قطع مكافئ

المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة

من جانب آخر، وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:

علاوةً على ذلك، وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.

حيث

• .
• الصورة البارمترية:
• محور تماثل أفقي

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

ومن ناحية أخرى، لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:

إضافةً إلى ذلك، هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي

وفي هذا الصدد، المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره

بتربيع الطرفين

علاوةً على ذلك، فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f).

(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.)

إضافةً إلى ذلك، أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q.

من جهة ثانية، طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) إلى جانب المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).

تاريخ

وعلى صعيد آخر، أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف في الوقت الحالي، هو مينايخموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف الكثير من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري.

وعلى صعيد آخر، قبل اختراع المقراب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما بنى أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكروية. في الوقت الراهن تستعمل عواكس القطع المكافئ في أغلب المقاريب العاكسة الحديثة، وفي المقاريب الفضائية، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الأقمار الصناعية، ومستقبلات الرادار.

وفي السياق ذاته، أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.

المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

من جانب آخر، إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:

بحيث أن

من جانب آخر، حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.

رأس القطع المكافئ

وبالتالي نقطة رأس القطع المكافئ هي

وفي هذا الصدد، الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع ، وبوضع قيمة المشتقة بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:

وبالتبسيط:

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية

علاوةً على ذلك، الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.

إضافةً إلى ذلك، حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum.

من جهة ثانية، في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته

بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على

كذلك، بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور

كذلك، وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته

بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين

ومن ناحية أخرى، كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية

بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر)

كذلك، وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼)

• ,
• بؤرته تقع عند النقطة
• والتي يمكن كتابتها على الصورة
• والدليل يعطى بالعلاقة
• والتي يمكن أن تكتب على الصورة
• في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا

الصورة العامة للقطع المكافئ هي

كذلك، هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:

مرايا مرصد كيك

• معرض صور
• اقرأ كذلك
• سطح مكافئ
• قطع ناقص
• قطع زائد
• مرآة قطع مكافيء

إضافةً إلى ذلك، مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد. أغلب التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة. تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون.

من جهة ثانية، لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة.

ومن جهة أخرى، كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء.

وفي هذا السياق، كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات.

حيث

• .
• الصورة البارمترية:
• قطع مكافئ عام

وبما أنه للقطع المكافئ يكون

• .
• معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة
• هي

تعريفات هندسية أخرى

وفي هذا الصدد، القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ كذلك نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو كذلك تحول عكسي للمنحنى القلبي.

• معادلات
• إحداثيات ديكارتية
• محور تماثل رأسي

كذلك، للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.