فضاء إقليدي
المحتويات
قبل الخوض في التفاصيل، الفضاء الإقليدي أو الفضاء المتجهي الإقليدي هو فضاء متجهي معرف على حقل الأعداد الحقيقية مزود بجداء سلمي (لكل عنصر و من ) و بُعده منتهٍ. الفضاء المتجهي مثال على الفضاء الإقليدي. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
من جهة ثانية، الفضاء الإقليدي هو الفضاء الرئيسي للهندسة الكلاسيكية. في الأصل كان هذا الفضاء معرفا فضاء ثنائيَ وثلاثيَ الأبعاد. فيما بعد، عُمم ليصبح من الدرجة n.
إضافةً إلى ذلك، قدم علماء الهندسة الإغريق مفهوم الفضاء الإقليدي من أجل نمذجة الكون. الإبداع الكبير الذي جاء به هؤلاء العلماء هو البرهان على جميع خصائص هذا الفضاء في شكل مبرهنات توصلوا إليها انطلاقا من مجموعة من الموضوعات أو المسلمات أو البديهيات. قسمت هذه البديهيات إلى صنفين اثنين، أحدهما هو ما هو بديهي ولا يحتاج إلى برهان (منها مثلًا، البديهية التي تنص على أنه لا يمر أكثر من خط مستقيم واحد من نقطتين معلومتين) والثاني هو ما يُعتقد استحالة البرهان عليه كما هو الحال بالنسبة إلى مسلمة التوازي.
ومن جهة أخرى، بعد تقديم الهندسة غير الإقليدية خلال القرن التاسع عشر، أعيدت صياغة الموضوعات القديمة من أجل إعطاء تعريف جديد للفضاءات الإقليدية من خلال نظام بديهيات. بُين أن تعريفا معتمدا على الفضاءات المتجهية والجبر الخطي يكافئ التعريف المعتمد على نظام البديهيات. هذا التعريف هو الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة.
التعامد
الزوايا
انظر إلى زاوية قائمة.
الإحداثيات الديكارتية
ومن ناحية أخرى، تتمثل هذه القاعدة في مجموعة من المتجهات كلهن متجهات وحدة (أي أن )، وحيث كل متجهتين منهن متعامدتين الواحدة منهما مع الأخرى (أي أن عندما يتوفر ).
إحداثيات أخرى
وفي هذا الصدد، كل فضاء متجي إقليدي يملك قاعدة ممنظمة متعامدة (فعليا، عدد هذه القواعد غير منته عندما يكون عدد الأبعاد أكبر من الاثنين، وعددهن يساوي الاثنين عندما يكون عدد الأبعاد مساويا لواحد).
الهندسة الإسقاطية
- انظر كذلك
- هندسة ريمانية
- نظام إحداثي ديكارتي
- نظام إحداثي قطبي
- فضاء هلبرت
في هذا الإطار، يمكن اعتبار الفضاء الإسقاطي امتدادًا للفضاء الإقليدي والذي يتضمن الكيانات اللانهائية.
في هذا الإطار، في الهندسة الإسقاطية ، يتكون الفضاء الإسقاطي من نقاط وخطوط ومستويات ، حيث يشمل كل من الكيانات النهائية (أو الكيانات العادية) والكيانات اللانهائية. التي لا تنتمي إلى الفضاء الإقليدي. وبالتالي ، فالاختلاف بين الهندسة الإقليدية والهندسة الإسقاطية يكمن في وجود الكيانات اللانهائية في الفضاء الإسقاطي ، مما يسمح بمعالجة الحالات الهندسية الخاصة بطريقة أكثر اكتمالًا وتماسكًا ، مثل التوازي بين الكيانات الهندسية الرئيسية المستقيمة التي لا تتقاطع في الفضاء الإقليدي.
البنية المترية
كذلك، الفضاء المتجهي ، مرتبطا بالفضاء الإقليدي هو فضاء جداء داخلي. انظر إلى شكل متماثل مزدوج الخطية
المسافة والطول
علاوةً على ذلك، المسافة (وبالتحديد المسافة الإقليدية) بين نقطتين اثنتين في فضاء إقليدي هي معيار المتجهة التي تعرف الإزاحة التي تربط نقطة بنقطة ثانية ؛ أي أن :
انظر إلى متباينة المثلث وإلى فضاء كامل.
الهندسة غير الإقليدية
من جانب آخر، عادة ما تشير الهندسة غير الإقليدية إلى هندسات حيث تكون موضوعة التوازي خاطئة. من بين هذه الهندسات، الهندسة الإهليلجية حيث مجموع زوايا مثلث تزيد عن المائة وثمانين درجة والهندسة الزائدية حيث مجموع زوايا مثلث تقل عن المائة وثمانين درجة. شكل المجيء بهن خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر ثم البرهان على أن نظريتهن متماسكة (إذا لم تكن الهندسة الإقليدية هي بدورها متناقضة) واحدا من المفارقات اللائي انبثقت منهن أزمة أسس الرياضيات خلال بداية القرن العشرين.
الطوبولوجيا
وفي هذا السياق، المجموعات المفتوحة هن مجموعات جزئية تحتوين على جوارات كروية حول كل نقطة من نقطهن.
وفي السياق ذاته، المسافة الإقليدية تجعل من الفضاء الإقليدي فضاءا متريا وبالتالي فضاءا طوبولوجيا.
ومن جهة أخرى، انظر إلى بُعد طوبولوجي وإلى تشابه الشكل البلوري وإلى طوبولوجيا فضاء جزئي وإلى فضاء كامل وإلى فضاء متراص محليا وإلى مجموعة محاطة.
فضاءات هندسية أخرى
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟