتي یجب أن توافرهما في العملیة العشوائیة لتكون عملیة بواسون هما كالتالي:

عملية بواسون المتجانسة

في هذا الإطار، حیث أن عملیة بواسون تتصف بالمتغیر العشوائي بواسطة عددیة المعامل λ فإن عملیة بواسون المتجانسة تتصف بمعدل المعامل λ وهو العدد المتوقع من «الأحداث» أو «الوافدین» التي تحدث لك لوحدة من وحدات الزمن. (N(t ھي نموذج من عملیة بواسون المتجانسة، وینبغي عدم الخلط بینها وبین الكثافة أو دالة التوزیع.

من جانب آخر، حیث أن (N(t + τ) − N(t یصف ویمثل عدد الأحداث في الفترة الزمنیة [t, t + τ).

وفي هذا الصدد، عملیة بواسون المتجانسة توصف بمعدل المعامل λ أیضا تعرف بالكثافة، حیث أن عدد الأحداث في الفترة یتبع توزیع بواسون الذي یرتبط بالمعامل . وهذه العلاقة تعطى كالآتي: