مجموعة كثيفة

تعريف عام - طوبولوجي

• كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في تضم عناصر من .
• هي غالق .
• كل نقطة في هي ملاصقة ل
• مكملة داخلها فارغ

علاوةً على ذلك، باعتبار فضاء طوبولوجيا و جزءا منه، يكون كثيفا داخل ويقال كذلك كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

غالق يساوي

وفي هذا السياق، يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.

تعريف تحليلي

لكل نقطة و كل يوجد يحقق

وفي السياق ذاته، باعتبار فضاء متجهيا معياريا و جزءا منه، يكون كثيفا داخل إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

لكل نقطة توجد متتالية معرفة في تؤول في مالانهاية إلى

خاصيات

وفي السياق ذاته، حسب مبرهنة ستون-فايرستراس، فإن فضاء الحدانيات كثيف داخل فضاء الدوال المتصلة المعرفة في المجال والتي مستقرها في .

أمثلة

كذلك، الزمرة العامة الخطية، مجموعة المصفوفات القابلة للعكس، كثيفة داخل مجموعة المصفوفات . وأيضا داخل .

مجموعة الأعداد الجذرية كثيفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية .