قطع مخروطي

القطع المكافئ:,

في هذا الإطار، القطع الزائد القائم هي حالة التماثل الوحيدة التي تكون حول و. لذلك فان دالتها العكسية هي نفس الدالة الأصلية.

القطع الزائد القائم:

من جهة ثانية، مثل هذه الصيغ تكون متماثلة حول محور x، وفيما يخصُّ الدائرة والقطع الزائد والناقص حول محور y و

القطع الزائد:

• يمكن كتابة هذه الصيغ القياسية في صورة معادلات وسيطية (بارامترية):
• الدائرة:
• القطع الناقص:
• القطع المكافئ:

الإحداثيات الديكارتية

من جهة ثانية، لاحظ أن A و B هي معاملات لا تمثل أي أطوال للمحاور الأكبر والأصغر كما سيتم تعريفها في القسم التالي

في تعبير المصفوفات تصبح المعادلات السابقة كالتالي:

ومن ناحية أخرى، في النظام الإحداثي الديكارتي يكون منحنى دالة تربيعية في متغيرين دوما قطعا مخروطيا، وكل القطوع المخروطية تتكون بهذه الطريقة. معادلتها تكون في الصورة:

أو

• حيث , , ليسوا جميعًا أًصفارًا.
• نحسب المميّز لمعرفة نوع القطع.
• إذا كان ، نحصل على معادلة قطع ناقص (مالم يكن المخروط منحلا، مثلًا )؛
• إذا كان و المعادلة تمثل دائرة؛
• إذا كان ، نحصل على معادلة قطع مكافئ.
• إذا كان ، نحصل على معادلة قطع زائد.
• أيضاًإذا كان ، نحصل على معادلة قطع زائد قائم.

أوروبا

وفي هذا السياق، مدّد يوهانس كبلر نظرية القطوع المخروطية من خلال «مبدأ الاستمرارية»، مقدمة لمفهوم النهايات. استعمل كيبلر مصطلح foci «البؤر» لأول مرة عام 1604.

من جانب آخر، طور جيرار ديزارغ وبليز باسكال نظرية القطوع المخروطية باستخدام شكل قديم للهندسة الإسقاطية، مما ساعد على توفير الدفع لدراسة هذا المجال الجديد. على وجه الخصوص، اكتشف باسكال مبرهنة تُعرف باسم «النجمة السداسية المُلْغَزَة» (hexagrammum mysticum) والتي يمكن من خلالها استنتاج الكثير من الخصائص الأخرى للقطوع المخروطية.

من جهة ثانية، قام كل من رينيه ديكارت وبيير فيرمات بتطبيق الهندسة التحليلية المكتشفة حديثًا على دراسة القطوع المخروطية. كان لهذا تأثير الحد من المشاكل الهندسية للقطوع المخروطية إلى مشاكل في الجبر. ومع ذلك، كان جون واليس في كتابه 1655 أطروحة Tractatus de sectionibus conicis هو الذي عرّف أولاً القطوع المخروطية على أنها نماذج لمعادلات من الدرجة الثانية. كُتِب في وقت سابق، ولكن تم نشره لاحقًا، يبدأ الكتاب Elementa Curvarum Linearum ليوهان دي فيت بإنشاء كيبلر الكينيماتيكي للقطوع ثم تطوير المعادلات الجبرية. وُصِف هذا العمل، الذي يستعمل منهجية فيرما وتدوين ديكارت بأنه أول كتاب حول هذا الموضوع. صاغ دي فيت مصطلح Directrix.

مينايخموس والأعمال القديمة

إضافةً إلى ذلك، يعتقد أن التعريف الأول لقطع مخروطي قدمه مينايخموس (توفي عام 320 قبل الميلاد) وكان جزءًا من حله لمسألة ديلية (مضاعفة المكعب). لم ينجُ عمله، ولا حتى الأسماء التي استعملها لهذه المنحنيات، وهو معروف فقط من خلال الحسابات الثانوية. يختلف التعريف المستعمل في ذلك الوقت عن التعريف المستعمل اليوم. أنشئت المخاريط من خلال تدوير مثلث قائم حول أحد ساقيه، لذا فإن الوتر يولد سطح المخروط (يسمى هذا الخط مولد السطح). حُدِّدت ثلاثة أنواع من المخاريط من خلال زوايا قمة الرأس (تقاس ضعف الزاوية التي شكلها وتر المثلث والساق التي تدور حولها في المثلث القائم). ثم حُدِّد القطع المخروطي عن طريق تقاطع أحد هذه المخاريط مع مستوي مرسوم عموديًا على المولد. يتم تحديد نوع القطع من خلال نوع المخروط، أي من خلال الزاوية المتشكلة في قمة المخروط: إذا كانت الزاوية حادة، فإن القطع الناتج هو قطع ناقص؛ إذا كانت الزاوية قائمة، فإن القطع الناتج هو قطع مكافئ؛ وإذا كانت الزاوية منفرجة، فإن القطع الناتج هو قطع زائد (ولكن فقط فرع واحد من المنحنى).

علاوةً على ذلك، يقال أن إقليدس (نحو 300 قبل الميلاد) كتب أربعة كتب عن القطوع المخروطية ولكن فقدت كذلك. ومن المعروف أن أرخميدس (توفي عام 212 ق.م) درس القطوع المخروطية، بعد أن حدد المساحة التي يحدها القطع المكافئ والوتر في كتابه «تربيع القطع المكافئ». كان اهتمامه الرئيس في قياس مساحات وأحجام الأشكال المتعلقة بالقطوع، وقد بقي جزء من هذا العمل في كتابه عن المجسمات الدورانية للقطوع «عَنِ الْمَخروطانِيّات والْكُرَوانِيّات».

القطع الزائد: أو

القطع الزائد القائم:

- e معامل الاختلاف المركزي

علاوةً على ذلك، وتسمى القطوع المكافئة والناقصة والزائدة بالقطوع المخروطية، لأنه يمكن أن تتولد نتيجة قطع السطح المخروطي بمستو في وضع معين.

من جهة ثانية، إذا كان الاختلاف المركزي مساويا للوحدة (يساوي الواحد) سُمِّيَ المنحنى قطعًا مكافئًا (Parabola)، وإذا كان الاختلاف المركزي أقل من الوحدة سمي المنحنى قطعا ناقصا (Ellipse)، وإذا كان الاختلاف المركزي أكبر من الوحدة سمي المنحنى قطعا زائدا (Hyperbola).

- و m هي مسقط العمودي ل P على الدليل.

على سبيل المثال القطع المخروطي

إضافةً إلى ذلك، يدعى مميز القطع المخروطي. إذا كان δ == 0 فالقطع المخروطي مكافئ، إذا كان δ<0 فهو زائد، واذا كان δ>0 فهو ناقص. إذا كان δ>0 و A1 = A2 فهي دائرة، أما إذا كان δ<0 و A1 == -A2 فهو قطع زائد قائم. يمكن اثبات أنه في مستوى الإسقاط المركب CP2 قطعين مخروطيين بينهما 4 نقاط مشتركة (إذا أخذنا في الاعتبار التعددية Multiplicity) أي لا يوجد أكثر من 4 نقاط تقاطع وتوجد دائمًا نقطة تقاطع واحدة (الاحتمالات: 4 نقاط تقاطع مختلفة، أو نقطتي تقاطع فرديتين ونقطة تقاطع مزدوج، أو نقطتي تقاطع مزدوج، أو نقطة تقاطع فردي ونقطة تقاطع بتعددية 3، أو نقطة تقاطع واحدة بتعددية 4). إذا وجدت نقطة تقاطع واحدة على الأقل ذات تعددية > 1 يقال أن القطعين المخروطيين متماسين. أما إذا كان هناك نقطة تقاطع واحدة ذات تعددية 4 يقال أن القطعين متلامسين osculating.

من جهة ثانية، إضافة لما سبق فإن كل خط مستقيم يقاطع كل من القطعين المخروطيين مرتين. إذا كانت نقطة التقاطع مزدوجة عُدَّ الخط مماسًا ويسمى المماس. لأن كل مستقيم يقاطع القطع مرتين فإن كلا القطعين المخروطيين له نقطتين في مالانهاية (تقاطع النقاط مع خط المالانهاية) فإذا كانت النقطتان حقيقيتان فلابد أن يكون القطع زائدًا، وإذا كانتا تخيليتين فلابد أن يكون القطع ناقصًا، أما إذا كان للقطع نقطة واحدة مزدوجة في مالانهاية فهو مكافئ.

• يختزل اتحاد المستقيمين:
• .
• وبالمثل يختزل القطع المخروطي أحيانًا خطًا مفردا:
• .

المعادلة الجبرية

يمكن تمثيل معادلة القطع المخروطي بأشكال مختلفة منها:

ومن جهة أخرى، إذا كان الاختلاف المركزي يساوي ھ وكانت البؤرة عند نقطة الأصل (0,0) والدليل مستقيما عموديا على محور السينات يقطعه على بعد ف فإن معادلة القطع المخروطي تعطى بالمعادلة التالية:

أ س^2 + 2ب س ص + جـ ص^2 + 2د س + 2ھ ص + و = 0

من جانب آخر، معادلة من الدرجة الثانية في متغيرين س، ص ويمكن كتابة هذه المعادلة على الصورة التالية:

(1 - ھ^2) س^2 + 2ھ^2 ف س + ص^2 = ھ^2 ف

انشاءات هندسية

وعلى صعيد آخر، تتيح هذه العملية، المستندة إلى مبادئ الهندسة الإسقاطية وبالتحديد خصائص القطبية (Polarity) ، تحديد مماس لقطع مخروطي عند نقطة ثالثة عندما يكون نقطتان معلومتين مع مماساتهما. هذا إنشاء هندسي بحت ولا يتطلب قياسات مترية.

• إنشاء قطع مخروطي Δ باستخدام ثلاث نقاط ومماسين
• لمعطيات:
• النقاط A,B,C∈Δ، المماس a عند النقطة A، والمماس b عند النقطة B.
• الإجراء:
• حدّد النقطة D=a∩b.
• الخط AB هو القطبي (Polare) للنقطة D بالنسبة لΔ.
• حدّد النقطة F=AC∩b.
• حدّد النقطة G=BC∩a.
• ليكن d هو الخط المار ب FG.
• حدّد النقطة H=AB∩d.
• الخط HC هو المماس لΔ عند النقطة C.
• الخلاصة:

• معرض
• انظر كذلك
• قطع مكافئ
• قطع ناقص
• قطع زائد
• قطوع مخروطية متحدة البؤر
• النظام القطبي الكامل بالنسبة لقطع مخروطي
• مبرهنة شتاينر والنسبة التبادلية على المخروطيات

القوهي

وفي هذا الصدد، تم وصف أداة لرسم القطوع المخروطية لأول مرة عام 1000 م من قبل عالم الرياضيات المسلم أبو سهل القوهي.

الإحداثيات المتجانسة

• في الإحداثيات المتجانسة، القطع المخروطي يمكن تمثيلها كالتالي:
• أو بتعبير المصفوفات:
• المصفوفة تدعى «مصفوفة القطع المخروطي».

إضافةً إلى ذلك، تدعى محددة القطع المخروطي. إذا كان Δ = 0 فإن القطع المخروطي يسمى «منحلًا Degenerate»، وهذا يعني أنه في الحقيقة عبارة عن اتحاد خطين مستقيمين. أي قطع مخروطي يتقاطع مع نفسه هو قطع منحلة، ولكن ليس كل القطوع المنحلة تقاطع نفسها، وفي هذه الحالة يكون القطع خطًا مستقيماً.

محددات القطع

من جهة ثانية، المحور الأصغر هو أقصر قطر للقطع الناقص، ونصف طوله يطلق عليه نصف المحور الأصغر b، نفس القيمة b كما في المعادلة القياسية أدناه. على سبيل القياس، بالنسبة للقطع الزائد، نسمي كذلك المعلمة b في المعادلة القياسية، شبه المحور الأصغر.

من جانب آخر، المحور الرئيسي: هو المستقيم الذي يشمل بؤر القطع الناقص أو القطع الزائد، ومركزها هي مركز المنحنى. القطع المكافئ ليس له مركز.

كذلك، الوتر العمودي البؤري الوتر الموازي للدليل ويمر عبر البؤرة؛  نصف طوله هو نصف الوتر العمودي البؤري (ℓ).

وفي هذا السياق، بالنسبة القطوع المخروطية في الوضع القياسي، فإن هذه المحددات لها القيم التالية، مع أخذ .

الاختلاف المركزي الخطي c هي المسافة بين المركز والبؤرة.

من جهة ثانية، إلى جانب الاختلاف المركزي (e)، والبؤر، والدليل، ترتبط الكثير من الميزات والأطوال الهندسية بقطع مخروطي.

من جهة ثانية، فيما يلي علاقة بعض المحددات المذكورة أعلاه بالاختلاف المركزي:

المحدد البؤري p هو المسافة بين البؤرة المقابلة.

كذلك، المحور الأكبر هو الوتر بين الرأسين: أطول وتر للقطع الناقص، وأقصر وتر بين فرعَيْ القطع الزائد، يطلق على نصف طوله اسم نصف المحور الأكبر a

حالات شاذة

ومن جهة أخرى، عندما يصبح المخروط أسطوانة أي عندما يكون الرأس واقعا في منطقة اللانهاية تنتج قطوع أسطوانية. بالرغم من أن ذلك يتسبب غالبًا في قطع ناقص أو دائرة، إلا أن هناك حالة شاذة تنتج خط أو خطين متوازيين عندما يكون مستوى القطع، بالتوالي، متماس للأسطوانة أو قاطعا لها (بشرط أن يكون موازي لراسم من رواسمها)

من جانب آخر، توجد حالات شاذة تنتج عندما يمر المستوى القاطع برأس المخروط Apex. التقاطع في هذه الحالات قد يكون خطًا مستقيما (إذا كان المستوى مماسًا لسطح المخروط)؛ أو نقطة (إذا كانت الزاوية بين المستوى ومحور المخروط أكبر من المماس)؛ أو زوجا من الخطوط المتقاطعة (عندما تكون الزاوية أصغر).

و

• .
• رغم تغيير الإحداثيات يمكن وضع هذه المعادلات في صورة قياسية:
• الدائرة:
• القطع الناقص:

تطبيقات

التاريخ

كذلك، انظر إلى تطبيقات الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد.

أنواع القطوع المخروطية

ومن جهة أخرى، لها ثلاثة أنواع هي القطع المكافئ (شلجم)، القطع الزائد (هذلول)، والقطع الناقص (إهليلج). وقد تُعدُّ الدائرة نوعًا رابعًا (كما عدَّها أبولونيوس) أو يمكن عدُّها نوعا من القطوع الناقصة (عندما يكون المحوران متساويان). ويتشكل القطع الناقص والدائرة عندما يكون تقاطع المستوى والمخروط منحنى مغلق. وتتشكل الدائرة عندما يكون المستوى القاطع موازيًا لدائرة القاعدة المولدة للمخروط (وفي هذه الحالة يسمى مخروط دائري). بالنسبة لمخروط يميني (كما في الشكل المقابل في أعلى الصورة) يكون المستوى القاطع عموديًا على محور تماثل المخروط. إذا كان المستوى القاطع موازيا لخط واحد فقط من الخطوط المولدة للمخروط حينها يصبح القطع مفتوحًا وليس مغلقًا فيسمى قطعًا مكافئًا. وفي الحالة الأخيرة يتكون القطع الزائد وعندما يكون المستوى موازي لراسمين من رواسم المخروط وبالتالي يقطع كلا الطيتين، مكونًا بذلك منحنيين منفصلين ومفتوحين، يتم أحيانا تجاهل أحدهما والعمل بالآخر.

الاختلاف المركزي

انظر كذلك: لا مركزية (رياضيات)

ومن جهة أخرى، يوجد دليلان وبؤرتان لكل من القطع الزائد والناقص. المسافة من المركز إلى الدليل هي ، بينما هو نصف المحور الأكبر للقطع الناقص، أو المسافة من المركز إلى قمة القطع الزائد. المسافة من المركز للبؤرة هي .

من جانب آخر، شروط التعريف الأربعة الواردة أعلاه يمكن جمعها في شرط واحد يعتمد على نقطة افتراضية F (البؤرة) ومستقيم L (الدليل) لا يمر بالنقطة F وعدد حقيقي غير سالب e (هو معامل الاختلاف المركزي). القطع المخروطي المقابل يتكون من جميع النقاط التي تبعد عن F مسافةً تساوي e مرة بعدها عن L. إذا كانت e بين 0 و 1 نحصل على قطع ناقص، إذا كانت e=1 نتحصل على قطع مكافئ وإذا كانت أكبر من 1 نحصل على قطع زائد.

من جانب آخر، في حالة الدائرة يكون معامل الاختلاف المركزي e= 0 ويمكن تخيل أن الدليل قد اُسْتُبْعِد لانهائيًا عن المركز. لكن من غير المفيد استخدام التعبير: إن الدائرة تتكون من كل النقاط التي التي تبعد مسافة e مرة بعدها عن L لأننا سنحصل على 0 مضروبة في مالانهاية.

من جانب آخر، لذلك فإن المميز الأساسي ما يخص القطع المخروطي هو مقياس يبين لأي مدى يبعد القطع عن أن يكون دائرة. لقيمة معطاة ، كلما اقتربت من 1 كلما نقص طول نصف المحور والأصغر.

عمر الخيام

وفي هذا السياق، تُرجِمت أعمال أبلونيوس إلى اللغة العربية، ولم يبق الكثير من أعماله إلا النسخة العربية. وجد العلماء المسلمين تطبيقات النظرية، أبرزها عالم الرياضيات والشاعر المسلم عمر الخيام، الذي استعمل قطوعًا مخروطية لحل المعادلات الجبرية التي لا تزيد عن ثلاث درجات.

أبلونيوس البرغاوي

وفي السياق ذاته، يعود الفضل إلى ببس الرومي (توفي عام 350 م) في شرح أهمية مفهوم بؤرة القطع، وتفصيل مفهوم ذي الصلة بالدليل (Directrix)، بما في ذلك حالة القطع المكافئ (الذي يفتقر إليه أعمال أبلونيوس المعروفة).

وفي السياق ذاته، يرجع أعظم تقدم في دراسة المخروطات من قبل الإغريق إلى أبلونيوس البرغاوي (توفي عام 190 ق.م)، الذي تلخص كتابه «كتاب أبلونيوس في المخروطات» المكونة من ثمانية مجلدات وتوسِّع المعرفة الموجودة إلى حد كبير. جعلت دراسة أبلونيوس لخصائص هذه المنحنيات من الممكن إظهار أن أي مستوي يقطع مخروطًا مزدوجًا ثابتًا، بغض النظر عن الزاوية، ستنتج قطعًا مخروطيًا بحسب التعريف القديم، مما يؤدي إلى التعريف المستعمل بشكل شائع اليوم. كما يمكن الحصول على الدوائر غير القابلة للإنشاء بالطريقة القديمة بهذه الطريقة. قد يكون هذا سبب لماذا اعتبر أبلونيوس الدوائر نوعًا رابعًا من القطع المخروطي، وهو تمييز لم يعد يتم إجراؤه. استعمل أبلونيوس الأسماء التالية لهذه المنحنيات: ellipse ، و parabola و hyperbola ، واستعار المصطلحات من أعمال فيثاغورس السابقة حول المساحات.

التعريف التحليلي

• حيث:
• - P هي نقطة (x,y) تقع على القطع.
• - S البؤرة

علاوةً على ذلك، في التحليل الرياضي القطع المخروطي هو المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث تكون العلاقةُ بينَ بعدها عن نقطةٍ ثابتةٍ وبعدها عن مستقيمٍ ثابتٍ نسبةً ثابتةً.

كذلك، تسمى هذه النسبة الاختلاف المركزي (Eccentricity)، كما تسمى النقطة الثابتة البؤرة (Focus)، أما المستقيم الثابت فيسمى الدليل (directrix).