متباينة (جبر)

الضرب والقسمة

ومن ناحية أخرى، لا تتغير جهة المتراجحة إذا ضربنا أو قسمنا طرفيها على نفس العدد الموجب المغاير للصفر.

ومن جهة أخرى، تتغير جهة المتراجحة إذا ضربنا أو قسمنا طرفيها على نفس العدد السالب المغاير للصفر.

الجمع والطرح

إضافةً إلى ذلك، لا تتغير جهة المتراجحة إذا تم جمع أو طرح من طرفيها نفس العدد,

فإذا كانت ثلاث أعداد حقيقية فإنه: إذا كان > فإنً >

التعدي

إضافةً إلى ذلك، إذا كانت العلاقة بين عنصرين -من العناصر السابقة- لا مساواة صارمة، فإن العلاقة في النتيجة ستكون لا مساواة صارمة.

• حالات التعدي في المتراجحات:
• من أجل أية ثلاث أعداد حقيقة :
• إذا كانت a ≥ b وb ≥ c فإن: a ≥ c
• إذا كانت a ≤ b وb ≤ c فإن: a ≤ c

فمثلاً: إذا كانت a = b وb > c فإنّ: a > c

فمثلاً: إذا كانت a ≥ b وb > c فإن: a > c

من جهة ثانية، إذا كانت العلاقة بين عنصرين - من العناصر السابقة- علاقة مساواة، فإن العلاقة في النتيجة ستكون تراجح.

فترة مفتوحة

{a,b) = {x ∈ ℝ , a < x < b)

القيمة المطلقة في المتباينات

x , x ≥ o

علاوةً على ذلك، إذا كان x عددا حقيقيا، فإن القيمة المطلقة للعدد X ويرمز لها بالرمز |x| تعرف كالآتي:

x < -5

• مثال :
• (8-) > (y(-2
• y > 4

تطبيق دالة ما على طرفي المتراجحة

من جانب آخر، مثلًا، تطبيق دالة اللوغارتم الطبيعي على طرفي المتباينة يعطي ما يلي:

حل متباينة من الدرجة الأولى

وفي هذا السياق، بنفس طريقة حل المعادلات من الدرجة الأولى في مجهول واحد مع الأخذ في الاعتبار خصائص علاقة التباين وهي لا تختلف عن خصائص علاقة التساوي إلا في حالة الضرب والقسمة في عدد سالب حيث إن إشارة التباين في هذه الحالة تنعكس من أصغر إلى أكبر أو من أكبر إلى أصغر

• مثال :
• 12- > 4(2x+7)
• 12- > 28 + (x(8
• 12- 28- > (x(8
• 40- > (x(8
• x < (-40)/8

متراجحات معروفة

• أنظر كذلك لائحة المتراجحات.
• متراجحة أزوما
• متراجحة برنولي
• متراجحة بول
• متراجحة كوشي-شفارز
• متراجحة تشيبشف
• متراجحة كولموغوروف
• متراجحة ماركوف
• متراجحة بونكاريه
• المتراجحة المثلثية

فإن x=y أو x=-y

قاعدة:

إذا كان x عددا حقيقيا أكبر من الصفر (x > 0) فإن:

فترة مغلقة

{a,b] = {x ∈ ℝ , a ≤ x ≤ b]

فترة نصف مغلقة نصف مفتوحة

{a,b) = {x ∈ ℝ , a ≤ x < b]

الخصائص

x , x < o-

قاعدة:

وفي هذا الصدد، من التعريف السابق نجد أن القيمة المطلقة لأي عدد حقيقي x هو مقياس هذا العدد بصرف النظر عن إشارته. أي أن |x| > صفر دائماً.

مثلًا فإن:

x|<y ⇔ -y<x<y|

إضافةً إلى ذلك، حيث ⇔ (إذا وفقط إذا) تعني أنه إذا تحقق الشرط يتحقق الجواب وإذا تحقق الجواب يتحقق الشرط كذلك (علاقة من طرفين).

• قاعدة:
• إذا كان x عددا حقيقيا أكبر من الصفر (x > 0) فإن:
• x>y ⇔ |x|>y أو x<-y.