متغير عشوائي

قبل الخوض في التفاصيل، المتغير العشوائي في الرياضيات، وبالتحديد في الاحتمالات والإحصاء، متغير ذو قيمة متغيرة طبقًا للصدفة (أي أنه يحقق مفهوم العشاوة)، فلا يكون ثابتًا على قيمة معينة محددة. يساوي متغير عشوائي قيمة من القيم الممكنة المختلفة، لكل واحدة منهن احتمال ما. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.

وعلى صعيد آخر، ما يميز المتغير العشوائي عن دراسة أي دالة في الرياضيات هو أننا لا نهتم بقيم الدالة في حد ذاتها، وإنما باحتمال أن نحصل على قيمة معينة أو أن تكون قيم الدالة في حيز معين.

من جانب آخر، معنى قيم الاحتمال المنسوبة للقيم الممكنة للمتغير العشوائي ليس جزءًا من نظرية الاحتمالات نفسها، ولكن متعلق بالجدال الفلسفي المرتبط بتأويل الاحتمالات. تعمل الرياضيات بنفس الآلية بصرف النظر عن التأويل المعين قيد الاستخدام.

وفي هذا الصدد، من المعروف أن هذه النتائج تعتمد على بعض المتغيرات الفيزيائية غير المفهومة كلياً. مثلًا، عند إلقاء عملة معدنية، تعتمد النتيجة النهائية سواء صورة أو كتابة على فيزياء معقدة يصعب باستخدامها حساب النتيجة. نطاق المتغير العشوائي هو فئة كل النتائج الممكنة. في حالة العملة المعدنية، يوجد فقط نتيجتان ممكنتان، تحديداً صورة أو كتابة. لأن إحدى النتيجتين يجب أن يحدث، أياً من الحدثين أن تظهر الصورة أو أن تظهر الكتابة يجب أن يأخذ قيمة احتمال غير صفرية.

كذلك، للمتغير العشوائي توزيع احتمالي يحدد احتمال أن تقع قيمته في فترة معطاة. يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية متقطعة، أي تأخذ أي من قيم محددة، منتهية أو قابلة للعد، معطاة دالة كتلة احتمال مميِّزة للتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي، أو يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية متصلة، آخذة أي قيم رقمية في فترة أو مجموعة من الفترات من خلال دالة كثافة احتمال تميز التوزيع الاحتمالي لهذه المتغيرات العشوائية، أو مزيجاً من النوعين. رغم ما ذكرناه من أن جُلَّ اهتمامنا ينصب على التوزيع الاحتمالي للمتغير لا على قيم الدالة ذاتها، فإن متغيران عشوائيان لهما نفس التوزيع الاحتمالي لا يزالا مختلفين بخصوص ارتباطهما بـ، أو استقلالهما عن، المتغيرات العشوائية الأخرى. التمثيل المحدد لمتغير عشوائي، أي نتائج الاختيار العشوائي لقيم بحسب دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير، يُعرف بالمثائل العشوائية random variates.

علاوةً على ذلك، لذلك فالمتغير العشوائي هو دالة رياضية تَنسِبُ لكلِ عينةٍ من فَضَاء العينات Ω، عددا مناسبًا من فضاء الأعداد الحقيقية .

وفي هذا الصدد، يُعرَّف المتغير العشوائي على أنه دالة ترسم نتائج التجربة إلى كميات رقمية، بالتحديد قيماً حقيقية. بهذا المعنى، هو طريقة لنسْب قيمة رقمية لكل نتيجة فيزيائية. ما هو «عشوائي» هي الفيزياء غير المؤكدة التي تصف كيفية سقوط العملة المعدنية وعدم اليقين أي من النتائج سيحدث.

وعلى صعيد آخر، المعالجة الرياضية الرسمية لمتغير عشوائي موضوع في نظرية الاحتمالات. في هذا الشأن، يمكن اعتبار متغير عشوائي دالة مُعرفة على فضاء عينة، مخرجاته قيم رقمية.

ومن جهة أخرى، متغير العشوائي، كمية عشوائية، متغير تصادفي (بالإنجليزية، random variable, random quantity, aleatory variable or stochastic variable) هو كمية متغيرة تعتمد قيمتها على النتائج الممكنة (possible outcomes). كدالة، يجب أن يكون المتغير العشوائي قابلاً للقياس، بمعنى أن يتم استبعاد حالات معتلة معينة حيث الكمية التي يأخذها المتغير العشوائي حساسة للتغييرات البسيطة في النتائج.