مثلث زائدي

مثلث متساوي الأضلاع

العلاقات هي:

علاوةً على ذلك، تعطي معادلات المثلثية للمثلثات القائمة كذلك العلاقات بين الأضلاع s والزوايا A لمثلث متساوي الأضلاع.

تعريف

وعلى صعيد آخر، يتكون المثلث الزائدي من ثلاث نقاط غير متسامتة وثلاثة قطع مستقيمة بينها.

خصائص

إضافةً إلى ذلك، مثلثان متساويان في الزوايا المتناظرة متطابقان (أي أن جميع المثلثات المتشابهة متطابقة).

وفي هذا السياق، تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الإقليدية (المستوية):

• مجموع زاوية المثلث أقل من 180 درجة.
• تتناسب مساحة المثلث مع نقص مجموع زواياه عن 180 درجة.
• تحتوي المثلثات الزائدية كذلك على بعض الخصائص غير الموجودة في الهندسات الأخرى:

من جهة ثانية، يحتوي كل مثلث زائدي على دائرة محاطة ولكن ليس لكل مثلث زائدي دائرة محيطة (لاحظ الصورة). يمكن أن تقع رؤوسها على أو دائرة فائقة.

علاوةً على ذلك، لا تحتوي بعض المثلثات الزائدية على دائرة محيطة، فهذه هي الحالة عندما يكون أحد رؤوسها على الأقل نقطة مثالية أو عندما تقع جميع رؤوسها على أو على دائرة فائقة أحادي الجنب.

• مثلثان لهما نفس مجموع الزاوية متساويان في المساحة
• يوجد حد أعلى لمساحة المثلثات.
• يوجد حد أعلى لنصف قطر الدائرة المحاطة.
• يتطابق المثلثان إذا وفقط إذا كانا يتطابقان مع جداء منته لانعكاسات خطية.

وفي هذا السياق، للمثلثات الزائدية بعض الخصائص التي تتعارض مع خصائص المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

وعلى صعيد آخر، تحتوي المثلثات الزائدية على بعض الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلثات في الهندسة الكروية أو الإهليلجية:

وفي هذا السياق، المثلثات الزائدية نحيفة، وهناك مسافة قصوى δ من نقطة على حافة إلى أحد الحافتين الأخريين. أدى هذا المبدأ إلى ظهور الفضاء الزائدي δ.

حساب المثلثات القائمة

من جانب آخر، جيب التمام الزائدي للوتر هو كذلك جداء جيوب تمام الزوايا مقسومة على جداء جيوبهم.

.

.

من جانب آخر، ظل الزاوية A هو الظل الزائدي للساق المقابل مقسومًا على الجيب الزائدي للجانب المجاور.

ومن ناحية أخرى، جيب تمام الزاوية A هو الظل الزائدي الجانب المجاور مقسومًا على الظل الزائدي للوتر.

وعلى صعيد آخر، جيب التمام الزائدي للجانب المجاور للزاوية A هو جيب الزلوية B مقسومًا على جيب الزاوية A.

وعلى صعيد آخر، جيب الزاوية A هو الجيب الزائدي للجانب المقابل للزاوية مقسومًا على الجيب الزائدي للوتر.

جيب التمام الزائدي للوتر هو جداء جيوب تمام الساقين.

إذا كانت C عبارة عن زاوية قائمة، فإن:

حساب المثلثات العام

• مبرهنتها الثنائية هي:
• هناك كذلك قانون الجيب:
• وصيغة الأجزاء الأربعة:
• التي هي مشتقة بنفس طريقة الصيغة المشابهة في حساب المثلثات الكروية.

من جانب آخر، سواء كانت C زاوية قائمة أم لا، فإن العلاقات التالية تبقى ثابتة: القانون الزائدي لجيب التمام هو كما يلي:

المساحة

مساحة المثلث القائم هي:

كذلك

حساب المثلثات

من جهة ثانية، في جميع الصيغ المذكورة أسفل الجوانب و و يجب قياسها بالطول المطلق، بحيث يكون للمستوي يساوي . بمعنى آخر، من المفترض أن تكون الكمية في الفقرة أعلاه مساوية لـ 1.

من جهة ثانية، تعتمد الصيغ المثلثية للمثلثات الزائدية على الدوال الزائدية sinh و cosh و tanh.

العلاقات بين الزوايا

لدينا كذلك المعادلات التالية: