لغارتم طبيعي

أصل مصطلح اللغارتم الطبيعي

إضافةً إلى ذلك، يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة واللغارتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة والأسيّة في كتاب مقدمة في تحليل اللانهاية (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللغارتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لغارتم يّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور وكريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.

كذلك، إن صلة الوصل بين المنطقة وأقواس الدائرة ودوال القطع الزائد تُظهر «طبيعيّة» اللغارتم .

وفي السياق ذاته، تنتج الدالة وذلك من أجل n ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". وبالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد وخطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة والقطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. وبالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة xy = 1.

عمليات على دالة اللغارتم الطبيعي

• و بما ان: f(1) =k فان: ln(a)=k اذن وبصفة عامة:
• من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية:
• (حالة خاصة)
• حيث يشير الرمز إلى جداء.
• الاشتقاق والمتسلسلات

كذلك، لتكن f دالة معرفة ب حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللغارتم الطبيعي أي أن:

اتصال ورتابة دالة اللغارتم الطبيعي

في هذا الإطار، نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

ومن ناحية أخرى، و منه الدالة ln متصلة على وبما ان مشتقتها موجبة قطعا فإنها تزايدية قطعا على

التعريفات

خاصيات

يُعرَّف العدد e بأنه عدد حقيقيّ فريد a حيث ln(a) = 1.

إضافةً إلى ذلك، يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln(ab) إلى جزأين ومن ثُمّ المكاملة بالتعويض في الجزء الثاني، وفق الآتي:

هذه الدالة لغارتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للغارتم :

علاوةً على ذلك، بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللغارتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln(x)) = x. وبما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم x الإيجابيّة.

وفي هذا السياق، رسمياً، في حالة a يُمكن تعريف اللغارتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/x. هذا هو التكامل

وفي هذا الصدد، في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/a في الاتجاه الأفقيّ وبواسطة a في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، ولكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين a و ab. لأن الدالة a/(ax) تُساوي الدالة 1/x، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln(b).

التاريخ

كذلك، وضعت أول إشارة للغارتم الطبيعي من قبل نيكولاس مركاتور في عمله Logarithmotechnia المنشور في 1668، على الرغم من أن مدرس الرياضيات

وفي هذا السياق، قام بالفعل في عام 1619 بتجميع جدول لما كان في الواقع لغارتم ات طبيعية. لقد قيل إن لغارتم ات سبيديل كانت ذات الأساس e ، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا بسبب التعقيدات مع القيم المعبر عنها كأعداد صحيحة.

إضافةً إلى ذلك، ويسمى هذا اللغارتم كذلك باللغارتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللغارتم ية (والتي ليست في الواقع جداول اللغارتم ات الطبيعية).

من جانب آخر، تم وضع مفهوم اللغارتم الطبيعي بواسطة غريغوار دو سان فنسان و قبل عام 1649. تضمن عملهم تربيع القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 من خلال تحديد مساحة القطاعات الزائدية. تولد حلولهم دالة «اللغارتم الزائدي» المطلوبة التي لها خصائص مرتبطة الآن باللغارتم الطبيعي.

اللغارتم العقدي

• يعرف كالآتي:
• انظر كذلك
• لغارتم عشري
• لغارتم اثناني

دالة اللغارتم الطبيعي في التكامل

• و .
• فيما يلي مثال في حالة :
• نعتبر :
• حيث هي دالة القاطع.
• حيث C هو ثابت التكامل.
• يمكننا مكاملة اللغارتم الطبيعي باستخدام التكامل بالتجزئة:
• لتكن:
• إذن:
• تكامل الدالة المركبة هو:

من جانب آخر، بمكاملة دالة المقلوب، نتحصل على اللغارتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ x، بتعبير آخر:

الكسور المستمرة

حيث تسمى المتسلسلة الأولى «متسلسلة مركاتور».

إضافةً إلى ذلك، فهذه الكسور المستمرة، وبشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللغارتم ات الطبيعيّة لأغلب الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل.

ومن جهة أخرى، علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.2510 × 1.0243 فإن اللغارتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه وبطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:

من جانب آخر، مثلًا بما أن 2 = 1.253 × 1.024 يمكن حساب اللغارتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:

في هذا الإطار، في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن الكثير من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:

المتسلسلات

وفي هذا الصدد، هذه هي متسلسلة تايلور لـ ln x زائد 1. يؤدي تغيير المتغيرات إلى توليد متسلسلة ميركاتور:

إذا كان و ، فإن:

صالحة من أجل و .

الإشتقاق

من جانب آخر، يتم الحصول على مشتق اللغارتم الطبيعي كدالة ذات قيمة حقيقية على الأعداد الحقيقية الموجبة بواسطة:

إثبات

اتفاق حول الرموز

وفي السياق ذاته، تاريخياً، أُدخلت الرموز "" و "" إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل، وبقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل، أما الرمز "log." أو "log"، فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log" و "logh".

إضافةً إلى ذلك، يشير الرمزان و بشكل لا لبس فيه إلى اللغارتم الطبيعيّ لِـx. وقد يُفهم من الرمز دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لغارتم طبيعيّ لِـx. يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة وفي الرياضيات فضلًا عن بعض لغات البرمجة. يُمكن استعمل الرمز في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللغارتم ذو الأساس 10.