قانون الجيب

أهمية قانون الجيب

كذلك، يكثر استخدام قانون الجيب في مسائل التفكير العالي وفي البراهين والإثباتات في الهندسة الرياضية.

إثبات القانون

ومن ناحية أخرى، يستعمل قانون الجيب بشكل رئيس عند حساب طولي ضلعين مجهولين في مثلث بمعرفة طول الضلع الثالث وقياس أي زاويتين من زواياه الثلاث، تعد هذه المسألة من أشهر المسائل الرياضية في التثليث في حساب المثلثات.

وعلى صعيد آخر، يمكن استخدام قانون الجيب لمعرفة قياس زاوية ما في مثلث إذا علم طولا أي ضلعين فيه وقياس زاوية غير المحصورة بينهما، وفي هذا النوع من المسائل قد نصل أحياناً إلى ما يعرف بالحالة المبهمة للمثلث، حيث نحصل على قيمتين مختلفتين للزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين.

←

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم).

في حالة المثلثات الكروية

في حالة المثلثات الكروية، تنص الصيغة:

ومن جهة أخرى، هنا، ، و ، و هي الزوايا المركزية (الواقعة في مركز الكرة) التي تقابلها ثلاثة أقواس لمثلث السطح الكروي ، و و ، على التوالي. ، و، و هي زوايا السطح المقابلة لأقواسها.

في حالة المثلثات الزائدية

من جانب آخر، وهو مماثل للصيغة في الهندسة الإقليدية معبرًا عن جيب الزاوية باعتباره الضلع المقابل مقسومًا على الوتر.

في الحالة الخاصة عندما تكون زاوية قائمة، نتحصل على:

وعلى صعيد آخر، في الهندسة الزائدية، عندما يكون الانحناء يساوي ، يصبح قانون الجيب:

←

كذلك، و بتكرار الخطوات السابقة مرة أخرى نصل إلى ما تبقى من القانون.

←

علاوةً على ذلك، (الزاوية AMN = الزاوية C، نصف القطر R = AM، طول القطعة المستقيمة AN نصف طول القطعة AB).

علاقة قانون الجيب بالدائرة المحيطة بالمثلث

من جهة ثانية، إذا كان R نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث (الدائرة المحيطة بالمثلث أو الدائرة الخارجة للمثلث) فإن:

المثلث BMA متساوي الساقين فيه BM,AM يساويان نصف القطر R.

من جانب آخر، لإثبات ما سبق نرسم الدائرة المحيطة بالمثلث ABC والتي مركزها M ونصف قطرها R ونسقط عمود من M على AB يقطعه في N.

← AMN = ACB

ومن ناحية أخرى، قياس الزاوية ACB يساوي نصف قياس الزاوية AMB (قياس زاوية محيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تشترك معها في نفس القوس).

ومن ناحية أخرى، و قياس الزاوية AMN يساوي نصف قياس الزاوية AMB (من تطابق المثلثين AMN وBMN).

البرهان الثاني

وفي السياق ذاته، نسقط عمود من أي زاوية في المثلث ولتكن A على الضلع المقابل لها يقطعه في N.

في هذا الإطار، من المعلوم أن جيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية يساوي النسبة بين طولي الضلع المقابل لها والوتر.

• في المثلث ANC
• ←
• AN = b sin C
• و في المثلث ANB
• ←

AN = c sin B

مما سبق نصل إلى أن c sin B = b sin C ومنها نصل إلى القانون.

←

في الهندسة اللاإقليدية

وفي هذا السياق، و بما أن اختيارنا للزاوية C لم يكن لميزة خاصة بها فبإمكاننا تكرار ما سبق مع الزاويتين A،B.

(لأن AB = c).

البرهان الأول

حيث K مساحة المثلث ABC.

في هذا الإطار، في حساب المثلثات يمكن حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين وجيب الزاوية المحصورة بينهما بالعلاقة:

←

←

.

التاريخ

• اقرأ كذلك
• تثليث
• قانون جيب التمام
• قانون الظل
• قانون ظل التمام
• دالة الجيب
• دوال مثلثية
• صيغة مولفيده

وعلى صعيد آخر، نسبة إلى أوبيراتان دامبروزو وسيلين هيلين، فإن قانون الجيب قد اكتشف في القرن العاشر الميلادي. نسب إلى كل من العلماء الخجندي وأبو الوفا البوزجاني ونصير الدين الطوسي ومنصور بن عراق.

الحالة المبهمة

كذلك، أن يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة (الضلع a في حالتنا) أصغر طولاً من الضلع الآخر المعلوم (الضلع b) أي أن a <b.

أو

أن تكون الزاوية المعلومة A زاوية حادة (A <90°).

علاوةً على ذلك، أن يكون الضلع a أطول من ارتفاع المثلث القائم الذي وتره b وإحدى زاوياه A (أي a> b sin A).

في هذا الإطار، ولهذا سنحصل على قيمتين للزاوية B عند تحقق هذه الشروط الأربعة: إما أن تكون حادة B <90 أو أن تكون منفرجة B> 90.

وعلى صعيد آخر، في الواقع هذه الحالة ناتجة من إحدى خواص الدوال المثلثية وبالتحديد دالة الجيب لأن (Sin x = Sin (180-x.

ومن جهة أخرى، عند استخدام قانون الجيب لحساب قياس زاوية قد نحصل أحياناً على حلين مختلفين للمثلث، هذا يعني أنه يوجد مثلثان يتفقان في عناصر المثلث المعلومة ولكنهما يختلفان في قيم العناصر المجهولة. هذه الحالة تسمى الحالة المبهمة، ولا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق الشروط التالية:

كذلك، أن تكون العناصر المعلومة في المثلث هي طول ضلعين وليكونا b ، a وقياس زاوية غير المحصورة بينهما، ولتكن الزاوية A.