فضاء متجهي
المحتويات
تعريفًا بالموضوع، الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي أو الفضاء الشعاعي كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد، التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات أعدادا حقيقية، ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى موضوعات جاءت أسفله. فضاء المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزيائية مختلفة كالقوى وغيرها. ونتناول فيما يلي مزيدًا من التفاصيل.
المثال الأول: الأسهم في المستوى
ومن ناحية أخرى، في الوقت الحالي، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات والعلوم والهندسة، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية، وتُشكلن كذلك الإطار العام لدراسة متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور، ولتقنيات حلحلة المعادلات التفاضلية الجزئية. انظر كذلك إلى موتر ومتعدد شُعب وجبر تجريدي.
ومن جهة أخرى، فعندما تعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق والتجميعية، فإنه يوصل إلى وصف كائن رياضي يُدعى فضاءً اتجاهياً.
مقدمة وتعريف
ومن جهة أخرى، تدرس الفضاءات المتجهية في إطار الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي ببُعده. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى كالمعيار والجداء الداخلي.
وفي السياق ذاته، تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار الهندسة التحليلية والمصفوفات والمعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال.
في هذا الإطار، المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فمتعددات الحدود من الدرجة ≤n مثلًا، بمعاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً.
المثال الثاني: أزواج مرتبة من الأعداد
كذلك، المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية و (الترتيب الذي جاءا فيه العددان و مهم يعني بصفة عامة. لهذا السبب سمي هذا الزوج بزوج مرتب).
الأعداد العقدية وامتدادات حقول أخرى
مجموعة الأعداد العقدية C تكوّن فضاء متجهيا:
(.,+,C)
فضاء متري
روابط خارجية
فضاء (رياضيات)
قانون تركيب خارجي يرمز له بـ
حيث تحقق الخاصيات التالية :
نقول أن هو فضاء متجهي معرف على
هو فضاء متجهي على الحقل C
و . هو الضرب المألوف بين العداد العقدية
ومن جهة أخرى، يمكنك التحقق بنفسك ( كتمرين ) من أن هاذان القانونين + و . يحققان بدهيات الفضاء المتجهي
انظر كذلك إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية
حيث + هو الجمع بين الاعداد العقدية المألوف
فضاءات الدوال
- (f + g)(w) = f(w) + g(w)
- انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية.
- المعادلات الخطية
- القواعد والبُعد
- التطبيقات الخطية والمصفوفات
التاريخ
أمثلة
من جهة ثانية، تنبثق الفضاءات المتجهية من الهندسة التآلفية، من خلال تقديم الإحداثيات في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في نحو عام 1636، أسس كل من ديكارت وفيرما الهندسة التحليلية، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من منحنى في المستوى من جهة ثانية.
فضاءات الإحداثيات
وعلى صعيد آخر، عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس فضاءات الدوال من طرف هنري لوبيغ.
تعريف شامل
قانون تركيب داخلي يرمز له بـ
نعرف الفضاء المتجهي على أنه مجموعة مزودة بـ
ومن ناحية أخرى، لتكن مجموعة من العناصر (ليس بالضرورة أعداد) مزودة بقانون تركيب داخلي يرمز له بـ (ليس بالضرورة الجمع المألوف)
من جهة ثانية، وليكن حقل تبادلي (استعملت الرموزو لكي لا يتم الخلط بينها وبين و لكنها لا تعدو كونها مجرد رموز)
تسمية ونرميز
إضافةً إلى ذلك، عناصرتسمى الكميات القياسية أو كميات سُلمية (scalaire). مثل الأعداد الحقيقية أوالأعداد العقدية. عادة ما تُمَيـز عن المتجهات بكتابتها بحروف يونانية صغيرة .
من جانب آخر، عناصرتسمى المتجهات . تكتب عادة بحروف لاتينية صغيرة و غالبا ما تميز عن كونها مجرد أعداد برسم سهم فوق اسم المتجهة وخصوصا في الفيزياء والهندسة، أو ببساطة قد تكتب بخط غليظ
المصفوفات
- حيث تعني الجمع.
- القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
- فضاءات متجهية بُبنى إضافية
- فضاءات متجهية طوبولوجية
- فضاءات باناخ
- فضاءات هيلبرت
- تطبيقات
- التوزيعات
- تحليل فورييه
- الهندسة التفاضلية
- انظر كذلك
- نظام إحداثي ديكارتي
- متجه
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟