كسورية

الكسيريات في الطبيعة

من جانب آخر، من الممكن مصادفة أشباه الكسيريات بكثرة في الطبيعة. تظهر كائنات كهذه بنية معقدة على امتداد تكبير منته. هذه الكسيريات التي تتولد طبيعياً (الغيوم والجبال وشبكات الأنهار وأنظمة الأوعية الدموية) لديها حدود دنيا وعليا، ولكنها تتميز عن بعضها بمقاييس تكبير مختلفة. على الرغم من وجود الكسيريات حولنا بكثرة، فإنها لم تدرس بشكل معمق حتى بدايات القرن العشرين، أما التعريفات العمومية لها فجاءت متأخرة قليلاً.

كذلك، إن الأشجار والسراخس فركتلية بطبيعتها، ويمكن نمذجتها بالحاسب عبر استخدام خوارزميات تعاودية. تبدو الطبيعة العودية واضحة في هذه الأمثلة، ففرع الشجرة أو ورقة من السراخس هي تكرار مصغر للكل: ليس مطابقاً ولكنه مشابه من حيث الطبيعة.

الكسيرية

من جهة ثانية، الكسيرية كائن هندسي يتصف بالخشونة وعدم الانتظام على كل المقاييس، ولهذا يبدو في جوهره وكأنه 'مكسور'. ببساطة، يمكن تعريف الكسيريات على أنها صور مقسمة إلى أجزاء، كل منها يبدو مماثلاً للأصل. تحتوي الكسيريات في طياتها معنى اللانهاية، ويبدي بعضها بنية تتصف بالتشابه الذاتي على كل المقاييس، ومختلف مستويات التكبير. في أغلب الحالات، يمكن توليد الكسيريات من خلال تكرار معين، يتم ذلك عبر إجراء تعاودي أو تكراري. قبل أن يقوم ماندلبروت بصياغة هذا المصطلح، كان الاسم الشائع لهذه البنى (كندفة الثلج لكوخ مثلاً) هو المنحنى الغريب monster curve.

ومن ناحية أخرى، تمت دراسة الكثير من أنواع الكسيريات على أنها كائنات رياضية. تشكل الهندسة الكسيرية فرعاً من الرياضيات يختص بدراسة سلوك وخصائص الكسيريات، كما تصف الكثير من الحالات التي يستعصي وصفها على الهندسة الكلاسيكية، وغالباً ما تطبق في حقول العلوم والتكنولوجيا والفنون المولدة حاسوبياً. إن تتبع الجذور المفاهيمية للكسيريات يقود إلى محاولات سابقة لقياس أغراض عجزت التعاريف التقليدية للهندسة الإقليدية والحساب الإقليدي عن شرحها.

تاريخ الكسيريات

برمجيات لتوليد الكسيريات

Fractint (يعمل على مجموعة من منصات التشغيل)

في هذا الإطار، سترلينغ — برنامج توليد فركتلات محسن يخص أنظمة مايكروسوفت ويندوز من قبل ستيفن فيركسون.

من جهة ثانية، غالباً ما تولد الكسيريات باستخدام الحاسب. يوجد عدد كبير من البرامج التي تمكن من نمذجة الكسيريات كما يمكن لبعضها أن تقوم بتوليدها:

وفي هذا السياق، XaoS — برنامج سريع يعمل بالنظام الحقيقي يختص بنمذجة وتكبير الكسيريات (homepage).

إسهامات التحليل الكلاسيكي

من جهة ثانية، لقد اكتشفت الأغراض المسماة في الوقت الحالي كسيريات ودُرست قبل زمن بعيد من إطلاق هذه التسمية عليها، فإشارة ماندلبروت ذاته إلى فكرة (التشابه الذاتي التعاودي) تعد تطويراً قام به الفيلسوف لايبنتز الذي تعمق في دراسة تفاصيل هذه الأغراض. في عام 1872، أوجد كارل ويرستراس مثالاُ لدالة ذات خاصية غريبة، ذلك أنها تستمر في كل مكان ولا يمكن تمييزها في أي مكان، إن مخطط هذه الدالة يدعى في الوقت الحالي كسيرية. في سنة 1904، اختلف هيلغ فون كوخ مع التعريف التحليلي المجرد لفايرستراس، وقدم تعريفاً ذا مضمون هندسي أكثر لدالة مشابهة تدعى في الوقت الحالي ندفة الثلج لكوخ. إن فكرة المنحنيات ذات التشابه الذاتي طورت من قبل باول بيير ليفي والذي شرح عام 1938 في ورقة بحثه السطوح والمنحنيات المستوية أو الفراغية التي تشكل أجزاءً مشابهة للأصل منحنى كسيريا جديدا يدعى كسيرية ليفي. كما قدم جورج كانتور أمثلة لمجموعات جزئية من الخط الحقيقي تتصف بصفات غير طبيعية -إن مجموعات كانتور هذه تصنف في الوقت الحالي ضمن الكسيريات. تمت دراسة التوابع التكرارية في المستوى العقدي في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين من قبل هنري بوانكاريه وفيليكس كلاين وبيير فاتو وغاستون جوليا. لسوء الحظ، فإن انعدام التقنيات المرئية الحاسوبية الشائعة في الوقت الحالي في ذلك الوقت، حرم أولئك العلماء من إدراك المعنى الجمالي المرئي للعديد من الأغراض التي اكتشفوها.

التطبيقات في التكنولوجيا

تصنيف الشرائح التي تصف تغير مراحل الأمراض في الطب،

ابتكار أنواع جديدة من الموسيقى،

هناك الكثير من التطبيقات للكسيريات في الحقول التالية:

من جانب آخر، تصميم الألعاب الحاسوبية وخاصة فيما يتعلق بالصور الحاسوبية الخاصة بالبيئات العضوية.

علم الزلازل،

ومن جهة أخرى، يمكن وصف الهندسة الكسيرية بأنها النظام الحقيقى لكمية هائلة من الأنظمة الرياضية المعقدة في شكل تمثيلى قد تظهر من الوهلة الأولى أنها بلا نظامية إلا أنها الطريقة المثلى لتمثيل هذه البيانات. للكسيريات العشوائية تطبيقات هامة، ذلك أنه من الممكن استخدامها لوصف كائنات من العالم الحقيقي شديدة اللانظامية، أمثلة على ذلك الغيوم والجبال والاضطرابات والخطوط الساحلية والأشجار. تطبق التقنيات الكسيرية كذلك في مجال ضغط الصور الفركتلي، فضلًا عن الكثير من المجالات العلمية الأخرى.

ضغط الصورة والإشارة،

علم الكون،

تخلق أشكال جديدة في مجال الفن،

أمثلة

إضافةً إلى ذلك، تتضمن الأمثلة الشائعة للكسيريات مجموعة ماندلبروت وكسيرية ليابونوف ومجموعة كانتور وحشية سربنسكي وسجادة سربنسكي واسفنجة مينجر ومنحني التنين ومنحني بيانو، والمجموعات المحدودة مجموعة كلاينايان، ومنحنى كوخ.

كذلك، مجموعة أخرى من الأمثلة المماثلة هي مجموعات كانتور، والتي بانتزاع فترات أصغر وأصغر من الفترة [0.1]، تترك مجموعات من الممكن (وقد يكون من غير الممكن) أن تحتوي على بنية تماثل ذاتي لدي تكبيرها، وقد تحتوي (أو لا تحتوي) على بعد d يقع بين 0 و 1. كتطبيق بسيط يظهر الترابط بين المفهومين، انتزاع الرقم 7 من الامتدادات العشرية يتصف بالتشابه الذاتي لدى تكبير انطوائي بمقدار العشرة، ولديه كذلك البعد log9/log10 (تبقى القيمة ذاتها حتى لو قمنا بتغيير قاعدة اللوغاريتم)

وفي هذا الصدد، قد تكون الكسيريات محددة أو مختارة بشكل عشوائي. الأنظمة الديناميكية الشواشية غالباً (إن ليس دائماً) تربط بالكسيريات. تتضمن مجموعة ماندلبروت أقراصاً كاملة ببعد يساوي 2، وهذا ليس مفاجئاً، ذلك أن الذي يفاجئ إلى حدّ كبير هو أن بعد هاوسدروف لحد مجموعة ماندلبروت هو كذلك 2.

تعاريف

من جانب آخر، مثلما تظهر الكثير من الصفات المميزة الخاصة بالكسيريات، يتعذر بشكل ملحوظ إجمالها في تعريف رياضي صريح ودقيق، لقد عرف ماندلبروت الفركتل على أنه «مجموعة يتجاوز فيها بعد هاوسندروف بعدها اللاكمي». فمن أجل شكل كسيري ذو تشابه ذاتي، فإن بعد هاسندروف يساوي إلى بعد مينكوفسكي بوليجاند.

• من المشاكل التي تخص تعريف الكسيريات:
• لا يوجد تعريف دقيق لعبارة «شديد اللانظامية».
• لا يوجد تعريف دقيق للـ «بعد».
• توجد الكثير من الطرق التي يمكن من خلالها تعريف كائنات ذات تشابه ذاتي.
• ليست كل الكسيريات معرفة بشكل تعاودي.

من جهة ثانية، إن أي شكل إقليدي كالدائرة مثلًا، يبدو أكثر تسطحاً بزيادة التكبير، وعندما يصبح التكبير لانهائياً يصبح من المستحيل التمييز فيما إذا كان أصل الشكل دائرة أو خط مستقيم، تنعدم هذه الخاصة في الكسيريات. فالفكرة التقليدية للمنحني والتي تبين تغير نصف قطر الدائرة بالتقريب يصبح من المستحيل اعتمادها لغياب التقييس، في حين أن زيادة تكبير الكسيريات يظهر تفاصيل أكثر وأكثر كانت غائبة سابقاً.

من جهة ثانية، لعل أكثر خواص الكسيريات إثارة هي لانظاميتها بشكل عام من حيث الشكل. ولهذا فهي ليست نمطاً من الأغراض القابلة للتعريف بالهندسة التقليدية، إن هذا يعني أن الكسيريات تنحو باتجاه إعطاء تفاصيل مرئية جديدة باستخدام المقاييس المختلفة، ففي حالة التشابه الذاتي، عند تكبير الكسيريات نحصل على صور مماثلة للأصل وغالباً ما تعرف مجموعات كهذه تعاودياً.

إسهامات ماندلبروت في الستينيات

علاوةً على ذلك، لدى استخدام المرئيات الحاسوبية في مجال الهندسة الكسيرية، ظهرت براهين مرئية سرعان ما ربطت الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم بشكل غير مسبوق، تحديداً في حقول الديناميكية اللاخطية، نظرية الشواش (علماً أن البعض يفضل استخدام المصطلح xaos عوضاً عن السايقة وذلك بهدف التمييز بين السلوك اللاخطي والمعنى المتداول للكلمة) والتعقيد. فمثلًا، أظهر رسم خوارزمية نيوتن بشكل كسيري أن الحدود بين الحلول المختلفة هي ذات طبيعة كسيرية، كما أظهرت أن الحلول بحد ذاتها هي جواذب غريبة.

كذلك، تستعمل الهندسة الكسيرية كذلك في مجال ضغط البيانات ونمذجة الأنظمة الجيولوجية والعضوية المعقدة، يعد نمو الأشجار وتظور أحواض الأنهار أمثلة واضحة على ذلك.

في هذا الإطار، وسع هاريسون الحساب النيوتوني بشكل يتضمن المجالات الفركتلية، بما فيها نظريات غاوس وغرين وستوكس.

من جانب آخر، عمل بينويت ماندلبروت على استقصاء التشابه الذاتي، تجلى ذلك في بضعة أوراق نشرها مثل كم طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسيري، وقد بنى عمله على الأعمال السابقة للويس فراي ريتشاردسن. تمكن ماندلبروت من اكتشاف صلات قوية بين نتائج رياضية لطالما اعتبرت غير مترابطة سابقاً بفضل اعتماده وإلى حدّ كبير على مقاربة مرئية. عام 1975، صاغ ماندلبروت كلمة كسيرية أو 'فركتل' 'fractal' للدلالة على أغراض ذات تشابه ذاتي، لا تمتلك بعداً محدداً. لقد اشتق كلمة كسيرية من الكلمة اللاتينية fractus والتي تعني 'مكسور' أو 'غير نظامي'، وليس من كلمة fractional والتي تعني كسري كما يظن الكثيرون، مع العلم أن هذه الأخيرة يعتقد أنها مشتقة كذلك من كلمة fractus اللاتينية.

البعد الكسيري لحد ندفة ثلج كوخ

وفي هذا الصدد، إن الطول الكلي لعدد ما N بالنسبة لمجموعة من الخطوات L هو الجداء NL، بتطبيق ذلك على حد ندفة ثلج كوخ سنحصل على طول لانهائي للحد ذلك أن L لامتناهية في الصغر، إن هذا غير مقبول، فكما أن ندف ثلج كوخ المختلفة لها قياسات مختلفة، فإن الحل هو بالقياس، ليس بالمتر ولا بالمتر المربع، بل باستخدام واحدة المتر مرفوعة إلى قوة على الشكل m2. وبالتالي: 4N(L/3)x = NLx، نفسر العلاقة السابقة بأن تصغير طول الخطوة لثلاثة أمثال يتطلب أربعة أمثال عدد الخطوات، إن حل المعادلة السابقة يعطي x = (log 4)/(log 3) = 1.26186. وبالتالي فإن واحدة قياس حد ندفة ثلج كوخ هي m1.26186,

تقنيات مشهورة لتوليد الكسيريات

ومن ناحية أخرى، كسيريات الانفلات الوقتي — تعرف الكسيريات في هذه المجموعة عبر علاقة تكرارية من أجل كل نقطة في الفراغ (كما في المستوى العقدي). أمثلة على ذلك مجموعة ماندلبروت ومجموعة جوليا وكسيرية الباخرة المحترقة وكسيرية نوفا وكسيرية ليابونوف.

علاوةً على ذلك، يمكن تصنيف الكسيريات في ثلاث مجموعات رئيسية. تصنف هذه المجموعات الكسيريات اعتماداً على طرق توليدها أو تعريفها:

علاوةً على ذلك، الكسيريات العشوائية تولد من خلال إجراءات مختارة بشكل عشوائي بدلاً من أن تكون محددة، أمثلة على ذلك المناظر الكسيرية ورحلة ليفي.

وفي هذا الصدد، أنظمة الدوال المتكررة — تحتوي هذه المجموعة على قاعدة استبدال هندسي واضحة لكل كسيرية. منها ندفة الثلج لكوخ ومجموعة كانتور وسجادة سربنسكي وحشية سربنسكي ومنحنى بيانو ومنحني التنين هارتر هايواي والمربع تي واسفنجة مينجر.

الأنظمة اللامية,

إضافةً إلى ذلك، تشابه ذاتي ظاهري — وهو نمط غير محكم من التشابه الذاتي، تبدو الكسيريات متطابقة إلى حد ما (ولكن ليس تماماً) على مقاييس تكبير مختلفة، تحتوي كسيريات التشابه الذاتي الظاهري على نسخ مصغرة من كامل الفركتل ولكن بأشكال منحلة مشوهة، إن الكسيريات المعرفة بعلاقات تكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي ظاهري وليست ذات تشابه ظاهري متطابق.

إضافةً إلى ذلك، تشابه ذاتي متطابق — يعد أقوى أنواع التشابه الذاتي، تبدو الكسيريات ذاتها على أي مقياس تكبير، إن الكسيريات المعرفة باستخدام أنظمة التوابع التكرارية غالباً ما تكون ذات تشابه ذاتي متطابق.

في هذا الإطار، إن أكثر تعاريف الكسيريات بداهة تحتوي في مضمونها شكلاً من أشكال التماثل الظاهري الإحصائي، (البعد الكسيري أو الفركتلي مثلاً هو قياس رقمي محفوظ على اختلاف مقاييس التكبير). إن الكسيريات العشوائية هي أمثلة واضحة على كسيريات التشابه الذاتي الإحصائي، ولكنها ليست ذات تشابه ذاتي متطابق أو ظاهري.

وفي هذا الصدد، التشابه الذاتي الإحصائي — يُعتبر من أضعف أنواع التشابه الذاتي، يبيدي الكسيرية قياسات رقمية أو إحصائية ثابتة على اختلاف مقاييس التكبير.

في هذا الإطار، طالما أن البنية الحبيبية للكسيريات لا متناهية، فمن غير الممكن اعتبار أياً من الأغراض الطبيعية فركتلاً، على كل الأحوال، يمكن أن تبدي الأغراض الطبيعية خصائص مشابهة للفركتلات على عدد محدود من مقاييس التكبير.

ومن جهة أخرى، يمكن تصنيف الكسيريات كذلك اعتماداً على تشابهها الذاتي. توجد ثلاثة أنواع للتشابه الذاتي في الكسيريات:

علاوةً على ذلك، من الجدير بالملاحظة أنه ليست كل الأغراض ذات التماثل الذاتي هي فركتلات، فالخط الحقيقي (خط إقليدي متصل) مثلاً ذو تماثل ذاتي تام، إلا أن الادعاء بأن كامل الكائنات الإقليدية هي فركتلات يمثل موقف قلة من الأشخاص، فقد رأى ماندلبروت أن تعريف الكسيرية لا يجب أن يتضمن الكسيريات «الحقيقية» فقط، بل الأغراض الإقليدية الكلاسيكية، فوجود الأعداد الصماء على مستقيم الأعداد يولد خصائص معقدة لا متكررة.

مفاهيم لتوضيح مجموعة الكسيريات

وعلى صعيد آخر، في محاولة جادة لفهم أغراض معينة كمجموعات كانتور، عمد الرياضيون من أمثال كونسستانتين كاراثيودوري وفيليكس هاوسدورف إلى تعميم المفهوم الحدسي للبعد حيث يتضمن قيماً غير صحيحة. كانت هذه الخطوة جزءاً من توجه ساد في بدايات القرن العشرين بهدف تكوين نظرية وصفية للمجموعة، وكان هذا إتماماً لأبحاث كانتور والتي كانت قادرة إلى حد ما على تصنيف مجموعات من النقاط في فضاء إقليدي. إن تعريف بُعد هاوسدروف ذو طبيعة هندسية، ولو أنه شُكل تقنياً باستخدام أدوات من التحليل الرياضي. عمل بيزيكوفيتش في هذا الاتجاه على غرار الآخرين، وقد اختلف في مضمونه عن التحريات المنطقية التي بُني على أساسها القسم الأعظم من النظرية الوصفية للمجموعة على عشرينيات وثلاثينات القرن العشرين، وقد تمت متابعة الأبحاث لاحقاً في هذا المجال، ولكن من قبل المختصين حصراً.