قاعدة روفيني

Q(-1) = 0 → x2 = -1

• مرة أخرى، بتطبيق قاعدة روفيني:
• (x² +3x +2) / (x +1) = (x +2) →
• → x³ +2x² -x -2 = (x-1)(x² +3x +2) = (x-1)(x+1)(x+2)

P(-2) = 0 → x3 = -2

• إيجاد الجذور بتطبيق قاعدة روفيني وبيان الحليل الكامل إلى عوامل
• P(x) = x³ +2x² -x -2
• الجذور الممكنة = {1, -1, 2, -2}

طريقة 2

علاوةً على ذلك، نبدأ تماما كالطريقة الأولى حتى نجد جذرا ممكنا. لاحقًا، بدلا من إعادة العملية مع باقي الجذور الممكنة، نستمر بفحص الجذور الممكنة عكس قاعدة رافيني عن الجذر المشروع الذي أوجدناه حتى يصبح لدينا معاملا متبقيا (تذكر أن الجذور يمكن أن تتكرر: إن وقعت فحاول مع كل جذر مرتين):

-1 – -1 -1 +2 -1 – -1 -1 +2

طريقة 1

ومن جهة أخرى، سنحاول تقسيم P(x) على ذات الحدين (x − كل جذر ممكن). إذا كان المتبقي 0، فإن العدد المختار يكون جذرا (والعكس صحيح):

+1 – +1 +3 +2 -1 – -1 -1 +2

تحليل المركبات

The easiest way is to use quadratic formula, which gives us

وفي السياق ذاته، But that is not completely factored over C. If we need to factor our polynomial to a product of linear factors, we must deal with that quadratic factor

من جهة ثانية، Extracting its rational roots and factoring it, we end with:

وفي هذا الصدد، To completely factor a given polynomial over C, the complex numbers, we must know all of its roots (and that could include irrational and/or complex numbers). For example, consider the polynomial above:

---- – --------

-1 – -2 -1 1

5. كرر الطرق 3 و4 حتى الانتهاء:

التاريخ

• طريقة هورنر نشرت في عام 1819 ثم عدلت في عام 1845.
• انظر كذلك
• طريقة هورنر
• مراجع

وفي هذا السياق، اخترعت هذه الطريقة من طرف باولو روفيني عندما شارك في منافسة نظمتها الجمعية العلمية الإيطالية (ذات الأربعين). تمثل السؤال فيمن يستطيع أن يجد حلحلة لمعادلة حدودية ما. فاز روفيني في هذه المنافسة ولقد كان ذلك في عام 1804. في عامي 1807 و 1813، نشر روفينيي تعديلات لطريقته هذه.

للحصول على حاصل القسمة، كثيرة حدود

• وباقي s.
• في الحقيقة الخوارزم هو قسمة مطولة لـ P(x) علىQ(x).
• لقسمة P(x) على Q(x):

r

وفي هذا السياق، 1. نأخذ معاملات P(x) ونكتبها على الترتيب. ثم نكتب r في أسفل الحافة اليسرى, تماما فوق السطور:

---- – ------- ---- – -------

• +2 – +2 +6 +1 – +1 +2
• ------ ------
• -2 – -2
• ----

قيود

إضافةً إلى ذلك، It is entirely possible that, when looking for a given polynomial's roots, we might obtain a messy higher-order polynomial for S(x) which is further factorable over the rationals even before considering irrational or complex factorings. Consider the polynomial x5 − 3x4 + 3x3 − 9x2 + 2x − 6. Using Ruffini's method we will find only one root (x = 3); factoring it out gives us P(x) = (x4 + 3x2 + 2)(x − 3).

وعلى صعيد آخر، For in this instance the quartic is actually factorable as the product of two quadratics (x2 + 1)(x2 + 2). These, at last, are irreducible over the rationals (and, indeed, the reals as well in this example); so now we are done; P(x) = (x2 + 1)(x2 + 2)(x − 3). In this instance it is in fact easy to factor our quartic by treating it as a معادلة رباعية; but finding such factorings of a higher degree polynomial can be very difficult.

إضافةً إلى ذلك، As explained above, if our assignment was to "factor into irreducibles over C" we know that would have to find some way to dissect the quartic and look for its irrational and/or complex roots. But if we were asked to "factor into irreducibles over Q", we might think we are done; but it is important to realize that this might not necessarily be the case.

Let

• Using the methods described above, the rational roots of P(x) are:
• Then, the product of (x − each root) is
• And P(x)/R(x):
• Hence the factored polynomial is P(x) = R(x) · 1 = R(x):
• مثال 2: مع وجود باقي

and the solutions

إضافةً إلى ذلك، However, it should be noted that we cannot in every case expect things to be so easy; the quadratic formula's analogue for fourth-order polynomials is very messy and no such analogue exists for 5th-or-higher order polynomials. See نظرية غالوا for a theoretical explanation of why this is so, and see تحليل عددي for ways to approximate roots of polynomials numerically.

So the completely-factored polynomial over C will be:

P(-1) = 0 → x2 = -1

P(2) = 12 → 2 ليس جذرا لكثيرة الحدود

وباقي (x³ +2x² -x -2)/(x-2) هو 12

---- – ----------

r

وفي هذا الصدد، 2. نمرر المعامل الواقع تماما إلى اليسار (an) إلى أسفل, تخت السطر:

is our polynomial; and

علاوةً على ذلك، If S(x) = 1, then we know R(x) = P(x) and we are done. Otherwise, S(x) will itself be a polynomial; this is another factor of P(x) which has no real rational roots. So write out the right-hand-side of the following equation in full:

وفي هذا الصدد، By the المبرهنة الأساسية في الجبر, R(x) should be equal to P(x), if all the roots of P(x) are rational. But since we have been using a method which finds only rational roots, it is very likely that R(x) is not equal to P(x); it is very likely that P(x) has some irrational or complex roots not in R. So consider

مثال 1: بدون باقي

are the roots we have found, then consider the product

, which can be calculated using قسمة متعددات الحدود.

ومن جهة أخرى، We can call this a complete factorization of P(x) over Q (the rationals) if S(x) = 1. Otherwise, we only have a partial factorization of P(x) over Q, which may or may not be further factorable over the rationals; but which will certainly be further factorable over the reals or at worst the complex plane. (Note: by a "complete factorization" of P(x) over Q, we mean a factorization as a product of polynomials with rational coefficients, such that each factor is irreducible over Q, where "irreducible over Q" means that the factor cannot be written as the product of two non-constant polynomials with rational coefficients and smaller degree.)

يمكن تطبيق قاعدة روفيني للتحقق من

وعلى صعيد آخر، إذا وجدنا p<n حلول نسبية فإننا ننتهي بتحليل جزئي (كما بالأسفل) إلى p عوامل خطية وأخرى غير خطية من الدرجة n-pوالتي بدورها يمكن أن يكون لها جذور غير نسبية أو مركبة.

كذلك، إذا وجدنا p=n جذور نسبية فإننا ننتهي بتحليل كامل (كما في الأسفل) إلى p=n عوامل خطية;

علاوةً على ذلك، وبالطبع، ما زال بالإمكان إيجاده بين الجذور الممكنة التي تم التحقق من سلفا والتي لم تفحص بعد (أي قيمة تم التحقق من أنها لن تكون جذرا لـ P(x) ليست جذرا لـ Q(x) كذلك; وبتعبير أدق, P(r)≠0 → Q(r)≠0).

في هذا الإطار، حتى ولو كنا نبحث عن الجذور فقط، فهذا يسمح لنا بتقييم كثيرات الحدود ذات الدرجات الأدنى تعاقبيا، طالما استمر التحليل.

• تذكر أن تفحص القيود للإجراء الكامل.
• أمثلة:
• إيجاد الجذور بدون استخدام قاعدة روفيني
• P(x) = x³ +2x² -x -2
• الجذور الممكنة = {1, -1, 2, -2}
• P(1) = 0 → x1 = 1

• Q(x) = P(x)/(x-r1).
• هذا يسمح لنا بتحليل كثيرة الحدود جزئيا بالصورة
• P(x) = (x -r1)·Q(X)
• أي جذر (نسبي) إضافي لكثيرة الحدود هو كذلك جذر لـ Q(x)

وفي هذا السياق، لذا، يمكن الاستمرار بتقييم Q(r) بدلا عن P(r), و(طالما أمكننا إيجاد جذر آخر r2) بقسمة Q(r) على(x-r2).

ومن جهة أخرى، إذا كما هي الحال غالبا، كنا نحلل كثيرة الحدود من الدرجة n، فإنه:

---- – ----------

علاوةً على ذلك، قيم b هي معاملات نتيجة كثيرة الحدود (R(x))، الدرجة التي أصبح أقل من سابقتها P(x) بمقدار واحد.القيمة الأخيرة التي نحصل عليها, s, هي الباقي. وكما نرى من نظرية باقي كثيرة الحدود, يكون هذا الباقي مساويا لـ P(r), قيمة كثيرة الحدود عند r.

هناك مثال عددي في الأسفل.

P(1) = 0 → x1 = 1

• إذن وبتطبيق قاعدة روفيني:
• (x³ +2x² -x -2) / (x -1) = (x² +3x +2) →
• → x³ +2x² -x -2 = (x-1)(x² +3x +2)
• هنا, r1=-1 وQ(x) = x² +3x +2

---- – --------

3. اضرب الأخير الذي حصلنا عليه بـr:

-1 – -2

---- – ----------

r – bn-1r

4. نضيف القيمتين اللتين وضعتهما في نفس العمود

قسمة كثرة الحدود على x − r

• بتطبيق الخوارزم الآن:
• 1. اكتب الفوارق r. لاحظ أنه, لأن P(x) لم تحو على معامل لـ x, فقد كتبنا 0:
• -1

لتكن:

وفي هذا السياق، نحن بصدد قسمة P(x) by Q(x) باستعمال قاعدة روفيني. المشكلة الرئيسية هي أن Q(x) ليست كثيرة حدود على الصورة x − r, بل x + r. ينبغي إعادة كتابة Q(x) بالطريقة التالية:

مثال تم العمل عليه في الوصف السابق.

---- – ----------

r – bn-1r

في هذا الإطار، 3. نضرب الرقم على اليمين تماما تحت السطر بـ r ونكتبه فوق الخط وحركة واحدة لليمين:

Let

• Using the methods described above, the rational roots of P(x) are:
• Then, the product of (x − each root) is
• And P(x)/R(x)
• As , the factored polynomial is P(x) = R(x) · S(x):

استعمالات القاعدة

كذلك، هناك تطبيقات عديدة لقاعدة روفيني، أغلبها يعتمد على القسمة المبسطة (كما هو مبين بالأسفل) أو الامتدادات العامة المعطاة كذلك فيما بعد بالأسفل..

---- – --------

-1 – -2

4. أضف القيم:

تحليل كثيرة الحدود

So if

علاوةً على ذلك، Having used the "p/q" result above (or, to be fair, any other means) to find all the real rational roots of a particular polynomial, it is but a trivial step further to partially تحليل إلى عوامل that polynomial using those roots. As is well-known, each linear factor (x − r) which divides a given polynomial corresponds with a root r, and vice versa.

---- – --------

• إذن, إذا كان العدد الأصلي = القاسم×حاصل القسمة+الباقي, فإن
• , حيث
• و

---- – -------- ---- – -------

---- – -------- ---- – -------

+2 – +2 +8 +14 -2 – -2 0 +2

---- – ----------

5. نعيد الخطوات 3 و 4 حتى ننتهي من الأعداد

r – bn-1r ... b1r b0r

طريقة 3

ومن ناحية أخرى، لكل جذر ممكن r، بدلا عن إجراء القسمة P(x)/(x -r)، نطبق نظرية باقي كثيرة الحدود, والتي تنص على أن باقي هذه القمسة يكون P(r)،أي كثيرة الحدود اللازمة لتقييم x = r.

إضافةً إلى ذلك، لذا، لكل r في مجموعتنا، تكون r جذرا لكثيرة الحدود إذا وإذا كان فقط P(r) = 0

وعلى صعيد آخر، تحقق من مجموعة الجذور الصحيحة أو النسبية لكثيرة الحدود بحسب نظرية الجذر النسبي.

مع هذا، عند إيجاد جذر مشروع، ليكن r1:

وفي هذا الصدد، هذا يوضح أن البحث عن الجذور الصحيحة والنسبية لكثيرة الحدود لاتحتاج لقسمة ولا لتطبيق قاعدة روفيني.

إيجاد جذور كثيرة الحدود

من جانب آخر، (هذا مثال بسيط لأنه أحادي (i.e. an = 1); بالنسبة لكثيرات الحدود الغير أحادية فإن الجذور الممكنة ستحوي بعض الكسور، ولكن عدد محدود منها فقط لأن، an وa0 لها عدد محدود من القواسم الصحيحة.) بأي حال, لكثيرات الحدود الأحادية، فإن كل جذر نسبي هو عدد صحيح، وعليه فإن كل عدد صحيح ليس سوى قاسم للحد الثابت. يمكن إثبات أن هذا التعبير يظل صحيحا لكثيرات الحدود الغير أحادية. بعبارة أخرى ولإيجاد الجذور الصحيحة لأي كثيرة حدود ذات معاملات صحيحة، فإنه يكفي فقط أن تفحص قواسم الحد الثابت.

من جهة ثانية، فإن جميع الجذورالنسبية الممكنة تمثل القواسم الصحيحة لـ a0 (−2):

إضافةً إلى ذلك، إذن، بوضع r مساوية لكل جذر من هذه الجذور الممكنة على الدور، فسوف نفحص كثيرة الحدود بـ(x − r). إذا كانت نتيجة حاصل القسمة بدون باقي، فقد أوجدنا الجذر.

من جهة ثانية، تخبرنا نظرية الجذر النسبي بأنه لكثيرة الحدود f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 التي كل معاملاتها (an إلى a0) أعداد صحيحة، الجذور النسبية الحقيقية تكون دائما على الصورة p/q, حيث p هو قاسم صحيح a0 وqهو قاسم صحيح لـ an. بالتالي إذا كانت كثيرة الحدود هي

من جهة ثانية، بإمكاننا اختيار أحد الطرق الثلاية التالية: وسوف تعطينا جميعها نفس النتيجة، باستثناء أن الطريقة الثانية والثالثة (عند تطبيق قاعدة روفيني لإيجاد تحليل) فقط يمكننا اكتشاف تكرار جذر معطى. تذكر أنه لايمكن لأي من هذه الطرق اكتشاف الجذور الغير نسبية أو المركبة.

---- – --------

2. مرر المعامل الأول في الأسفل:

-1