مبرهنة إقليدس

برهان إقليدس

ومن ناحية أخرى، إذا كان q غير أولي، فإنه يوجد عدد أولي p ما يقسم q. إذا كان p في اللائحة الأصلية، فإنه يقسم P (لأن P هو جداء جميع أعداد اللائحة)، ولكن p يقسم كذلك P + 1 = q. إذا كان p يقسم كلا من العددين q وP، فإنه يقسم الفرق بينهما الذي هو P + 1) − P) أو بكل بساطة هو 1. بما أنه لا يوجد عدد أولي يقسم الواحد، فإن هذا تناقض. وبالتالي، p لا يمكن أن يكون في اللائحة الأصلية. هذا يدل على أنه يوجد عدد أولي ما غير موجود في اللائحة الأصلية. هذا يدل على أنه مهما كانت لائحة منتهية ما من الأعداد الأولية، فإنه يوجد عدد أولي لا ينتمي إلى هذه اللائحة. إذن، هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

ومن جهة أخرى، إذا كان q أوليا، فإن البرهان قد انتهى بما أنه استطيع ايجاد عدد أولي غير موجود في اللائحة الأصلية.

وفي السياق ذاته، أعطى هذا البرهانَ إقليدس في كتابه العناصر، يأتي فيما يلي نصا:

في هذا الإطار، لتكن لائحة الأعداد الأولية المنتهية p1, p2, ..., pn. سيُبرهن على أنه يوجد عدد أولي آخر ليس ضمن هذه المجموعة. وليكن P جداء هذه الأعداد الأولية جميعها. P = p1p2...pn. وليكن q = P + 1. قد يكون q أوليا وقد يكون غير أولي.

برهان إيردوس

وفي هذا السياق، أعطى بول إيردوس برهانا تعتمد كذلك على المبرهنة الأساسية في الحسابيات. لاحِظ أن كل عدد صحيح يكتب على الشكل الوحيد التالي :

إضافةً إلى ذلك، حيث r خال من المربعات (أي أنه غير قابل للقسمة على مربع أي عدد صحيح). ولنفترض أن عدد الأعداد الأولية منته وليكن عددهم هو k...

برهان فورستنبرغ

إضافةً إلى ذلك، في خمسينات القرن العشرين، قدم هيليل فورشتنبرغ برهانا للا نهائية الأعداد الأولية باستعمال الطوبولوجيا العامة. انظر إلى برهان فورشتنبرغ على لا نهاية الأعداد الأولية.

• بعض من البراهين الحديثة
• بيناسكو
• فانغ
• البرهان باستعمال دالة المؤشر لأويلر

برهان أويلر

المتساوية الأولى تعطيها صيغة المتسلسلة الهندسية

وعلى صعيد آخر، يعتمد برهان آخر قدمه عالم الرياضيات السويسري ليونهارت أويلر على المبرهنة الأساسية في الحسابيات : لكل عدد صحيح طبيعي تعميل وحيد إلى جداء أعداد أولية. إذا كانت P هي مجموعة الأعداد الأولية، فإن أويلر كتب ما يلي:

البرهان باستعمال كون π عددا غير جذري

تمثيل صيغة لايبنتس ل π على شكل جداء لأويلر يعطي ما يلي

علاوةً على ذلك، كل مقام هو أقرب مضاعفات 4 للبسط. إذا كان عدد الأعداد الأولية منتهيا، لصار π عددا جذريا. وهذا يتناقض مع كون π عددا غير جذري. ولكن البرهان على أن π عدد غير جذري أصعب بكثير من البرهان على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

• انظر كذلك
• مبرهنة دركليه حول الأعداد الأولية,
• مبرهنة الأعداد الأولية
• مراجع