قانون بوكيرت

القيود

كذلك، عند إجراء الحساب لمعدل تفريغ منخفض، لا تأخذ المعادلة في الحسبان أن لكل بطارية معدل تفريغ ذاتي خاصًا بها.

• يُعد قانون بوكيرت أداة مفيدة للتقدير، إلا أن له عدة قيود، من بينها:
• لا تتضمن المعادلة تأثير درجة الحرارة على البطاريات.
• لا يؤخذ تقادم البطارية في الحسبان؛ إذ يزداد أس بوكيرت مع تقادم البطارية.

كذلك، ومن ناحية التقدير، يقترب قانون بوكيرت بدرجة أكبر من وصف الأداء الفعلي للبطارية مقارنةً بالاستقراء البسيط لتصنيف السعة بوحدة الأمبير·ساعة.

ساعات

في هذا الإطار، حيث و هما قيمتا السعة، بوحدة الأمبير·ساعة، و و هما زَمَنا التفريغ المقابلان عند تيار ثابت، بالساعات.

• أي أنها ستوفر 87 أمبير·ساعة فقط بدلًا من 100 أمبير·ساعة.
• ويمكن كذلك كتابة قانون بوكيرت على الصورة:
• وتمثل السعة الفعلية المتاحة عند معدل التفريغ .

أو، بدلالة قيمتي تيار تفريغ و:

كذلك، ويصبح قانون بوكيرت ذا أهمية محورية في السيارات الكهربائية، حيث تُستعمل بطاريات مصنفة عند معدل تفريغ قدره 20 ساعة، لكنها تُفرغ فعليًا خلال زمن أقصر بكثير قد يبلغ نحو ساعة واحدة. وعند تيارات الحمل المرتفعة، تبدد المقاومة الداخلية للبطارية الحقيقية قدرًا ملحوظًا من القدرة، مما يقلل القدرة المتاحة للحمل، إضافةً إلى الانخفاض الناجم عن قانون بوكيرت، فتكون السعة المتاحة أقل مما تتنبأ به معادلة القوة البسيطة.

كذلك، إذا كانت السعة معلومة عند معدلي تفريغ مختلفين، فيمكن حساب أس بوكيرت جبريًا من العلاقة:

من جانب آخر، ولو أُخذ قانون بوكيرت بحرفيته، لدل ذلك على أن كمية التفريغ الكلية تبلغ حدًا أقصى عندما يؤول الزمن إلى اللانهاية ويؤول معدل التفريغ إلى الصفر. وهذا مستحيل بطبيعة الحال، إذ إن البطارية تستمر في التفريغ الذاتي داخليًا سواء وُجد حمل خارجي أم لم يوجد. ويعتمد معدل التفريغ الذاتي على كيمياء البطارية ودرجة الحرارة المحيطة.

في هذا الإطار، وخلصت دراسة نقدية أجريت عام 2006 إلى أن معادلة بوكيرت لا يمكن استخدامها للتنبؤ بدقة بـحالة الشحن في البطارية إلا إذا جرى التفريغ عند تيار ثابت ودرجة حرارة ثابتة.

السلامة من الحرائق

إضافةً إلى ذلك، يمكن أن يؤدي تفريغ البطاريات بمعدلات شديدة الارتفاع إلى حدوث انفلات حراري. وعلى وجه الخصوص، إذا حدثت دائرة قصر داخلية في الخلية، فإنها تميل إلى ارتفاع درجة حرارتها وتسريب الإلكتروليت والاشتعال. وينتج الحريق حرارة إضافية قد تؤدي إلى انصهار الخلايا المجاورة، ومن ثم إلى مزيد من تسرب الإلكتروليت القابل للاشتعال. كما يمكن للحريق أن يرفع درجات حرارة الخلايا المجاورة، مما يؤدي بدوره إلى زيادة تيارات الأعطال المتاحة والحرارة المتولدة فيها. وقد تصبح التفاعلات المتسلسلة الناتجة عن هذا الانفلات شديدة جدًا.

وفي السياق ذاته، يوفر قانون بوكيرت قدرًا معينًا من السلامة من الحرائق في كثير من تصميمات البطاريات، إذ يحد من أقصى قدرة خرج يمكن أن توفرها البطارية. فمثلًا، يظل تشغيل محرك السيارة آمنًا حتى عند نفاد بطارية الرصاص الحمضية. ويتمثل الخطر الرئيسي للحرائق في بطاريات الرصاص الحمضية في الشحن الزائد، إذ ينتج عنه غاز هيدروجين. ويمكن التحكم في هذا الخطر بسهولة عن طريق الحد من جهد الشحن المتاح وضمان وجود تهوية أثناء الشحن لتصريف الهيدروجين الزائد. ويوجد خطر ثانوي عندما تتسبب الصفائح المكسورة داخل البطارية في حدوث دائرة قصر، أو عندما تعود الصفائح إلى الاتصال داخل البطارية فتتسبب في شرارة داخلية، مما قد يؤدي إلى اشتعال الهيدروجين والأكسجين المتولدَين داخل البطارية أثناء التفريغ السريع جدًا.

البطاريات

من جهة ثانية، فإذا كان أس بوكيرت مساويًا للواحد، لكانت السعة المتاحة مستقلة عن قيمة التيار. أما في البطاريات الحقيقية، فإن هذا الأس يكون أكبر من الواحد، وتقل السعة كلما زاد معدل التفريغ. وتتراوح قيمة في بطاريات الرصاص الحمضية عادةً بين 1.1 و1.3. وتختلف هذه القيمة باختلاف تقنية البطارية؛ فهي تتراوح عمومًا بين 1.05 و1.15 في بطاريات الرصاص الحمضية المنظمة بصمام من نوع الحصيرة الزجاجية الماصة (AGM)، وبين 1.1 و1.25 في البطاريات الهلامية، وبين 1.2 و1.6 في البطاريات المغمورة. كما يميل ثابت بوكيرت إلى الازدياد مع تقادم البطارية، أي إلى تراجع أدائها. وعند معدلات التفريغ المنخفضة، يجب مراعاة تيار التفريغ الذاتي للبطارية. أما عند معدلات التفريغ العالية جدًا، فتقدم البطاريات الفعلية سعة أقل مما يتنبأ به القانون باستخدام أس ثابت. ولا تأخذ المعادلة في الحسبان تأثير درجة الحرارة على سعة البطارية.

وفي السياق ذاته، تحدد الشركات المصنّعة سعة البطارية عند معدل تفريغ معين. فمثلًا، قد تُصنّف بطارية بسعة 100 أمبير ساعة عند تفريغها بمعدل يستغرق 20 ساعة لتفريغها بالكامل، أي بتيار قدره 5 أمبيرات في هذا المثال. وإذا جرى تفريغ البطارية بمعدل أسرع، فإن السعة المتاحة تكون أقل. ويصف قانون بوكيرت علاقة أسية بين تيار التفريغ، مقيسًا نسبةً إلى تيار مرجعي معين، والسعة المتاحة، مقيسةً نسبةً إلى السعة الاسمية، وذلك ضمن مدى محدد من تيارات التفريغ.

التفسير الفيزيائي

وفي هذا الصدد، فمثلًا، لننظر في بطارية تبلغ سعتها 200 أمبير·ساعة عند معدل C20؛ ويعني C20 معدل التفريغ خلال 20 ساعة، أي المعدل الذي يؤدي إلى تفريغ البطارية بالكامل خلال 20 ساعة، وهو في هذه الحالة 10 أمبيرات.

من جانب آخر، أما إذا فُرغت البطارية نفسها بتيار قدره 20 أمبيرًا، فقد لا تستمر إلا 5 ساعات، ولذلك ستوفر 100 أمبير·ساعة فقط. ومن ثم ستكون قريبة من الشحن الكامل بعد إعادة شحنها بكمية 100 أمبير·ساعة، في حين أن البطارية نفسها، إذا كانت قد فُرغت سابقًا بتيار أمبيرات واستمرت 20 ساعة، ستكون قريبة من الشحن الكامل بعد إعادة شحنها بكمية 200 أمبير·ساعة.

من جهة ثانية، إذا فُرغت هذه البطارية بتيار قدره 10 أمبيرات، فإنها ستعمل لمدة 20 ساعة، موفرةً سعتها الاسمية البالغة 200 أمبير·ساعة.

ومن ناحية أخرى، من سوء الفهم الشائع أن الطاقة التي لا توفرها البطارية بسبب قانون بوكيرت تكون «مفقودة»، كأن تتحول مثلًا إلى حرارة. وفي الحقيقة، يعود جهد البطارية إلى الارتفاع بمجرد رفع الحمل عنها، ويمكن عندئذ سحب مزيد من الطاقة منها. ويعود ذلك إلى أن القانون ينطبق تحديدًا على البطاريات التي تُفرغ عند تيار ثابت حتى بلوغ جهد القطع. فعندما تعجز البطارية عن توفير ذلك التيار دون أن ينخفض جهدها إلى ما دون جهد القطع، تُعد عندئذ مفرغة، رغم بقاء قدر ملحوظ من الطاقة فيها فعليًا.

من جانب آخر، وفي الواقع، ستستعيد البطارية التي فُرغت بمعدل مرتفع جدًا جزءًا من قدرتها مع مرور الوقت، ويمكن استعادة السعة المتبقية بعد ترك البطارية في حالة سكون لعدة ساعات أو ليوم كامل.

إضافةً إلى ذلك، وتفسر هذه التأثيرات سبب ارتفاع جهد البطارية من جديد بعد إزالة الحمل، وسبب إمكانية تفريغ البطارية بدرجة أكبر، مثل إعادة تشغيل مصباح يدوي بعد استنفاد بطاريته، وذلك بعد تركها فترة من الزمن دون إعادة شحنها.

إضافةً إلى ذلك، ويمكن كذلك سحب السعة المتبقية عن طريق خفض التيار. فمثلًا، عندما تبلغ البطارية في المثال السابق جهد القطع عند تفريغها بتيار قدره 200 أمبير، فإن خفض التيار تدريجيًا حسب الحاجة للمحافظة على الجهد عند قيمة قطع الجهد المنخفض سيتيح استخراج أغلب السعة المتبقية، وإن استغرق ذلك فترة زمنية أطول.

علاوةً على ذلك، ويحدث ذلك لأن العملية الكيميائية، وهي الانتشار المسؤول عن نقل المواد الفعالة داخل البطارية، تجري بمعدل محدود. ولذلك يؤدي تفريغ البطارية بسرعة إلى بلوغ الجهد مستوى القطع قبل الأوان، أي قبل استهلاك جميع المواد الفعالة الموجودة فيها. ومع مرور الوقت، تنتشر المواد الفعالة داخل الخلية؛ فمثلًا، ينتشر حمض الكبريتيك في بطارية الرصاص الحمضية عبر الصفائح الرصاصية المسامية والفواصل، فتصبح هذه المواد متاحة من جديد للتفاعل.

الصيغة الرياضية

• حيث:
• هو زمن التفريغ الاسمي، بالساعات.
• هي السعة الاسمية عند معدل التفريغ المحدد، بوحدة الأمبير·ساعة.
• هو تيار التفريغ الفعلي، بالأمبير.
• هو ثابت بوكيرت، وهو كمية لا بعدية.
• هو الزمن الفعلي اللازم لتفريغ البطارية، بالساعات.

• حيث:
• هي السعة عند معدل تفريغ قدره أمبير واحد، وتُقاس بوحدة الأمبير·ساعة.
• هو تيار التفريغ الفعلي، أي التيار المسحوب من الحمل، بوحدة الأمبير.
• هو الزمن الفعلي اللازم لتفريغ البطارية، ويُقاس بالساعات.
• هو ثابت بوكيرت، وهو كمية لا بعدية.

ومن ناحية أخرى، فمثلًا، إذا كانت بطارية مصنفة بسعة 100 أمبير·ساعة عند معدل تفريغ مدته 20 ساعة، وكان ثابت بوكيرت لها 1.2، وجرت إعادة تفريغها بتيار قدره 10 أمبيرات، فإنها ستُفرغ بالكامل خلال الزمن:

في هذا الإطار، ولما كانت السعة عند معدل تفريغ قدره أمبير واحد غير معطاة عادةً للخلايا العملية، فمن المفيد إعادة صياغة القانون بدلالة سعة ومعدل تفريغ معروفين:

إضافةً إلى ذلك، بالنسبة إلى معدل تفريغ قدره أمبير واحد، تُكتب صيغة قانون بوكيرت غالبًا على النحو التالي: