مبرهنة

مبرهنات رياضية

ومن جهة أخرى، من الأمثلة الأخرى ذات الطبيعة المماثلة مبرهنة الألوان الأربعة (Four Color Theorem)، إذ أن البرهان الذي تم توليده بواسطة الحاسوب طويل إلى درجة تجعله غير قابل للقراءة بالكامل من قِبل الإنسان.

كذلك، المبرهنة الرياضية هي قانون صحيح دائما، يتم البرهنة على صحته، بواسطة التحليل المنطق، انطلاقا من مسلمات ومبرهنات أخرى.

معلومات وحكايات حول المبرهنات (Lore)

إضافةً إلى ذلك، تُعدّ مبرهنة تصنيف الزمر البسيطة المنتهية (Classification of Finite Simple Groups)، في نظر بعض الرياضيين، واحدة من أطول البراهين في تاريخ الرياضيات. إذ يتألف برهانها من عشرات الآلاف من الصفحات موزعة على نحو  500 مقالة علمية، شارك في تأليفها نحو 100 باحث. ويُعتقد أن هذه الأعمال مجتمعة تقدّم برهانًا كاملًا للمبرهنة، كما توجد عدة مشاريع بحثية جارية تهدف إلى اختصار هذا البرهان وتبسيطه.

في هذا الإطار، من الأقوال المأثورة المعروفة في الرياضيات: «عالم الرياضيات هو جهاز لتحويل القهوة إلى مبرهنات». ويُرجَّح أن هذا القول يعود إلى عالم الرياضيات ألفريد ريني (Alfréd Rényi)، رغم أنه يُنسب في كثير من الأحيان إلى زميله بول إردوش (Paul Erdős). وقد اشتهر إردوش بكثرة المبرهنات التي أسهم في إنتاجها، وبالعدد الكبير من الرياضيين الذين تعاون معهم، إضافةً إلى ولعه المعروف بشرب القهوة.

ومن ناحية أخرى، في حالة عدم التمكن من إثبات صحة أو خطأ نظرية تسمى حدسية، ولا تصبح مبرهنة رياضية إلا بعد البرهنة النهائية عليها.

ومن ناحية أخرى، تشير التقديرات إلى أنه يتم إثبات أكثر من ربع مليون مبرهنة رياضية كل عام.

برهان بالتراجع

إضافةً إلى ذلك، A إذا كان عبارة معرفة على مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، إذا تحقق ما يلي:

صحيحة بالنسبة للقيمة صفر

• الاستلزام:
• صحيح
• انظر كذلك
• مبرهنة التقوية الصغيرة

للبرهنة على صحة العبارة

• يمكن دراسة حالتين:
• إذا كان صحيحا وكان الاستلزام صحيحا، فإن صحيحة.
• إذا كانت العبارة و الاستلزام صحيح ،فإن صحيحة

الاستلزام العكسي

• للبرهنة على صحة الاستلزام:
• يمكن البرهنة على أن الاستلزام:
• صحيح كذلك.
• برهان بفصل الحالات

التعريف التقليدي

وفي هذا السياق، الأطروحة (Thèse) وتسمى كذلك النتيجة أو الخلاصة (Conclusion): وهي عبارة رياضية أو منطقية تثبت النظرية صحتها بناءً على الفرضيات الأساسية.

وفي هذا السياق، الفرضيات (Hypothèses): وهي الشروط الأساسية التي تُدرج في النظرية إلى جانب العناصر المثبتة سابقاً في إطار النظرية الرياضية.

وفي هذا السياق، البرهان أو الإثبات (Démonstration): بما أن النظرية قد تُثبت أحياناً بطرق متعددة ومختلفة للغاية (كما هو الحال في الإثباتات المتعددة لنظرية بيثاغورس)، فإن مجرد وجود البرهان هو ما يشكل النظرية، وليس تفاصيل هذا البرهان نفسه. والبرهان هو سلسلة من الاستنتاجات المنطقية التي تعتمد على بديهيات النظرية الأساسية، وفرضيات النظرية، والنتائج التي تم إثباتها سابقاً في إطار تلك النظرية.

كذلك، تقليدياً، تعرض الثيمة (النظريات الرياضية) كبنية تتكون من العناصر التالية:

برهان لمي

مراجع

لائحة بالمبرهنات الرياضية.

المصطلحات

ومن ناحية أخرى، يمكن لأي مقولة يتم إثبات صحتها أن تأخذ اسم «مبرهنة». ومع ذلك، جرت العادة في المراجع الرياضية على تخصيص هذا المصطلح للمقولات التي تُعتبر جديدة أو ذات أهمية خاصة. وتأخذ المقولات الأخرى أسماء مختلفة حسب أهميتها أو فائدتها:

علاوةً على ذلك، • الخاصية / العبارة (Proposition): نتيجة بسيطة نسبياً ولا ترتبط بمبرهنة معينة.

ومن جهة أخرى، • التخمين (Conjecture): مقولة رياضية تُجهل قيمة صوابها، وبمجرد إثباتها تصبح مبرهنة. تشكل المقولات القابلة للإثبات انطلاقاً من مجموعة من البديهيات ما يُعرف بـ «النظرية». وتُعتبر العبارة مبرهنة بالنظر إلى النظرية التي صُممت في إطارها. يتم إثبات المبرهنة انطلاقاً من فرضيات أساسية وقواعد الاستدلال. ورغم أن البرهان ضروري لتصنيف العبارة كـ «مبرهنة»، إلا أنه لا يُعد جزءاً منها.

علاوةً على ذلك، • المساعدة (Lemme): مقولة تُستعمل كمرحلة انتقالية لإثبات مبرهنة أكثر أهمية.

في هذا الإطار، • النتيجة المباشرة (Corollaire): نتيجة تنتج مباشرة عن مبرهنة تم إثباتها (يُستعمل كذلك مصطلح «تذييل» في المراجع القديمة).

برهان بالاستنتاج

في هذا الإطار، إذا كانت العبارة الرياضية صحيحة، والاستلزام صحيح فإن العبارة صحيحة.

تصنيفات

• تعتبر صحيحة:
• المسلمات التي تعتبر بمثابة قاعدة لمبرهنة، وليس لها برهان.
• التعريفات التي تقدم وصفا أو تعريفا لكائنات رياضية تملك بعض الخصائص.
• المبرهنات التي يتم البرهنة عليها وفق تسلسل منطقي.
• بعض طرق البرهنة