مبرهنة تشيفا

كذلك الأمر مع النقطتين D,E منتصف

من جانب آخر، ومن الواضح أن وبالتالي فإن متوسطات المثلث AD,BE,CF تلتقي في نقطة واحدة.

الارتفاعات

• تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة تعرف بملتقى الارتفاعات أو المركز القائم.
• البرهان:
• في المثلث AD,BE,CF : ABC ارتفاعات أقدامها D,E,F على الترتيب.
• المطلوب: لكي تتقاطع ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:

وبهذا تلتقي ارتفاعات المثلث في نقطة واحدة.

كذلك، المثلثان CDO,AFO متشابهان (زاويتان قائمتان وزاويتان متقابلتان بالرأس)ومن التشابه ينتج:

ومن جهة أخرى، كذلك المثلثان CEO,BFO متشابهان وكذلك المثلثان AEO,BDO متشابهان ومن التشابهات ينتج:

الصيغة المثلثية للمبرهنة

.

علاوةً على ذلك، هناك صيغة مثلثية مشابهة لمبرهنة تشيفا، إذا كان ABC مثلث وكانت النقاط D,E,F تقع على الأضلاع BC,AC,AB على الترتيب، فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة O إذا وفقط إذا كان:

تطبيقات

نذكر هنا أهم النتائج المباشرة من هذه المبرهنة:

المتوسطات

وفي هذا الصدد، تلتقي متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تعرف بالنقطة الوسطى أو مركز ثقل المثلث.

البرهان:

في هذا الإطار، في المثلث AD,BE,CF : ABC متوسطات تنصف الأضلاع BC,CA,AB عند النقاط D,E,F على الترتيب.

المطلوب: لكي تتقاطع المتوسطات في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:

نلاحظ أن النقطة F منتصف

منصفات الزوايا

• البرهان:
• في المثلث AD,BE,CF : ABC منصفات للزوايا A,B,C على الترتيب.
• المطلوب: لكي تتقاطع منصفات الزوايا في نقطة واحدة لا بد أن يتحقق:
• باستخدام مبرهنة منصف الزاوية ينتج لدينا:
• ولهذا فإن منصفات الزوايا تلتقي في نقطة واحدة.

وفي السياق ذاته، تلتقي منصفات الزوايا في نقطة واحدة، هذه النقطة مركز الدائرة الداخلية التي تمس أضلاع المثلث.

البرهان

• المستقيمات AD',BE,CF تتقاطع في O بتطبيق مبرهنة تشيفا (الاتجاه الأول):
• ومن المعطيات:
• وبذلك يتحقق المطلوب.
• اقرأ كذلك
• مبرهنة منصف الزاوية
• مبرهنة ستيوارت
• مبرهنة مينلاوس
• مبرهنة فيفياني

• في البداية سنثبت أنه إذا كانت المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة فإن
• .
• لنبدأ مع الضلع في المثلث نلاحظ أن:
• المثلثان لهما نفس الارتفاع وليكن ، إذا:
• كذلك المثلثان لهما ارتفاع واحد لذا:
• وصلنا إلى أن ومن خصائص التناسب نصل إلى:
• بطريقة مشابهة مع الضلعين نصل إلى:
• وهو المطلوب.

ومن ناحية أخرى، لتكن O نقطة تقاطع المستقيمين BE,CF سنثبت أن المستقيم AD يمبر بالنقطة O، نرسم المستقيم AO الذي يقطع BC في النقطة 'D، إذا أثبتنا أن D = 'D فإن AD سيكون نفسه 'AD الذي يمر عبر النقطة O وبالتالي يتحقق المطلوب.

إضافةً إلى ذلك، بقي الآن أن ثبت الإتجاه المعاكس أي إذا كانت فإن المستقيمات AD,BE,CF تتقاطع في نقطة واحدة.