مبرهنة رول

التاريخ

ومن ناحية أخرى، أول برهان رسمي معروف لهذه المبرهنة يعود إلى ميشيل رول. كان ذلك في عام 1691. لكن هذا البرهان لم يكن كاملا حيث تطرق إلى متعددات الحدود فقط. لم يستعمل طرق التفاضل، لأنه كان يعتبرها خاطئة أثناء برهانه هذا. أول برهان كامل معروف لهذه المبرهنة يعود إلى عالم الرياضيات الفرنسي كوشي. كان ذلك عام 1823. هي حالةٌ خاصة من مبرهنة القيمة المتوسطة.

أمثلة

المثال الثاني

إضافةً إلى ذلك، لا تطيق مبرهنة رول : رغم أن ، فإنه لا يوجد عدد c محصور بين ناقص واحد والواحد حيث حيث تنعدم مشتقة f (أي = 0). يعود ذلك إلى كون الدالة f غير قابلة للاشتقاق عند الصفر. انظر كذلك إلى نقطة حرجة (رياضيات).

• تعميمات
• برهان الصيغة المعممة
• تعميم لدرجات اشتقاق أعلى

إضافةً إلى ذلك، إذا لم يتوفر شرط الاشتقاق داخل المجال الذي هو بصدد الدراسة، فإن مبرهنة رول قد لا تُطبق. مثلًا، دالة القيمة المطلقة

برهان

• تعميمات لحقول أخرى
• انظر كذلك
• استيفاء خطي
• مبرهنة القيمة الوسطى
• مراجع
• نظرية رول

وفي هذا الصدد، إذا افترضنا أنه لا توجد القيمة r، وf(a) = 0 وf موجبة. فهذا يعني أن الدالة f متزايدة أي أن f(b)#0 وهذا يتناقض مع f(b)=0.

• وجود القيمة r يعني أن هناك قيمة قصوى أو دنيا.
• نفترض f موجبة في (أ، ب).
• في هذه الحالة يكون للدالة f على الأقل قيمة قصوية.

الدالة قابلة للاشتقاق في المجال المفتوح

فإنه يوجد عنصر c حقيقي ضمن بحيث .

المثال الأول

ليكن r عددا موجبا ولتكن الدالة التالية:

الصيغة الرسمية للمبرهنة

تكتب مبرهنة رول على الشكل التالي: