مثلث

مرسومة في المثلث

علاوةً على ذلك، يمكن في أي مثلث اختيار نقطة داخله ووصلها إلى الأضلاع الثلاثة بأقصر مسافة ممكنة، تُشكِّل النقاط الثلاثة رؤوسًا لمثلث مرسوم داخل المثلث الأصل يُسمَّى المثلث القدمي، إذا كانت النقطة المختارة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث فإن رؤوس المثلث القدمي هي منتصفات أضلاع المثلث الأصل، ويُسمَّى المثلث القدمي حينها المُثلَّث المتوسِّط، يُقسِّم المثلث المتوسِط المثلث الأصل إلى 4 مثلثات متطابقة تشابه المثلث الأصل. مثلث التماس الداخلي لمثلث أصلٍ مثلثٌ مرسومٌ داخل المثلث الأصل، رؤوسه نقاط تماس الدائرة الداخلية للمثلث الأصل مع أضلاعه. أما مثلث التماس الخارجي لمثلث أصلٍ فتكون رؤوسه نقاط تماس الداوائر الخارجية للمثلث مع أضلاعه (لا مع امتداداتها).

في هذا الإطار، سداسي أضلاع حلقي تتحدد رؤوسه بنقاط تقاطع المثلث مع ثلاث مستقيمات توازي أضلاع وتمر من ، سواء أكان سداسي أضلاع لومان بسيطًا أو ذاتي التقاطع، فإن أضلاع تقع داخل المثلث وتتوزع رؤوسه الستة على أضلاع المثلث بواقع رأسين لكل ضلع.

وفي هذا الصدد، مُربَّعٌ رؤؤسه كلها على أضلاع مثلث، وهي حالة خاصة من التي تتناول رسم مربع تقع رؤوسه على منحنٍ بسيط مُغلَق. يُقدِّم مثالًا عن المربع المُحاط، وهو المُربَّع ذي المساحة الكبرى الممكنة بشرط أن ينطبق أحد أضلاعه على ضلعٍ في مثلث منفرج الزاوية، ويمكن رسمه بثلاث طرق. يُمكن في المثلث حاد الزوايا رسم ثلاث مربعَّات محاطة بالأسلوب نفسه. أما في المثلث قائم الزاوية، فإن اثنان من هذه المربعات الثلاثة ينطبقان ويكون أحد رؤسهما هي الزاوية القائمة للمثلث، فيُصبح عدد المربعات المتمايزة المحاطة بمثلث قائم والتي ينطبق ضلعها ضلع المثلث اثنان فقط.

وفي هذا الصدد، لكل مثلث دائرة خاصة مرسومة فيه تمس أضلاعه الثلاثة داخلًا، وله كذلك دائرة قطع ناقص خاص مرسوم فيه يمس منتصفات أضلاعه داخلًا ويُسمَّى . مساحة هذا القطع هي أكبر مساحة من بين كل القطوع الناقصة الماسة داخلًا لأضلاع المثلث، وتصف مبرهنة مردن كيفية تحديد بؤرتيه. أما بمثلث فهو قطع ناقص مرسوم في مثلث، يمس القطعُ أضلاعَ المثلث في النقطة نفسها التي تمس الأضلاع فيها الدوائر الماسة خارجًا. يُحقق أي قطع ناقصٍ بؤرتاه: و، مُحاط بمثلث المساواة التالية:

ومن ناحية أخرى، يُمكِن أن يُحاط أي مُضلَّع مُحدَّب مساحته بمثلث مساحته أقل من أو مساوية لها، فإن ساوتها فإن هذا المُضلَّع متوازي أضلاع رباعي.

المساحة

وفي هذا السياق، يُمكن إثبات صحة هذه العلاقة هندسيًا بعمل نسخة طبق الأصل عن المُثلَّث المطلوب حساب مساحته ثم تقسيمها إلى مُثلَّثين وإكمال شكل المُثلَّث الأصل إلى مستطيل بُعداه و.

ومن ناحية أخرى، إذا عُرِف طولا ضلعين في المُثلَّث و ومقاس الزاوية بينهما ، فيُمكِن حساب طول الارتفاع بحسب حساب المُثلَّثات بالعلاقة:

ومن جهة أخرى، تحسب مساحة المُثلَّث بصيغة هيرون اعتمادًا على أطوال أضلاعه و و، مع تعريف نصف المحيط ، بحسب العلاقة:

وفي هذا السياق، تُحسَب مساحة المُثلَّث بطرق عديدة، أبسطها وأقدمها نصف جُداء طول أحد أضلاعه (القاعدة ) في طول الارتفاع المنشأ عليه ، أي:

فتؤول العلاقة السابقة إلى الشكل:

التطبيقات

وفي هذا السياق، تُصادَف المثلثات على اختلاف أنواعها في الحياة اليومية. يُستعمل المثلث متساوي الساقين في إنشاءات هندسية مثل القوصرات والجَمَلونات، في حين يُستعمل المثلث متساوي الأضلاع في إشارات المرور. وجوه الهرم الأكبر مثلثات متساوية الساقين، وتظهر المثلثات كذلك في الشِعارة وبعض الأعلام مثل علم سانت لوسيا وعلم فلسطين.

وفي هذا الصدد، تظهر المثلثات كذلك في الأجسام ثلاثية الأبعاد. مُتعدِّد الوجوه كائن ثلاثي الأبعاد وجوهه مضلعات تلتقي في حروفه ورؤوسه. يُمكن أن تُصنَّف بعض متعددات الوجوه حسب المضلعات التي تُشكِّل وجوهه، فإذا كانت الوجوه كلها مثلثات متساوية الأضلاع سُمِّي المُتعدِّد دلتاوي الوجوه. الوجوه الجانبية للموشور التخالفي مثلثات مرصوفة رصفًا متبادلًا. الأهرام وثنائيات الأهرام مُتعدِّدات وجوه له قاعدة مُضلَّعة ووجوه جانبية مثلثة، تكون المثلثات متساوي الساقين إذا كانت الأهرام وثنائيات الهرم قائمة. متعدِّد وجوه يُنشَأ باستبدال هرم بكل وجوه من وجه المتعدد الأصل، تكون قاعدة الهرم مضلع مطابق لوجه المتعدد الأصل، لذلك تكون وجوه متعدد الوجوه المُستهرَم مُثلَّثات. تُوجَد المثلثات كذلك في الأبعاد العليا، فالمُبسَّط مثلًا تعميم للمُثلَّث في الأبعاد العليا، ومثله متعدِّد الأكناف المُبسَّط، وهو متعدد أكناف أكنافه كلها مُبسَّطات.

النقاط والخطوط والدوائر المرتبطة بالمُثلَّث

وفي السياق ذاته، توجد ثلاث دوائر أخرى لها أهمية خاصة هي الدوائر الماسة خارجًا لأضلاع المُثلَّث، والتي تُسمَّى اختصارًا الدوائر الخارجية،، وتمس كل منها أحد أضلاع المُثلَّث وامتدادي ضلعين آخرين في الوقت نفسه. تشكل مراكز الدائرة الماسة داخلاً والدوائر الماسة خارجًا .

في هذا الإطار، مُنصِّف زاوية مُثلَّث خطٌ مستقيم يمر من أحد رؤوسه ويقسم الزاوية إلى قسمين متساويين. تلتقي منصفات زوايا المُثلَّث الثلاثة في نقطة هي مركز الدائرة المحاطة به والتي تمس أضلاعه داخلًا، وتُسمى اختصارًا الدائرة الداخلية، والتي يُسمَّى نصف قطرها نصف قطر الدائرة المحاطة.

وفي هذا السياق، تقع منتصفات الأضلاع ومواطئ الارتفاعات الثلاثة على محيط دائرة واحدة تُسمَّى دائرة النقاط التسع، أما النقاط الثلاثة الأخرى فهي منتصفات القطع المستقيمة الواصلة بين رؤوس المُثلَّث ومركز الارتفاعات. يساوي نصفُ قطر دائرة النقاط التسعة نصفَ قطر الدائرة المحيطة بالمُثلَّث. تمس هذه الدائرة الدائرة الداخلية في نقطة تُسمَّى نُقطة فويرباخ، والدوائر الخارجية الثلاثة في الوقت نفسه. يقع ملتقى الارتفاعات ومركز دائرة النقاط التسع والمركز المتوسط ومركز الدائرة المحيطة على خط واحد يُسمَّى خط أويلر. يقع مركز دائرة النقاط التسعة في منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين ملتقى الارتفاعات ومركز الدائرة المحيطة، وتكون المسافة بين المركز المتوسط ومركز الدائرة المحيطية نصف المسافة بين المركز المتوسط وملتقى الارتفاعات.، لا يقع مركز الدائرة المحاطة على خط أولر في عموم الحالات.

ومن جهة أخرى، متوسط المُثلَّث قطعة مستقيمة تصل أحد رؤوسه بمنتصف الضلع الذي يقابله قاسمة المُثلَّث إلى قسمين لهما المساحة نفسها. تتلاقى متوسطات المُثلَّث الثلاثة في نقطة واحدة هي المركز المتوسط للمُثلَّث، وهي مركز ثقله. يقسم المركز المتوسط كل متوسط بنسبة 2:1، أي أن المسافة بين المركز المتوسط والرأس ضعف المسافة بين المركز المتوسط ومنتصف الضلع الذي يقابل ذلك الرأس. إذا عُكِس المتوسط بالنسبة لمنصف زاوية رأسه انعاكسًا مرآتيًا ينتج خط مستقيم يُسمَّى نظير المتوسط، للمُثلَّث ثلاثة نظراء متوسطات تلتقي نقطة تُسمَّى .

وفي السياق ذاته، المُنصِّف المعامد لضلعٍ في مُثلَّث هو خطٌ مستقيم يمر بمنتصف الضلع ويعامده. تلتقي مُنصِّفات أضلاع المُثلَّث بنقطة هي مركز الدائرة المحيطة بالمُثلَّث والتي تمر من رؤوسه الثلاثة. إذا وقع مركز الدائرة على أحد أضلاع المُثلَّث، فإن مبرهنة طاليس تقتضي أن يكون هذا المُثلَّث قائمًا، وأن تكون زاويته القائمة هي تلك الزاوية المقابلة للضلع الذي يقع المركز عليه. إذا وقع مركز الدائرة داخل المُثلَّث، فهو حاد الزوايا، وإذا وقعت خارجه، فهو منفرج الزاوية.

كذلك، لكل مُثلَّث الكثير من النقاط الخاصة داخله، أو الموجودة على أضلاعه، أو المرتبطة به بطريقة أخرى. تُحدَّد هذه النقاط بإيجاد ثلاثة خطوط مرتبطة تناظريًا بأضلاع المُثلَّث أو رؤوسه، ثم بإثبات أن هذه الخطوط الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة. مبرهنة تشيفا من أهم الأدوات التي تساعد في إثبات وجود هذه النقاط، بتحديد شروط تلاقي ثلاثة مستقيمات تصل رؤوس المُثلَّث بنقاط على الأضلاع المقابلة أو امتداداتها في نقطة واحدة. تُنشأ الخطوط المرتبطة بالمُثلَّث بالمثل اعتمادًا على خواص التناظر، وتساعد أدوات، مثل مبرهنة منيلاوس، في تحديد الشروط اللازمة لإنشاء هذه الخطوط.

إضافةً إلى ذلك، ارتفاع المُثلَّث خط مستقيم يمر من رأس المُثلَّث ويُعامد الضلع المقابل لذلك الرأس، والذي يُسمَّى قاعدة الارتفاع، في حين تُسمَّى نقطة التقاء الارتفاع مع الضلع أو مع امتداده بموطئ الارتفاع طول الارتفاع المسافة الفاصلة بين الرأس والقاعدة. تلتقي ارتفاعات المُثلَّث بنقطة تُسمَّى ملتقى ارتفاعات المُثلَّث، وهي تقع داخل المُثلَّث، إذا وفقط إذا، كان المُثلَّث حاد الزوايا.

مرسومة حول المثلث

وفي السياق ذاته، ، ليس قائم الزاوية، مُثلَّثٌ تقع رؤوسه على مماسات الدائرة المحيطة بالمثلث الأصل.

مثلثات أخرى

إضافةً إلى ذلك، لكل مثلث كذلك دائرة محيطة تمر برؤوسه كلها ويكون مركزها نقطة تقاطع منصفات زاوياه. لكل مثلث كذلك فريد يُحيط به ويمر برؤوسه كلها، ويكون مركزُه مركزَ ثقل المُثلَّث، ويتميز هذا القطع بأنه له أصغر مساحة من بين كل القطوع الناقصة التي تمر برؤوس المُثلَّث. قطعٌ فريد يمر من رؤوس المثلث الثلاثة ومن مركز ثقله ومركز الدائرة المحيطة به.

المثلث في الأفضية غير المستوية

ومن ناحية أخرى، للمثلثات في هذين الفضاءين خواص مختلفة عن المثلثات في الفضاء الإقليدي. فمثلًا يكون مجموع زوايا المثلث في الفضاء الإقليدي 180°، أما في الفضاء الزائدي فهو أقل من 180°، وأما في الفضاء الكروي فهو أكبر من 180°. لهذا يكون مقاسات زوايا المثلث الدائري متساوي الأضلاع 90°، ومجموعها 270°. تُثبِت مبرهنة جيرارد أن مجموع زوايا أي مثلث كروي هو ، وفيه هو نسبة سطح المثلث إلى سطح الكرة التي رُسِم عليها.

ومن جهة أخرى، المثلثات غير المستوية موجودة خارج الفضاء الإقليدي، مثل الفضاء الكروي و. يُسمَّى المثلث في الفضاء الكروي، مثلثًا كرويًا،، ويُنشأ بالرسم على سطح كرة، وهو سطح موجب الانحناء. يُسمَّى المُثلَّث في الفضاء الزائدي مُثلَّثًا زائديًا، ويُنشئ بالرسم على سطح سالب الانحناء مثل السطح السرجي.

المثلثات الدائرية

كذلك، . وهو مجموعة من النقاط في تمتد بين ثلاث مناطق متماسة تبادلًا. أضلاع هذا المثلث ثلاثة خطوط منحنية مُمَلَّسة تصل بين رؤوسه التي تُسمى كذلك النقاط المستدِقة . يمكن تجزئة أي مثلث زائف إلى عدد من المثلثات الزائفة باستعمال حدود الأقراص المُحدَّبة، وتُعرَف هذه العملية بالمُثالَثَة الزائفة. إذا استعمل قرص لتجزئة مُثلَّث زائف، فالناتج مثلثًا زائفًا مع استعمال مماسًا اثنانيًا. الغلاف المُحدَّب لأي مثلث زائف هو مُثلَّث.

المثلث الزائف حالة خاصة من المثلث الدائري المحدَّب

وفي السياق ذاته، المُثلَّث الدائري مثلثٌ أضلاعه أقواس دائرة، قد تكون منحنية نحو الداخل، فيكون المُثلَّث مقعَّرًا، أو نحو الخارج، فيكون المُثلَّث مُحدَّبًا.. يُنتِج تقاطع ثلاثة أقراص مثلثًا دائريًا مُحدَّبًا، ومثلث رولو مثالٌ عنه، وهو ينتج عندما تكون الأقراص الثلاثة من المقاس نفسه. يُمكن إنشاء مثلث رولو بالفرجار وحده من غير الحاجة لمسطرة وفقًا ، ويمكن كذلك إنشاؤه بجعل أضلاع مثلث متساوي الأضلاع أقواسًا دائرية.

الزوايا

من جانب آخر، يساوي مجموع زوايا أي مُثلَّث في الفضاء الإقليدي 180 درجة. تكافئ هذه الحقيقة مسلمة التوازي، وتتيح حساب قياس أي زاوية في مُثلَّث إذا عُلِمت الزاويتان الأخريان. يساوي قياس الزاوية الخارجية في مُثلَّث مجموع قياس الزاويتين غير المجاورتين لها، وهذه هي مبرهنة الزاوية الخارجية ويعني هذا أن الزاوية الخارجية مُكمَّلة لزواية المُثلَّث الداخلية التي تتشارك معها الضلعان. يساوي مجموعة الزوايا الخارجية الثلاثة في مُثلَّث، واحدة على كل رأس، 360 درجة، وهذا يعني أن المثلَّث مضلَّع مُحدَّب، لأن مجموع الزاويا الخارجية لأي مُضلَّع مُحدَّب يساوي 360 درجة، مهما كان عدد أضلاعه.

إضافةً إلى ذلك، يُسمَّى أطول أضلاع المُثلَّث قائم الزاوية وترًا، ويُسمَّى الضلعان الآخران حسب موقعمها بالنسبة لإحدى الزاويتين الحادتين: مقابلًا لها أو مجاورًا. تُعرّف العلاقات بين أضلاع المُثلَّث القائم الدوال المُثلَّثية، وأهمها دالتا الجيب وجيب التمام لزاوية ما في المُثلَّث القائم، وتُعرفان بأنهما النسبة بين الضلع المقابل لتلك الزاوية والوتر، والضلع المجاور لتلك الزاوية والتر على الترتيب. يُمكِن استخدام قانونا الجيب وجيب التمام لحساب طول أي ضلع أو مقاس أي زاوية في أي مُثلَّث.

وعلى صعيد آخر، عدد المُثلَّثات التي لها مقاسات الزوايا نفسها غير نهائي، ولكن تساوي زوايا مُثلَّثين مثنى مثنى لا يعني تساوي مقاسهما. المُثلَّث المتردي مُثلَّثٌ تتسامت رؤوسه، أي تقع على خط واحد، ويكون مقاس اثنتين من زوايه 0° وواحدة 180°، ويوجد خلاف حول معاملة هذا الشكل معاملة المُثلَّث. يُمكن كتابة الشروط اللازمة لثلاث زوايا و و لتشكل ثلاثية تترواح قيم الثلاثة فيها بين 0° وواحدة 180° بصورة مطابقة مُثلَّثية. مثلًا تكون و و زوايا لمُثلَّث، إذا وفقط إذا، استوفت المطابقة التالية:

الكُسوريّات

• من الكُسوريّات ما يُعتمد على المثلَّثات مثل مثلث شربنسكي وندفة ثلج كوخ.
• انظر كذلك
• هوامش
• المراجع
• فهرس الإحالات
• بالعربية
• بالإنجليزية
• ثبت المراجع
• المقالات المُحكَّمة
• الكتب
• بالعربية
• بالإنجليزية
• أطاريح دكتوراة

موقع نقطة

ومن جهة أخرى، نظام الإحداثيات المركزية، صيغته: ، يُحدد فيه موقع نقطة حسب الأوزان التي تُمنح للرؤوس لجعل المثلث في حالة توازن.

إضافةً إلى ذلك، يُستعمل نظاما الإحداثيات التاليين لتجنب المشكلة السابقة، فلا تتأثر الإحداثيات بالعمليات التي تنتج مثلثات مطابقة للأصل، مثلًا: لو حُرِّك المثلث أو دُوِّر أو عُكِس مرآتيًا، ولا تتأثر الإحداثيات كذلك حتى لو كُبِّر أو صغر على مقياسٍ خطي منتجًا مثلثًا مشابهًا للأصل:

وفي هذا الصدد، يمكن تحديد موقع نقطة بالنسبة لمثلث، سواء أكانت داخله أم خارجه، بالاعتماد على جملة الإحداثيات الديكارتية، لكن من مساوئ هذه الطريقة أن قيم الاحداثيات مرتبطة بموقع المثلث في جملة الإحداثيات، لا بالمثلث نفسه.

في هذا الإطار، تحدد الإحداثيات ثلاثية الخطية المسافات النسبية التي تفصل نقطة عن أضلاع مثلث، ويُرمز للإحداثيات بالشكل ، وفيها يرمز كل حرف لبعد النقطة المدروسة عن أحد أضلاه المثلث

التشابه والتطابق

إضافةً إلى ذلك، تساوى طولا ضلعين في المثلثين مثنى مثنى، وتساوى مقاس الزاوية المحصورة بينهما مثنى مثنى.

يكون مُثلَّثان متشابهان، إذا وفقط إذا:

• تساوى مقاس زاويتين في المثلثين مثنى مثنى، وتساوى طول الضلع المحصور بينهما
• تساوت أطوال الأضلاع الثلاثة في المثلثين مثنى مثنى.
• تساوى طولا ضلعين ومقاس زاوية غير محصورة بينهما في المُثلَّثين مثنى مثنى.
• تساوى مقاس زاويتين وضلع لا يصل بينهما في المُثلَّثين مثنى مثنى.

كذلك، يلزم التطابق تساوي 6 مقاسات بين المُثلَّثين: 3 أضلاع و3 زوايا، ولكن يكفي تساوي ثلاث منها شرطًا لازمًا وكافيًا لإثبات التطابق:

وفي هذا الصدد، يتشابه مُثلَّثان إذا تساوت قياسات زوايهما مثنى مثنى، وتكون عندها الأضلاع المتقابلة بين المُثلَّثين مثنى مثنى متناسبة بنسبة معينة، ويكفي إيجاد هذا التناسب لإثبات التشابه.

النسبة بين مساحتي مُثلَّثين متشابهين مربع نسبه التشبه.

وفي هذا السياق، يتطابق مُثلَّثان إذا تساوت أطوال أضلاعهما مثنى مثنى، وتساوت مقاسات الزوايا مثنى مثنى. كل مُثلَّثين متطابقين متشابهين، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة للمُثلَّثين مثنى مثنى.

تساوت قياسات زوايا المُثلَّثين مثنى مثنى.

من جانب آخر، إذا تناسب طول ضلعين للمُثلَّثين مثنى مثنى، وتساوى مقاس الزاوية التي يحصرانها في المُثلَّثين.

المثالثة

أشكال ذات صلة

وفي السياق ذاته، المثالثة تقسيم غرض مستوٍ إلى مُثلَّثات. فمثالثة مُضلَّع يعني تقسيمه إلى مثلثات متلاصقة يتشارك كل زوجين منها بضلعٍ واحد على أن تكون رؤوس المثلثات رؤوس المُضلَّع نفسها. ينتج عن مثالثة المُضلَّع البسيط النوني مُثلَّثًا مفصولة بأقطارٍ عددها . يرتبط المثالثة بمفهوم الأذن، وهي رأس مضلع مرتبط برأسين آخرين يربط بينهما قطرٌ موجود بكامله داخل ذلك المضلع. تنص على أن كل مضلع بسيط غير مثلثي يحتوي على أذنين على الأقل.

أطوال الأضلاع الممكنة

وفي هذا الصدد، تنص متباينة المُثلَّث على لزوم أن يكون مجموع طولي أي ضلعين في مُثلَّث أكبر من الضلع الثالث أو مساوٍ له. وهذا يعني أنه لا يُمكِن إنشاء مُثلّث أطوال أضلاعه 3 أعداد صحيحة موجبة ما يستوفي أطوال الأضلاع متباينة المُثلَّث. حالات المساواة مقصورة على المُثلَّث المتردِّي، أي الذي تتسامت نقاطه فتقع على استقامة واحدة.

التعريف والتصنيف

علاوةً على ذلك، يُمكن أن تُصنَّف المُثلَّثات حسب طول أضلاعها ومقاس زواياها، يُسمَّى المثلَّث الذي تساوت أطوال أضلاعه مثلثًا متساوي الأضلاع، وإذا تساوى طول ضلعين فيه، سُمِّي المُثلَّث مثلثًا متساوي الساقين، أما إذا اختلفت أطوال أضلاع المثلث، فيسمى عندها: مثلث مختلف الأضلاع. إذا كانت إحدى زوايا المثلث قائمة، سُمِّي المثلث قائم الزاوية، وإلا فهو مُثلَّث مائل. وإذا كان مقاس كل زاوية من زواياه أصغر من 90 درجة سُمِّي المثلث حاد الزوايا، وإذا كانت إحدى زواياه أكبر من 90 درجة سُمِّي المثلث مُنفرِج الزاوية.

الخواص

وفي هذا السياق، المُثلَّث لغةً اسم مفعول من الفعل الثلاثي المزيد (ثلَّث). ويُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المُثلَّث في الفضاء الإقليدي بأنه: «شكل مستوٍ مغلق محدود بثلاث قطعٍ مستقيمة تتلاقى في ثلاثة رؤوس». أما موسوعة الكويت للرياضيات فتُعرِّف المُثلَّث بأنه: «شكل ناتج عن وصل ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة، تُسمَّى رؤوس المثلث، بثلاث قطع مستقيمة تُسمَّى أضلاع المُثلَّث».

كذلك، المثلَّث شكلٌ مستو محدَّب مُكوَّن من ثلاث قطع مستقيمة غير متوازية تلتقي بعضها مع بعض في نهايتها لتكوِّن مُضلَّعًا له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع. وهو اتحاد ثلاث قطع مستقيمة تتحدد بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، تُسمى النقاط رؤوسًا والقطع المستقيمة أضلاعًا. وصف إقليدس المُثلَّث وعناصره منذ أكثر من ألفي سنة في الكتاب الأول من عمله: الأصول.، وقد اشتُقت الأسماء المستعملة في الرياضيات الحديثة من ترجمات هذا الكتاب، ويمكن تتبع التعاريف التالية وصولًا إليه كذلك.