قيمة متوقعة

الرياضيات

• القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي تعادل احتمال معدل متسلسلة إحصائية في الإحصاء.
• يرمز إليها ب (E(X وتقرأ القيمة المتوقعة لـ X.
• تحسب القيمة المتوقعة كالتباين أي باستعمال قوى المتغير العشوائي

خصائص القيمة المتوقعة

تمتلك القيمة المتوقعة بعض الخصائص المهمة رياضياً ومنها:

متراجحة تشيبيشيف

معادلة والد

عزم (رياضيات)

الخطية

من جانب آخر، تمتلك القيمة المتوقعة خاصية الخطية، حيث أنه يمكن أن ينطبق مع أي متغيرين عشوائيين التالي:

• وكحالات خاصة ينطبق مع أي متغيرين حقيقيين أو ومتغيّر عشوائي التالي:
• وأيضاً:
• تنطبق خاصية الخطية في القيمة المتوقعة كذلك على المتسلسلات:
• إن خاصية الخطية للقيمة المتوقعة تأتي كنتيجة لخطية تكامل القيمة المتوقعة.

القيمة المتوقعة والاختيار المعقول

إضافةً إلى ذلك، تكمن المشكلة في الحقيقة على لفظة «معدلا»: إذ مع أن الأرباح قد تكون عالية، فإن وقوعها نادر نسبيا، وليضمن اللاعب أن يكون رابحا فإنه يجب أن يكون لديه كمية كافية من المال ليلعب عددا كبيرا من المرّات. وإذا كانت الرهانات كبيرة (بإفراط) فإن اللاعب يستطيع اللعب عددا كبيرا من المرّات وعندها تكون حجة القيمة المتوسطة ليست كافية.

كذلك، ولكن القيمة المتوقعة لهذه اللعبة ملائمة للربح: احتمال الحصول على 6 على كلا الزهرين هو 1/36، فلنا إذا:

في هذا الإطار، لنتخيل مثلا أن نفوم بالاقتراح التالي: لو تم رمي زهري نرد، وظهر العدد 6 على كلاهما، فإن اللاعب يربح مليون دولار وإذا لم يقع ذلك يخسر اللاعب 10000 دولار. من المحتمل، أن يرفض اللاعب اللعب (قد يتبين لنا أنّه سيخسر الكثير).

وفي هذا السياق، في بعض الحالات، إشارات القيمة المتوقعة لا تتطابق مع الاختيار المعقول.

بعد كلّ شوط، يربح الاعب 18055 دولار معادلا.

التقييم

كذلك، يقول قانون الأعداد الكبيرة أن المعدل التجريبي لـ N (مع ملاحظة أن N كبير) للمتغير العشوائي X تقدير جيّد للقيمة المتوقعة لـ X.

طابع التوسط

في هذا الإطار، غالبا، نعتبر القيمة المتوقعة أن تكون مثل «وسط المتغير العشوائي»، أي القيمة التي تتوزع حولها القيم الأخرى.

وفي هذا الصدد، مثلا إذا كان لـX و2a - X نفس التوزيع الاحتمالي أي أنّ التوزيع هذا متناظر بالنسبة إلى a، إذن E (X).

• مراجع
• انظر كذلك
• مركز ثقل
• نزعة مركزية

في هذا الإطار، ولكن هذه الفكرة تفقد صحتها إذا لم يكن التوزيع متناظرا. لندرس مثالا التوزيع الهندسي، وهو توزيع غير متناظر. إذا X يمثل عدد رميات زهر نرد، يمكن أن نبرهن أنّ 6 =(E(X يعني أن لنحصل على "1" يكفي، معدلا، أن نرمي الزهر 6 مرّات. ولكن احتمال أنّ 5 رميات أو أقل تكفي للحصول على "1" تساوي 0.6 والاحتمال أن 7 رميات أو أكثر تساوي 0.33. قيمات X تتوزع بطريقة غير متساوية حول القيمة المتوقعة.

معادلات

من جهة ثانية، إذا كانت ل X الدالة الكثافة الاحتمالية f إذن بشرط أن تكون الدالة قابلة للتكامل.

في هذا الإطار، تحسب القيمة المتوقعة لمتغيرات عشوائية (حقيقية أو مركبة) بالشكل التالي:

إذا كان المتغير العشوائي X متغيرا منفصلا:

ومن جهة أخرى، إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة منتهية { x1, x2,..., xn } وكل عنصر xi احتماله pi إذن:

وفي هذا السياق، إذا كانت قيمة X تنتمي إلى مجموعة عدودة {...,x1, x2,..., xi } فإنّ (إذا كانت المتسلسلة تنتهي مطلقا: النهاية المطلقة للمتسلسلة تضمن استقلال مجوعها عن طريقة ترقيم أطرافها)

إذا كان المتغير العشوائي X متغيرا متصلا:

ومن ناحية أخرى، إذا كانت X دالة قابلة للقياس في (Ω, B, p) في مجموعة الأعداد الحقيقية، موجبة وP-قابلة للقياس: (حيث الاحتمال الصورة)

مثال لعبة العجلة

• لنفترض أنه يراهن على هذه الخانة بـ 10 دولارات.
• القيمة المتوقعة للربح هي إذا:
• (حذفنا 10 دولارات لأنّه وقع صرفها باحتمال يساوي 1)

من جهة ثانية، يختار اللاعب عددا من 0 إلى 36 (37 عدداً) على العجلة (متكونة من 37 خانة كل خانة تمثل عددا). ثم يراهن على هذا العدد.

كذلك، توضع كرة صغيرة في العجلة وتدار العجلة بسرعة ثم تقف الكرة في خانة عدد ما. إذا كان عدد الخانة يساوي العدد الذي اختاره اللاعب في البداية فإن رهانه سيضاعف 36 مرّة أما في الحالة الثانية فإنه يخسر رهانه.

وفي هذا الصدد، هذا العدد يمثل، معدلاّ، أن اللاعب يخسر 0.27 دولارا بعد كل لعبة (لحساب صاحب العجلة).

عندما تكون القيمة المتوقعة تساوي 0، نعتبر اللعبة عادلة.

أهمية العلاوة على المجازفة

وفي هذا الصدد، إنّ اعتبارات المجازفة بالخسارة هذه هي التي جعلت الرياضي دانيال برنولي يجد فكرة «النفور من المجازفة» في كتابه «تناقض متسرل سانت بتارسبورغ». هذ الفكرة أدّت إلى مصاحبة القيمة المتوقعة بعلاوة على المجازفة (ميدان اقتصادي) عند تطبيقها في مسائل الاختيار.

تطبيقات خاصّة (اقتصاد، تأمينات وأموال)