مؤشر أويلر
المحتويات
في البداية، في نظرية الأعداد، مؤشر أويلر هو دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية. تستعمل في الرياضيات الخالصة وفي نظرية المجموعات وفي نظرية الأعداد الجبرية وفي نظرية الأعداد التحليلية. في الرياضيات التطبيقية، مروراً بالحسابيات التوافقية، تلعب دوراً مهماً في نظرية المعلومات وخاصة في التشفير. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
كذلك، دالة أويلر هي دالة جدائية أو ضربية أي أنه إذا كان m و n أوليين فيما بينهما، إذا:
من جانب آخر، وتسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي، لأن الحرف φ مستعمل للإشارة لهذه الدالة.
وفي هذا السياق، مؤشر أويلر φ هي دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية نحو نفس المجموعة، حيث صورة n بالدالة هو عدد الأعداد الأصغر من n والأولية مع n.
مثلا، φ(8) = 4 لأن الأعداد 1، 3، 5 و7 أولية مع 8.
إضافةً إلى ذلك، وتحمل اسم الرياضي السويسري أويلر (1707 - 1783) الذي كان أول من درسها.
مثال
- ، لأن 19 عدد أولي.
- قيمة دالة أويلر للقوة عدد أولي (أس)
- ، حيث p عدد أولي و n عدد صحيح موجب.
حساب دالة أويلر
وفي هذا الصدد، حيث يمتد هذا الجداء على القواسم الأولية المختلفة الواحد منهم عن الآخر.
مثال
حدسية كارميكائيل
- انظر إلى حدسية دالة المؤشر لكارميكائيل.
- فرضية ريمان
- دالث بسي لديدكايند
- انظر كذلك
- تعميمات مبرهنة فيرما الصغرى
- دالة المؤشر لكارميكائيل
- عدد مؤلف للغاية
- مجموع رامانجن
- مراجع
حدسية ليهمر
وعلى صعيد آخر، إذا كان p عددا أوليا، فإن . في عام 1932، طرح ديريك هنري ليهمر السؤال التالي: هل هناك من عدد طبيعي n مؤلف (أي غير أولي)، حيث يقسم n -1 ؟ لا يعلم في الوقت الحالي أي جواب على هذا السؤال.
ومن جهة أخرى، في سنة 1933، برهن على أنه إذا كان هذا العدد موجودا، فإنه حتما، فردي وخال من المربعات، وقابل للقسمة على سبعة أعداد أولية على الأقل (أي أن ).
بعض من قيم الدالة
. ويعود كون تصغر بواحد 137 إلى كون العدد 137 أوليا.
إضافةً إلى ذلك، مثلًا، العدد الذي يقع في تقاطع العمود الذي يحمل رقم 5 مع الخط الذي يحمل العدد 132 هو 136. سبب ذلك هو ما يلي:
برهان لصيغة جداء أويلر
من جهة ثانية، تنص المبرهنة الأساسية في الحسابيات على أنه إذا كان n > 1 فإنه يمكن التعبير على n عبر جداء من الأعداد الأولية ، بما أن مؤشر أويلر هي دالة جدائية، لدينا
مثال
.
مبرهنة أويلر
- تنص هذه المبرهنة على أنه إذا كان a و n عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما، فإن:
- الحالة الخاصة من هذه المبرهنة حينما يكون n أوليا تعرف باسم مبرهنة فيرما الصغرى.
- انظر إلى مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)
- صيغ أخرى تحتوي على مؤشر أويلر
- بحيث
- خاصية مينون
- في عام 1965 أثبت كيسافا مينون أن
- بحيث هو عدد قواسم العدد
- معضلات غير محلولة
التاريخ والتسمية والرمز المستعل
وفي هذا السياق، يختلف هذا التعريف عن التعريف الحالي للدالة الكلية عند D = 1 ولكنه بخلاف ذلك هو نفسه. التدوين القياسي الحالي (φ(A يأتي من أطروحة غاوس استفسارات حسابية والتي نشرت عام 1801. على الرغم من أن غاوس لم يستعمل الأقواس حول المتغير وكتب φA. بالتالي، غالبًا ما تسمى دالة فاي لأويلر أو ببساطة دالة فاي.
وعلى صعيد آخر، أبدع ليونهارت أويلر هذه الدالة عام 1763م و مع ذلك في ذلك الوقت لم يقم أويلر بإختيار أي رمز للدلالة عليها. في منشور عام 1784، درس أويلر هذه الدالة بشكل أكبر، واختار الحرف اليوناني للدلالة عليها: كتب لـ «عدد الأعداد الأقل من D ، والتي ليس لها قاسم مشترك معها».
قيمة دالة أويلر للعدد أولي
إضافةً إلى ذلك، حيث p عدد أولي، ودالة أويلر تأخذ هذه القيمة لكل الأعداد الأولية، والسبب يرجع لأن كل الأعداد الأصغر قطعا من p هي اولية مع p.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟