فرضية ريمان

توزيع الأعداد الأولية

كذلك، إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فإن قيمة الخطأ بين التكامل اللوغاريتمي لأويلر و (انظر إلى الدالة المعدة للأعداد الأولية وإلى أعمال هيلغ فون كوخ في هذا المجال) تستوفي المتفاوتة الآتية : لكل .

الأصل

نتائج

وعلى صعيد آخر، السبب الذي دفع ريمان لدراسة الدالة زيتا وجذورها هو إرتباطها بالصيغة الكاملة للدالة المعدة للأعداد الأولية ، التي تقوم بحساب عدد الأعداد اللأعداد الأولية الأقل من عددٍ ما . والتي قام بنشرها في ورقته عام 1859 «حول عدد الأعداد الأولية الأقل من مقدار محدد». الصيغة الكاملة ل هي :.بحيث أن هي الجذور غير البديهية لدالة زيتا لريمان، بالنسبة ل طالع دالة التكامل اللوغاريتمي.

الجذور على المستقيم الحرج

حسابات عددية

وفي السياق ذاته، بداية القرن العشرين، برهن غودفري هارولد هاردي وجون إيدنسور ليتلوود على أن هناك عددا لا نهائي من الأصفار لدالة زيتا على المستقيم الحرج.

إذن فإن القول بأن

ومن ناحية أخرى، بالنسبة لأي عدد موجب يكافئ فرضية ريمان. (انظر إلى رمز O الكبير)

نمو الدوال الحسابية

ومن جهة أخرى، من الأمثلة على ذلك، دالة موبيوس . كون المعادلة التالية:صحيحة عندما يكون الجزء الحقيقي ل أكبر قطعا من النصف، مع كون المجموع الموجود في يمين المعادلة متقاربا، يكافئ فرضية ريمان. نتيجة لذلك، يُمكن أن يُستنتج أنه إذا عُرفت دالة ميرتنز كما يلي:

وفي هذا الصدد، فرضية ريمان تفرض حدودا قصوى على مجموعة من الدوال الحسابية فضلًا عن الدالة المعدة للأعداد الأولية المتحَدث عنها أعلاه.

دالة زيتا لريمان

وعلى صعيد آخر، دالة زيتا لريمان تعرف بالنسبة لعدد عقدي ، جزئه الحقيقي أكبر قطعا من 1 بالمتسلسلة غير المنتهية والمتقاربة مطلقا، التالية:

وفي السياق ذاته، أثبت ليونهارد أويلر أن هذه المتسلسلة تساوي جداء أويلر والمعرف بما يلي :

من جهة ثانية، تتعلق فرضية ريمان بالجذور الواقعة خارج المنطقة التي تكون فيها هاته المتسلسلة متقاربة، ولهذا السبب، فإنه ينبغي لدالة زيتا لريمان أن تُمدد تحليليا إلى جميع الأعداد العقدية. انظر إلى دالة إيتا لدركليه.

دالة زيتا لريمان تستوفي المعادلة الدالية الآتية :

إضافةً إلى ذلك، حيث يشمل هذا الجداء غير المنتهي جميع الأعداد الأولية، وأيضا، يؤول إلى عدد معين عندما يكون الجزء الحقيقي ل أكبر قطعا من 1. كون جداء أويلر متقاربا عندما يكون الجزء الحقيقي ل أكبر قطعا من الواحد، يعني أنه ليس للدالة جذرا في هذه المنطقة.

الهندسة غير التبادلية

كذلك، في عامي 1999 و 2000، وصف ألان كن علاقة بين فرضية ريمان والهندسة غير تبديلية.