مبرهنة التدرج
المحتويات
على سبيل التعريف، تنص مبرهنة التدرج ، والمعروفة كذلك باسم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل للتكاملات الخطية، أنه يمكن تقييم تكامل خطي من خلال حقل التدرج من خلال تقييم الحقل السلمي الأصلي في نقاط النهاية للمنحنى. المبرهنة هي تعميم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل لأي منحنى في مستوى أو فضاء (بشكل عام n الأبعاد) بدلاً من مجرد الخط الحقيقي. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
وعلى صعيد آخر، تستلزم نظرية التدرج بأن التكاملات الخطية عبر حقول التدرج مستقلة عن المسار. في الفيزياء هذه المبرهنة هي إحدى طرق تعريف القوة المحافظة. بوضع ككمون، هو حقل محافظ. لا يعتمد الشغل الذي تقوم به القوى المحافظة على المسار الذي يتبعه الكائن، ولكن يعتمد فقط على نقاط النهاية، كما تظهر المعادلة أعلاه.
(حيث تشير إلى تدرج الحقل المتجهي لـ )
إضافةً إلى ذلك، لتكن دالة قابلة للاشتقاق باستمرار و أي منحنى في U يبدأ عند وينتهي عند . تنص المبرهنة على أن:
إثبات
لكل في . هنا، تشير " " إلى الجداء الداخلي.
ومن جهة أخرى، إذا كانت دالة قابلة للتفاضل من المجموعة الجزئية المفتوحة (لـ ) نحو ، وإذا كانت دالة قابلة للتفاضل من الفترة المغلقة نحو ، حسب قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات، فإن الدالة المركبة قابلة للتفاضل على و:
ومن جهة أخرى، حيث تُستخدَم تعريف التكامل الخطي في المساواة الأولى، وتُستخدَم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل في المساواة الثالثة.
في هذا الإطار، نفترض الآن أن المجال لـ يحتوي على المنحنى القابل للتفاضل بنقاط النهاية و , (موجه في الاتجاه من إلى ). إذا كانت توسِّط من أجل في الفترة ، فإن ما ورد أعلاه يوضح ما يلي:
مراجع
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟