متسلسلة قوى

المتسلسلات الهندسية والدالة الأسية ودالة الجيب

• المتسلسلة الهندسية : حيث 1 >|x| .
• معادلة الدالة الاسية :
• معادلة الجيب :
• الاثنان الأخيران هما كذلك أمثلة على تسلسلات تايلور.

متعددات الحدود

إضافةً إلى ذلك، يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

قطر ومجال التقارب

ومن جهة أخرى، إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة ، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق . مجال التقارب هو القطعة المفتوحة .

إضافةً إلى ذلك، لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ، حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب.

العمليات على متسلسلات القوى

وفي السياق ذاته، إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R نصف قطر التقارب أو قطر التقارب أو شعاع التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة هو :

الدوال التحليلية

من جانب آخر، يمكن تحديد متسلسلة القوى لدالة عكسية لدالة تحليلية باستعمال مبرهنة العكس للاغرانج.

ومن جهة أخرى، يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها تحليلية إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

• مراجع
• انظر كذلك
• تقريب خطي

ومن ناحية أخرى، إذا أعطيتَ متسلسلة للقوى بشعاع تقارب معلوم r، فإنه بالإمكان اعتبار الامتداد التحليلي لهذه المتسلسلة.

إضافةً إلى ذلك، انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل وإلى امتداد تحليلي.

من جانب آخر، حيث هي اشتقاق الدالة f من الدرجة n، مطبقآ عند النقطة c ، وحيث .

الجمع والطرح

التفاضل والتكامل

إذن

إضافةً إلى ذلك، عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :