محدد (رياضيات)

محدد مصفوفة 3X3

إحدى طرق تحديد محدد المصفوفة 3×3:

خصائص المحدد

علاوةً على ذلك، إذا كانت A مصفوفة مثلثية (أي أن كلما توفر ، أو بشكل مماثل، كلما توفر )، فإن محدد هذه المصفوفة هو جداء عناصرها الواقعة على القطر الرئيسي:

• حيث In هي مصفوفة الوحدة ذات البعد .
• حيث تعني منقولة المصفوفة A.
• إذا كانت A و B مصفوفتين مربعتين، فإن:
• حيث A مصفوفة بعدها .

محدد مصفوفة nXn

• يُحدد محدد مصفوفة ذات بُعد ما باستعمال صيغة لايبنتس أو صيغة لابلاس.
• صيغة لايبنتس من أجل حساب محدد مصفوفة A بعدها تأتي فيما يلي:
• انظر إلى تبديل (رياضيات) وإلى زمرة متماثلة.

محدد مصفوفة 2X2

• لمحدد 2X2، طريقة الحساب هي:
• مثلًا:
• لذلك المصفوفة هي معكوسة. وبالتالي، معكوس المصفوفة هو:
• بالرغم من ذلك المصفوفة الآتية هي غير معكوسة:
• لذلك، بما أنها غير معكوسة، حساب المحدد هو 0:

الحساب

وفي السياق ذاته، انظر إلى صيغة لايبنتس من أجل حساب المحدد وإلى امتداد لابلاص. يبقى حساب محدد مصفوفة مسألة نظرية. ناذرا ما يحسب المحدد في إطار الجبر الخطي العددي.

من جهة ثانية، حيث تطبيقات من قبيل معرفة قابلية عكس مصفوفة أو حساب القيم الذاتية أو المتجهات الذاتية لمصفوفة لا تستعمل نهائيا المحدد، بل تستعمل تقنيات أخرى أكثر تطورا.

التاريخ

من جهة ثانية، في أوروبا، اعتُبر المحدد 2*2 من طرف عالم الرياضيات كاردانو في نهاية القرن السادس عشر، واعتُبر المحدد من حجم أكبر من ذلك من طرف عالم الرياضيات الألماني لايبنتس.

ومن جهة أخرى، من حيث التاريخ، استعمل مفهوم المحدد قبل اعتبار المصفوفات بكثير : في الأصل استعمل المحدد خاصيةً لأنظمة المعادلات الخطية. يحدد المحدد ما إذا كان لنظام معادلات خطية معين حل واحد من عدمه. يكون لهذا النظام حل واحد إذا كان المحدد مختلفا عن الصفر. استعمل هذا المعنى لأول مرة من طرف كتاب الرياضيات الصيني الدروس التسعة حول فن الرياضيات (والذي كُتب في حوال القرن الثلاث قبل الميلاد).

• انظر كذلك
• بفافي مصفوفة
• مراجع