متجه موجي

سرعة الموجة

• اقرأ كذلك
• موجة مادية
• طول موجة دي برولي

vp سرعة الطور، بوحدة متر/ثانية،

ωهي التردد الزاوي، بوحدة راديان / ثانية،

حيث:

في هذا الإطار، تعطي سرعة الطور السرعة التي تتقدم بها موجة ذات تردد معين في اتجاه معين. ويعتمد العدد الموجي على التردد الزاوي للموجه وهو يعتمد بالتالي على طول الموجة كما رأينا أعلاه. والعلاقة بين متجه الموجة والتردد الزاوي هي:

وعلى صعيد آخر، في الحالة الخاصة حيث c مقدار ثابت تسمى الموجة «غير تفرقية» أو «غير تشتتية» non-dispersive, حيث تنتشر جميع الترددات بنفس السرعة. وعل سبيل المثال تعتبر الموجات الكهرومغناطيسية نغير تشتتية في الفراغ. في أحوال أخرى مثل انتشار صوت في طبقات الأرض المختلفة تكون سرعة الموجات «تشتتية». وتعتمد تشتتية الموجات على نوع الوسط التي تنتشر فيه وكذلك على نوع الموجات: موجة كهرومغناطيسية، أو موجة صوتية أو موجات مائية على سطح البحر.

k هو متجه الموجة ووحدته راديان/متر.

كذلك، تعبر سرعة الموجة عن سرعة انتقال طور موجة وانتشار طاقة (مثل أشعة الشمس) أو انتقال معلومات حيث تَنْتَقِلُ بواسطة موجة كهرومغناطيسية. وسرعة طور الموجة يعطى بالمعادلة:

علاوةً على ذلك، سرعة حزمة موجية مكونة من عدة ترددات متقاربة تسمى «سرعة مجموعة» group velocity وتعرف بواسطة تدرج العلاقة التشتتية:

وفي هذا السياق، في أغلب الأحوال تكون حركة موجة عبارة عن حركة طاقة خلال وسط (مثل انتشار الضوء، وانتشار الصوت، وانتشار موجة بحرية). وغالبا تعبر سرعة مجموعة عن سرعة انتشار الطاقة في الوسط.

صياغته رياضيا

• يمكن وصف موجة مستوية (ليست دائرية أو كروية) تنتشر في الاتجاه بالمعادلة:
• وهي دالة تعتمد على المكان r والزمن t .
• وتعني التردد الزاوي ويعبر عنه بوحدة 1/ ثانية.
• ويمكن تحليل الموجة في ثلاثة أبعاد x و y و z كالآتي:
• حيث يمثل k العدد الموجي الدوراني، وذلك يسمى "متجه العدد الموجي.
• يعطى بالمعادلة:

التعريف الفيزيائي

• إذا كان طول الموجة يكون العدد الموجي:
• أي إذا كانت تقاس بالمتر، يقاس العدد الموجي 1/متر.
• في الحالة العامة:
• يمكن وصف موجة مستوية تنتشر في بعد واحد وليكن في الأتجاه x بالمعادلة:
• حيث:

t الزمن،

A المطال للموجة (أي أعلى مقدار لتغير سطح الماء مثلا),

k هي «متجة الموجة».

ومن ناحية أخرى، فتكون هي العدد الموجي (أو في الحالة العامة حيث تسمى «العدد الموجي الزاوي») وتساوي عندئذ:

r هو موقع الموجة في مكان ثلاثي الأبعاد،

وفي هذا الصدد، : تشكل دالة للمكان x والزمن t اهتزاز موجة، مثل موجة في الماء حيث تَنْتَشِرُ الموجة عن طريق صعود بعض الماء عند نقطة ثم ينحفض ثانيا ثم يرتفع وهكذا، أو انتشار موجه صوتية حيث تحدث تغيرات دورية في ضغط الهواء وتصف الدالة تلك التغيرات الدورية.

هي التردد الزاوي لموجة تصف معدل اهتزازها عن نقطة معينة،

إضافةً إلى ذلك، هو فرق الطور الذي يبين مقدار اختلاف تقدم موجتين لهما نفس الخصائص، بسبب انطلاقهما بفرق زمني قصير جدا فيتصبحان غير متطابقتين.

في هذا الإطار، كما هو الحال بالنسبة لموجة تنتشر في اتجاه واحد. ويمكن أن يتغير متجه الموجة قليلا عند انتشار الموجة في وسط غير متجانس بسبب اختلافات قليلة لسرعة تقدم الموجة في ذلك الوسط الغير متجانس.

• .
• تتقدم هذه الموجة في الاتجاه +x بالسرعة .
• تسمى «سرعة الطور».

ومن جهة أخرى، تنتشر موجة عادة ليس في اتجاه واحد وإنما تنتشر في ثلاثة أبعاد (كرويا)، مثل انتشار ضوء من مصدر ضوئي. فتصبح معادلة انتشار الموجة كالآتي:

وقيمتها هي:

حيث:

x المكان،

متجه الموجة والعدد الكمي

وفي هذا الصدد، توصف أحوال طاقة الإلكترون الذي يوصف بموجة في النظام بالأعداد الكمومية و و . ويمكن استبدال تلك الثلاثيات من الأعداد لوصف حالة معينة عن طريق وصفها «بمتجه موجة» .

وفي هذا الصدد، ليس الضوء وحده له طول موجة بل هكذا تمثل جميع الموجات الكهرومغناطيسية. وفي أوائل القرن العشرين اتضح أن الإلكترون يسلك أحيانا مسلك «الموجة»، ومنذ ذلك الحين نعرف أن الإلكترون وجميع الجسيمات الأولية مثل البروتون والنيوترون يمكن وصفها بأنها موجات، وهذا ما صاغه دو بروي في نظريته عن ازدواجية موجة-جسيم.

إضافةً إلى ذلك، وعند معاملة نظام من n جسيمات نحصل على حل ذي n من المتجهات. فإذا كنا نتعامل مع إلكترونات - أي بالتالي فرميونات - ينتج لكل متجه موجة حالتين كموميتين تصفان العزمين المغزليين Spin للإلكترون، عزم مغزلي علوي وعزم مغزلي سفلي.

من جهة ثانية، تتخذ طول الموجة للضوء في الفراغ قيما موجبة، وتقاس طول الموجة بالمتر أو السنتيمتر أو مليمتر أو أنجستروم.

توضـــيح:

ومن جهة أخرى، يعطينا حل معادلة شرودنجر الخاصة ببئر جهدي ثلاثي الأبعاد الحل التالي (حالة إلكترون يدور حول نواة الذرة):

في هذا الإطار، ومع ذلك فلا نعتبره أو لا نعتبر أحد مركباته نفسها أعدادا كمومية، ذلك لأن متجه الموجه له وحدة، وعلاوة على ذلك فهو عدد حقيقي.

من جهة ثانية، ويختلف الحال ل جسيم أولي مثل الإلكترون المنحصر في بئر جهدي لنواة الذرة أو في نظام للمادة الصلبة، عندئذ تكون مقادير المتجهات الموجية له كمومية، ولكنها ليست بنفسها أعدادا كمومية. فيعتبر المتجه الموجي دالة لأعداد كمومية أي أن قيمه يمكن أن تعتمد على أعداد كمومية. في هذه الحالة يناظر متجه الموجة الطاقات الكمومية في نظام كمومي (مثل طاقات الإلكترون في الذرة) حيث يتخذ قيما كمومية منفصلة . وتعبر n عن الطاقات المنفصلة للإلكترون ولكنها ذاتها ليست الطاقة.

زخم الحركة ومتجه الموجة

بثابت بلانك المخفض،

العلاقة التناسبية بين متجه الموجة ومتجه زخم الحركة كالآتي:

من جهة ثانية، بالنسبة للفوتون (معادلات ألبرت أينشتاين) وللموجات المادية (علاقة دو برولي) يعطينا متجه الموجة، بالاستعانة

وفي هذا الصدد، ملحوظة: تعامل تلك المسألة جسيم أولي حرا طليقا (أي لا يرتبط في نظام).