مبرهنة بايز
على سبيل التعريف، في نظرية الاحتمالات والإحصاء، تصف مبرهنة بايز (التي تعرف كذلك بقانون بايز أو قاعدة بايز) احتمال وقوع حدث، بناءً على المعرفة المسبقة بالظروف التي قد تكون ذات صلة بالحدث. مثلًا، إذا كان السرطان مرتبطًا بالتقدم في العمر، فعند استخدام مبرهنة بايز، يمكن استخدام عمر الشخص لإجراء تقييم لاحتمال إصابته بالسرطان أكثر دقة مما يمكن عمله دون معرفة عمر الشخص. وتعرض الأقسام التالية جوانب أخرى من الموضوع.
من جهة ثانية، استعمل العالم بيير لابلاس في عام 1774 (وفيما بعد في بحثه بعنوان “نظرية الاحتمالات التحليلية” الذي نشرعام 1812) الاحتمال الشرطي لصياغة علاقة الاحتمال البعدي (أو اللاحق) المحدث بالاحتمال القبلي (أو المسبق) بعلومية الأدلة. ثم جاء فيما بعد السير هارولد جيفريز ليضع كلا من خوارزمية بايز وصياغة لابلاس على أساس بديهي. كتب جيفريز أن أهمية مبرهنة بايز «لنظرية الاحتمالات هي كأهمية نظرية فيثاغورس للهندسة.»
ومن جهة أخرى، هذه الخوارزمية نشرت تحت عنوان مقال نحو حل مشكلة في عقيدة الاحتمالات (عام 1763). فيما أسماه ب”تعليق” ، طور بايز خوارزميته لتشمل أي مسبب غير معروف.
وعلى صعيد آخر، أحد التطبيقات العديدة لمبرهنة بايز هو الاستدلال البايزي وهي أحد طرق الاستدلال الإحصائي. عند تطبيق الاستدلال البايزي، قد يكون للاحتمالات التي تنطوي عليها مبرهنة بايز (Bayesian interpretation of probability) مدلول مختلف عن المفهوم التكراري للاحتمالات (Frequentist interpretation of probability). باستخدام التفسير البايزي للاحتمالات (Bayesian interpretation of probability)، فإن النظرية تبين إلى أي درجة يجب أن تتغير درجة اعتقادنا في أمر ما (وهو ما نعبر عنه على شكل احتمال حدوث هذا الأمر) بعد الأخذ في الاعتبار الأدلة الجديدة التي أصبحت متوفرة. لذلك فان الاستدلال البايزي يعد مفهوما أساسيا في الإحصاء البايزي.
من جهة ثانية، سميت مبرهنة بايز على اسم القس توماس بايز (1701 - 1761)، الذي استعمل الاحتمال الشرطي لأول مرة لتوفير خوارزمية (في فرضيته رقم 9) الذي تستعمل القرائن (evidences) لحساب حدود متغير غير معروف،
مقولات مبرهنة بايز
باعتبار ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:
كذلك، وهو ما يقرأ (جداء الاحتمال الشرطي ل بمعرفة في احتمال ) يعطي احتمال حدوث و معا وهويساوي كذلك (جداء الاحتمال الشرطي ل بمعرفة في احتمال A).
- انظر كذلك
- نظرية الاحتمال
- معضلة شروق الشمس
كذلك، تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة، لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:
وهونص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.
علاوةً على ذلك، تقرأ: " الاحتمال الشرطي للحدث بمعرفة الحدث يساوي إلى احتمال بمعرفة مضروبا باحتمال مقسوما على احتمال . "
برهان مبدئي لمبرهنة بايز
وفي السياق ذاته، لنفرض أن الأحداث و و و و تشكل تجزيئا لفضاء العينة . أي أن و و و و مجموعات جزئية من فضاء العينة متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها، واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة (المنطقة المظللة) فإن:
في هذا الإطار، وبما أن و و و و متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث متنافية كذلك مثنى:
باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي:
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟