قطع ناقص

المعادلات الجبرية والتباعد المركزي

ومن ناحية أخرى، أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.

ومن جهة أخرى، يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة:

كذلك، يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة على الصورة:

وفي هذا السياق، حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .

وعلى صعيد آخر، (إذا كانت e=1 ينتج قطعا مكافئا، وإذا كانت e>1 ينتج قطعا زائدا، وإذا كانت e=0 تنتج دائرة) وتجتمع فيها البؤرتان في بؤرة واحدة.)

وعلى صعيد آخر، لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع )

وفي السياق ذاته، كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب , وهي تساوي كذلك

• أي أن الاختلاف المركزي قيمته:
• في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة بالنقطة على المحورين x , y :
• فتكون إحدى البؤرتين و F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص.
• بالنسبة إلى معامل التباعد المركزي فهو للقطع الناقص يساوي دائما .

علاوةً على ذلك، يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالاستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4):

يعطى معامل التباعد المركزي كذلك بالعلاقة:

وفيه ينطبق:

في هذا الإطار، نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي .

وبطريقة أشمل

• كما تعطي طريقة رامانجن على وجه التقريب أفضل:
• وبتقريب آخر:
• كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:
• وبتقريب مكتسب عمليا:
• شروط المماس

خواص مماسية

من جانب آخر، إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).

أنظر الشكل 1:

من جانب آخر، في طاولة بلياردو على شكل إهليلج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.

ومن جهة أخرى، باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما.

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:

علاوةً على ذلك، وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما: هذا ما يفسر كذلك سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.

إضافةً إلى ذلك، النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.

علاوةً على ذلك، والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل إهليلج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.

محيط القطع الناقص

في هذا الإطار، ليكن نصف محوره الكبير و نصف محوره الصغير، يُحسَب محيط القطع الناقص بتطبيق هذا القانون:

من جانب آخر، حيث هو معامل التباعد المركزي، و هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:

طريقة الاسطوانة المقطوعة

وعلى صعيد آخر، تتمثل هذه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.

خط متماس لقطع ناقص عند إحدى نقاطه

معرض

• الطريقة (هندسة وصفية)
• يتم تمرير بالنقطة P أي خط مستقيم b (أو c) بحيث يقطع دلتا
• يتم تحديد القطب B ل b بالنسبة لدلتا
• يتم توصيل النقطتان P و B للحصول على الخط المطلوب p

في هذا الإطار، معلوم قطع ناقص دلتا ونقطة P تنتمي إليه. مطلوب تحديد الخط p المتماس لدلتا في النقطة P. وبعبارة أخرى ، مطلوب تحديد الخط القطبي p لـلنقطة القطبية P بالنسبة لدلتا.

في هذا الإطار، استنتاج: إن النقاط القطبية لحزمة الخطوط التي تمر بالنقطة P، تنتمي للخط القطبي p.

طرق رسم القطع الناقص

هناك الكثير من الطرق منها مايلي.

للتنبيه

حيث هو عاملي ثنائي.

في هذا الإطار، للتنبيه التكاملات الإهليلجية ليس لها حلول مغلقة الشكل ولا يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الابتدائية.

تعبير عن المحيط بواسطة المتسلسلة اللانهائية:

طريقة الخيط والمسمارين

من جانب آخر، لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن القطع الناقص يميزه اختلاف مركزي يساوي e .

• الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .
• وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.
• لهذ نسمي e معامل التباعد المركزي.

لتحديد طول الخيط L ينطبق .

وعلى صعيد آخر، تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

في هذا الإطار، الآن بمعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2a. e والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل محيطا مغلقا.

كذلك، من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الآخر على المحيط يكون ثابتا (أزرق). وهذا يمثل طول الخيط الإجمالي L.

مساحة القطع الناقص

تساوي مساحة القطع الناقص :

التكامل الثاني هو مساحة دائرة نصف قطرها ، أي . إذن:

وفي السياق ذاته، حيث و هما طولا نصف المحور الأكبر والأصغر، على التوالي. صيغة المساحة بديهية: نبدأ بدائرة نصف قطرها (لذا فإن مساحتها هي ) ونضربها في المعامل لعمل القطع الناقص . من السهل كذلك إثبات صيغة المساحة بدقة باستخدام التكامل على النحو التالي. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص على النحو التالي . من أجل ، هذا المنحنى هو النصف العلوي للقطع الناقص. لذا فإن ضعف تكامل على المجال سيكون ضعف مساحة القطع الناقص:

الطرق العددية

وفي هذا الصدد، يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:

كذلك، عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص.

توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.

طريقة المسطرة والإطار

كذلك، في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

الصيغة البارامترية

• باستخدام معادلات حساب المثلثات يمكن صيغة القطع الناقص
• حيث:
• ترجع الإحداثية t المستعملة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.
• حيث:
• t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)