مبرهنة أويلر

البرهان

• وبالتالي نستطيع التخلص من xi ونحصل على مبرهنة أويلر:
• راجع كذلك
• مبرهنة كارمايكل
• مبرهنة فيرما الصغرى
• نظرية ويلسون
• المصادر
• وصلات خارجية

كذلك، لتكن نظام بواقي مصغر (mod n) ولتكن a عدداً صحيحاً أولي نسبياً مع n.

وفي هذا السياق، ما يعني أن المجموعات و بأخذهم (mod n) فإن لهم نفس الباقي، مايعني أن حاصل ضرب عناصر المجموعة R مساوٍ لـ aR :

علاوةً على ذلك، البرهان مبني على أن الضرب بـa يدوّر الباقي xi: بكلمات أخرى إذا كان فإن .

حيث دالة أويلر أو مؤشر أويلر

علاوةً على ذلك، يمكن استخدام المبرهنة لإيجاد البواقي لإعداد ذات قوى كبيرة ل"n" بسهولة. مثلًا: لإيجاد وحدة الآحاد للعدد والذي يكافئ

وفي السياق ذاته، في 1736، قدم أويلر إثباته لمبرهنة فيرما الصغرى، والتي قدمها فيرما دون إثبات. لاحقًا، قدم أويلر أدلة أخرى على النظرية، وبلغت ذروتها بـ «نظرية أويلر» في ورقته البحثية عام 1763، والتي حاول فيها إيجاد أصغر أس الذي به تكون نظرية فيرما الصغرى صحيحة دائمًا.

من جانب آخر، النظرية تعد تعميماً لنظرية فيرما الصغرى، ويمكن تعميمها إلى مبرهنة كارمايكل.

إذا آحاد العدد هو 9