مربع

القطر

وفي السياق ذاته، الجذر التربيعي للعدد 2 عدد غير مُنطَّق، أي لا يمكن التعبير عنه بكسر عشري منتهٍ، وتبلغ قيمته التقريبية 1.414. وتعود معرفة هذا العدد إلى الحضارة البابلية، حيث توصّل علماء البابليين إلى تقدير دقيق له آنذاك.

علاوةً على ذلك، يُسمَّى المُربَّع بأسماء رؤوسه، مثلًا: ABCD، ويُرمز عادةً لطول ضلعه بالرمز ولطول قطره بالرمز . يُحسب طول قطر المُربَّع بالعلاقة:

المحيط

علاوةً على ذلك، يكفي معرفة طول ضلع المُربَّع لمعرفة محيطه، فإذا كان طول ضلعه ، فإن محيطه يُحسب بالعلاقة:

وفي هذا الصدد، المُربَّع هو رباعي الأضلاع الأقل محيطًا من بين جميع الرباعيات التي تحيط بمساحة معينة.

التطبيقات

كذلك، يظهر المُربَّع كذلك في الرياضة والفنون الأدائية. ففي حين تُعرَف بعض الميادين أو الساحات بأسماء توحي بأشكال أخرى، مثل ملعب البيسبول الذي يوصف بمعين الشكل وحلقة الملاكمة، فإنها في الأصل مُربَّعة الشكل. وتتجسّد وفي الفنون الاستعراضية هيئة المربع في رقصة والرقص الرباعي، ويتوزّع فيها ثمانية أزواج لتشكيل جوانب مربع مثنى مثنى. كما استُخدم المُربَّع عنصرًا بنيويًا في المسرحية التلفزيونية المبسطة لـصمويل بيكيت، إذ يتحرك أربعة ممثلين فيها على أضلاع مُربَّع وقطريه.

• ملاحظات
• انظر كذلك
• مكعب
• نجمة رباعية
• مبرهنة فيثاغورس
• المراجع
• فهرس الإحالات
• المنشورات
• بالعربية
• بالإنجليزية
• الوب
• بالعربية
• بالإنجليزية
• ثبت المراجع
• المقالات المُحكَّمة
• بالإنجليزية
• الكتب
• بالعربية
• بالإنجليزية
• أطاريح
• بالإنجليزية

في هذا الإطار، المٌربَّعات عنصر شائع في تصميم الرسوميات، يُستخدَم لإضفاء إحساس بالاستقرار والتناظر والنظام. وفي الشِّعارة، يكون ، وهو عنصر تصميمي يقع في الجزء العلوي الأيسر من الدرع، عادةً ذا شكل مربع، كما يُطلق على العلم مربع الشكل اسم "راية". ويُعَدّ علم سويسرا مثالًا بارزًا على الأعلام المُربَّعة، شأنه شأن أعلام الكانتونات السويسرية.

وعلى صعيد آخر، لا يخفى حضور المخططات المربَّعة والقواعد المُربَّعة والمساحات المُربَّعة في العمارتين القديمة والحديثة بوصفها عناصر جوهرية في التصميم. تشمُل الأمثلة الأهرامات المصرية وأهرامات أمريكا الوسطى، ولا سيما في تيوتيهواكان، وزقورة جغا زنبيل بإيران. ويُعد التصميم الرباعي للحدائق الفارسية المسوّرة مثالًا بارزًا على توظيف المربع في الرمزية الدينية، وهو يحاكي الأنهار الأربعة في الجنة، وقد ألهم لاحقًا هياكل معمارية بارزة مثل تاج محل بالهند. كذلك شُيّدت الأبراج البوذية والقواعد المربعة للإسطبات البوذية، والباغودات شرق الآسيوية، والتي تتجه رمزياً نحو الجهات الأربع للبوصلة وتمتد نحو السماء. وتمثِّل المُربَّعات المتداخِلة المُطرَّزة في المندالة التبتية، كما في تصميم الإسطبة، نموذجًا مصغّرًا للكون وفق التصوّر الرمزي في الفلسفات البوذية. أبراج الحماية النورمانية، مثل برج لندن، المبني على شكل برج مُربَّع منخفِض، مثال عن العمارة الدفاعية. أما في العمارة الحديثة، فتغلب النزعة العملية على الاعتبارات الرمزية والجمالية، إذ يُعتمَد الشكل المربع أساسًا في تصميم غالبية ناطحات السحاب لما يوفّره من استقرار إنشائي وكفاءة وظيفية.

ومن ناحية أخرى، يعتمد حساب ، والذي يُسمَّى كذلك بُعد عد الصناديق على المربعات لتحديد البعد الكسوري لمجموعة في الفضاء الإقليدي أو الفضاء المتري، وتسمى المُربَّعات في هذا التطبيق «صناديق». ويمكن تحديد البُعد الكسوري للمجموعة بوضعها على تقفيصة منتظمَة التباعد، ثم عدّ المُربَّعات اللازمة لتشمل المجموعة كلها. يمكن الاعتماد على إذا كانت التقفيصة دقيقة.

كذلك، يُنسَب إلى رقعة اللعب المُربَّعة غو كذلك تمثيل الأرض، ويُقال إن تقاطعات خطوطها البالغة 361 تماثل عدد أيام السنة. وَرِثت رقعة الشطرنج شكلها المربّع من لعبة سباق هندية تُشبه البِرْجيس، والتي بدورها نقلت هذا الشكل إلى لعبة الضامة. أما في لعبتين قديمتين لُعِبَتا لبلاد الرافدين مصر القديمة، هما لعبة أور الملكية ولعبة سينيت على الترتيب، فلم تكن اللوحات مُربَّعة الشكل بل مستطيلة، ولكنها قُسِّمت إلى شبكة تقفيصة من المُربَّعات. ويظهر المُربَّع كذلك في أحجية أوستوماكيون الإغريقية القديمة، فهي تشمُل، وفق بعض التفسيرات، إعادة ترتيب أجزاء مُربَّع في هيئة مُضلَّعات أصغر، على نحوٍ يُشبه لعبة التنغرام الصينية. ثمة مجموعة أخرى من الأحاجي تُعرف باسم ، تُلعب بقطع مُكوَّنة من مُربَّعات ألصق بعضها إلى بعض ضلعًا إلى ضلع. وفي السياق التاريخي، رُتِّبت الأبراج عند قراءة الطالع في العصور الوسطى وعصر النهضة بتخطيط مُربَّع أوروبا والشرق الأوسط والصين على السواء. وتشمُل الاستخدامات الترفيهية الأخرى للمربع فن الأوريغامي، الذي يعتمد على ورقٍ مُربَّع الشكل، ولعبة سكرابل التي تُلعب بحروف مكتوبة على قطع مربعة الشكل ترتبب في تقفيصة مربعة أبعادها 15x15. إضافةً إلى تقاليد في تضريب الألحفة وفيها تُخاط قطع مربعة من القماش لتشكيل أنماط زخرفية متكررة. تمس الكثير من الأحاجي الرياضية المربع باعتمادها صفيفات المُربَّعة تُملأ بالأرقام، كما في لعبة سودوكو، أو بشكلها المُعمَّم المُسمَّى المُربَّع اللاتيني، فضلًا عن أحاجي الأوهام البصرية مثل أحجية المُربَّع المفقود و.

من جهة ثانية، يظهر المُربَّع في مجال الأطعمة، فغالبًا ما يكون شكل المُتكسِّرات وشرائح الجبن مُربَّعة، حالة حال الوَفِل. ومن الأطعمة التي اكتسبت اسمها من شكلها المربع مُربَّعات الكراميل، ومربع التمر، و، إضافةً إلى و.

كذلك، استعمال المربَّعات شائع في صناعة البلاط من العصور القديمة، بل إن كلمة بلاطة الإنجليزية المعاصرة «tile» تعود في جذورها إلى اللاتينية «tessera» التي تعود بجذورها إلى اليونانية «τέσσαρες» (رومنة: téssares) والتي تعني أربعة، نسبةً إلى عدد زواياها. ويُشيع استعمال ورق الرسم البياني المطبوع لترئية البيانات والمعلومات على أساس منظومة إحداثيات ديكاَرتية.

كذلك، توجد المُربَّعات في الطبيعة كذلك، في الكيمياء الفراغية مثلًا، ثمة بنية كيميائية تتوضع فيها الذرات على زوايا مربَّع، اسمها البنية الجزيئية المستوية المُربَّعة، ومن الأمثلة عنها رباعي فلوريد الزينون.

من جهة ثانية، اعتمدت بعض تقنيات التصوير الضوئي نسبة عرض إلى ارتفاع مربعة، كما هو الحال في آلات تصوير شركة بولارويد، و، وآلات التصوير الفورية. أما في الفنون التشكيلية الحديثة، فقد ارتبط الاستخدام المتكرّر والبارز للأشكال والإطارات المربعة بأعمال رسامين بارزين مثل جوزيف ألبرز وبيت موندريان وتيو فان دوسبورخ.

كذلك، البكسل أصغر عنصر في الرسوميات النقطية، ويُمثَّل بمربع في الصور التي تنتجها ماسحات الصور وآلات التصوير الرقمية أو التي تظهرها شاشات العرض الإلكترونية، وعادةً ما ترتب هذه المُربَّعات على تقفيصة مربَّعة يشغل كل مُربَّع أحد خلاياها بتبليطٍ مربَّع. تعتمد تقنيات الضغط القياسية للصور والتسجيلات المرئية، مثل تنسيق JPEG، على تقسيم الصور إلى فِدرٍ مُرَّبعة أكبر من البكسلات. كما تعتمد المستعملة في ضغط البيانات والهندسة الحوسبية على مبدأ العَوْدية فتقسِّم عوديًا المُربَّعات إلى مُربَّعات أصغر حتى الوصول إلى حل بسيط للمشكلة. ومن استعمالات المُربَّع في التقانة كذلك رموز الاستجابة السريعة، الشهير اختصارًا بالحرفين QR، وتكون عادةً ذات شكلٍ مُربَّع، وتتميّز بعلامات محاذاة بارزة على هيئة مُربَّعات في ثلاث زوايا. ومن تطبيقات المُربَّع كذلك في التقانة التي تستعمل في سياق الخلايا ذاتية التشغيل، وفيها تتحرك نملة على شبيكة مُربَّعة ثنائية الأبعاد تتكون من مُربَّعات مُلوَّنة بالأبيض والأسود، تُغيَّر النملة لون المربع الذي تخطو إليه في حركتها القادمة وفق اتجاه حركتها الحالي.

إضافةً إلى ذلك، يَظهر المُربَّع كذلك في الاستخدامات العملية اليومية، مثل صاحب الرأس مُربَّع الشكل.

بالإحداثيات والمعادلات

كذلك، أما المُربَّع الذي توازي أضلاعه محاور الإحداثيات، ومركزه النقطة وطول ضلعه ، ويساوي طول نصف الضلع، وهو نصف قطر الدائرة المحاطة بالمُربَّع، تقع رؤوس هذا المُربَّع في النقاط ، ويضم داخله النقاط التي تستوفي الشرط ، في حين تستوفي النقاط على أضلاعه الشرط .

وفي هذا السياق، مُربَّعٌ طول ضلعه يساوي الواحد، وغالبًا ما يُمثَّل في منظومة الإحداثيات الديكارتية بالمُربَّع الذي يضم النقاط (x، y) التي تستوفي الشرطين و . أما رؤوسه، فأحدها هو الأصل (0، 0)، في حين تكون إحداثيات سائر النقاط الأخرى إمَّا 0 وإما 1.

من جهة ثانية، يؤدي ضرب حد بالوحدة التخيلية في مستوى الأعداد العقدية إلى تدوير الحد الآخر في الناتج بمقدار 90° حول أصل جملة الإحداثيات. فإذا ضُرب أي عدد عُقدي غير صفري ثلاث مرات متتالية بالوحدة التخيلية ، سيكون الناتج و و و، وتُشكِّل هذه الأعداد رؤوس مُربَّع مركزه الأصل . إذا عُومِل الجزآن الحقيقي والتخيلي من هذه الأعداد العقدية الأربعة التي شكلها ، على أنها إحداثيات ديكارتية، فستنتج النقاط ، ،، و. يُمكِن نقل هذا المُربَّع ليكون أي عدد عقدي آخر مركزًا له بالانسحاب من الأصل إلى النقطة ، ويمكن تمثيل ذلك في الفضاء العقدي بأنه عملية إضافة الحد إلى الأعداد العقدية التي تمثل رؤوس المُربَّع. تشكل الأعداد الصحيحة الغاوسية، وهي أعداد عُقدية جزآها الحقيقي والتخيلي صحيحان، في المستوى العقدي.

وفي السياق ذاته، أما المُربَّع القطري، فهو المربَّع الذي ينطبق قطراه على محوري الإحداثيات أو يوازيانها، فإذا كان مركزه النقطة وطول قطره ، ويساوي هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع، فإن رؤوس هذا المُربَّع في النقاط و. ويضم داخله النقاط مع ، في حين تستوفي النقاط على أضلاعه الشرط .

بالمسطرة والفرجار

من جانب آخر، يذكر إقليدس في المقالة الأولى من كتاب الأصول كيفية رسم مُربَّع عُرِف طول ضلعه بالمسطرة والفرجار:

كذلك، يعني وجود هذا الإنشاء أن المُربَّع مضلع قابل للإنشاء. يمكن إنشاء مُضلَّع منتظَم نوني عندما تكون العوامل الأولية الفردية لـ من أعداد فيرما الأولية متمايزة. وفي حالة المُربَّع، ، ليس ثمة عوامل أولية فردية، فهذا الشرط مستوفى.

وعلى صعيد آخر، كما يذكر كتاب الأصول في مقالته الرابعة إنشاءات لمُربَّع محيط بدائرة ومحاط بدائرة على الترتيب:

في الهندسة الرياضية

المساحة

تُحسَب مساحة المُربَّع بحسب العلاقة:

علاوةً على ذلك، يُعدُّ المُربَّع كذلك رباعي الأضلاع الأكبر مساحةً بين جميع الرباعيات التي لها المحيط نفسه. فإذا كانت A مساحة شكل رباعي و P محيطه، فإن متباينة المحيطات المتساوية التالية صحيحة:

علاوةً على ذلك، وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل رباعيًا منتظَما، أي مُربَّعًا.

كذلك، يُعطي تربيع عدد صحيح، أي حساب مساحة مُربَّعٍ طول ضلعه عدد صحيح، عددًا مربعًا، ويُمثّل هذا العدد الشكلي عدد النقاط التي يمكن ترتيبها في شبكة مُربَّعة منتظمة. ويمكن بإجراء العملية العكسية، أي حساب الجذر التربيعي للمساحة، الحصول على طول ضلع المُربَّع. أدى استخدام مربع طول الضلع لحساب المساحة إلى اعتماد مصطلح «مُربَّع» في الجبر للإشارة إلى رفع أي عدد إلى قوة مقدارها اثنان.

وفي السياق ذاته، المُربَّع الذي طول ضلعه 4 هو مُربَّع خاص، لأن محيطه يساوي مساحته، وبالتالي فهو . من بين رباعيات الأضلاع قائمة الزاوية، ثمة شكل واحد آخر سوي هو المستطيل الذي طوله 6 وعرضه 3.

التبليط والرَزم

علاوةً على ذلك، مألوف في الأرضيات ولوحات الألعاب، وهو أحد ، أما النوعان الآخران فيستعملان المُثلَّث متساوي الأضلاع وسداسي الأضلاع المُنتظَم. تُشكِّل رؤوس المُربَّعات المُستعملة بالتبليط المُربَّع . يمكن كذلك تبليط المستوي بمُربَّعات ذات قدود مختلفة، مثل ، الذي اكتسب اسمه لعلاقته بأحد براهين المستعملة لإثبات صحة مبرهنة فيثاغورس.

من جهة ثانية، يُمكِن تبليط أسطح أخرى غير المستوي في الأبعاد الأعلى بمُربَّعات متطابقة تلتقي ضلعًا إلى ضلع. ، وهو جُداء ديكارتي رباعي الأبعاد لدائرتين متطابقتين؛ وله هندسة المُربَّع نفسها مع لصق كل زوج من الأضلاع المتقابلة معًا. ثمة سطح آخر مُبلَّط بالمُربَّعات يُعرف باسم ، وله، إذا أسقط على فضاء ثلاثي الأبعاد ستة مُربَّعات تلتقي عند كل رأس. أما فتبحث عن أعظم حجمٍ يمكن احتواؤه بسطحين مُربَّعين ألصقا رأسًا إلى رأسٍ، وهذه مسألةٌ غير محلولة بعد. أما إذا ألصق السطحان المُربَّعان بنمط مختلف: رأس كل مُربَّع إلى منتصف ضلع المُربَّع الآخر، فينتج مُجسَّمُ يُشبه وسادة الدبابيس، يُسمَّى . تُسمَّى الأسطح المُبلَّطة بعدد صحيح محدود من مُربَّعات شبيكة ثلاثية الأبعاد باسم .

إضافةً إلى ذلك، تبحث مسائل عن أصغر مُربَّع أو دائرة يمكن أن تتسع لعدد معين من . وتعد رقعة الشطرنج مثالاً مثالياً لرزم أكبر عدد ممكن من مُربَّعات الوحدة داخل مُربَّع أكبر، ولكنها حالة خاصة لا تُعمَّم، ولا تزال الحلول المثلى لهذا النوع من المسائل غير معروفة؛ ولا حلول مُثلى معروفة كذلك لمسألة . وقد تتسم مسائل رزم المُربَّعات داخل أشكال أخرى بتعقيد حسابي عالٍ؛ فمثلاً يُعد اختبار ما إذا كان رزم عدد معين من مُربَّعات الوحدة داخل ذو إذا كانت إحداثيات الرؤوس أعدادًا نصف صحيحة مسألة متعددة حدود غير قطعية كاملة.

الخواص

قياس الزاوية المركزية والزاوية الخارجية 90 درجة.

كذلك، المُربَّع مُضلَع منتظَم، أي أن أطوال أضلاعه ومقاسات زواياه كلها متساوية. ينفرد المُربَّع بين المُضلَّعات المنتظَمة بأن زواياه الداخلية والخارجية، والمركزيّة متساوية، وقياسها كل منها 90 درجة.

ومن ناحية أخرى، المُربَّعات كلها متشابهة لأن لها الشكل نفسه، وتتطابق إذا تساوت أطوال أضلاعها أو أقطارها أو تطابق حجمُها.

• المُربَّع رباعي أضلاع، لذلك له أربعة أضلاع وأربع زوايا، وهو حالة خاصة من:
• متوازي الأضلاع، إذ إن كل ضلعين متقابلين فيه متوازيان.
• شبه المنحرف، إذ إن أحد زوجي أضلاعه المتقابلة متوازيان.
• الحدأة، إذ يتساوى طول كل ضلعين متجاورين فيه، ويتعامد قطراه.
• المعين، إذ تتساوى أطوال أضلاعه الأربعة، وتتساوى زواياه المتقابلة.
• المستطيل، إذ تتساوى أضلاعه المتقابلة، وتكون زواياه الأربع قائمة.

في هذا الإطار، يمتلك المُربَّع، تبعًا لذلك، خصائص مشتركة مع هذه الأنواع من رباعيات الأضلاع، من بينها:

من جانب آخر، ينصِّف كل قطر زاويتين داخليتين للمُربَّع، ويكوِّن مع أضلاعه زوايا قياس كل منها 45 درجة.

وفي السياق ذاته، يتساوى قطراه في الطول، وينصِّف كلٌّ منهما الآخر، ويتعامدان بزاوية قياسها 90 درجة.

زواياه الداخلية الأربع متساوية في القياس وقائمة.

تتساوى أطوال أضلاعه الأربعة، ويتوازى كل ضلعين متقابلين منه.

العد

وفي هذا السياق، ثمة تنويعة من هذه الأحجية تطلب عد المُربَّعات الموجودة على تقفيصة نقاط مُربَّعة مع إمكانية استعمال مُربَّعات التي لا توازي محاورها أضلاع التقفيصة، تُسمَّى هذه المربعات مربعات قطرية لأن أقطارها منطبقة على محاور التقفيصة. تحوي التقفيصة السابقة ستة مُربَّعات قطرية إضافية ما يجعل العدد الإجمالي للمربعات 20 مُربعًا. ويُحسب عدد المُربَّعات القطرية في هذه الأحجية بالعلاقة:" ، وتُسمَّى الأعداد الناتجة أعداد هرمية مُربَّعة رباعية الأبعاد. وتُعطى حلول هذه الأحجية للقيم بالمتتالية:

وفي هذا الصدد، عدُّ المربعات مختلفة القدود الموجودة على شبيكة مُربَّعة أبعادها من الشائعة. تحوي تقفيصة مُربَّعة أبعادها أربعة عشر مُربَّعًا: 9 مُربَّعًا وحدة و4 مُربَّعات ، ومُربَّع واحد . ويُحسب عدد المُربَّعات في هذه الأحجية بالعلاقة: ، ويكون الناتج عددًا هرميًا مُربَّعًا. وبالنسبة لقيم وتعطى حلول هذه الأحجية للقيم بالمتتالية:

ومن جهة أخرى، الوَفْق، ويُسمَّى كذلك ترجمة من الإنجليزية «المُربَّع السحري»، مصفوفة مربعة يَكون مجموع الأعداد الموجبة في أي صف وأي عمود وفي كلا القطرين الرئيس والثانوي مساويًا لقيمة ثابتة معلومة. يُمكن التعبير عن هذه القيمة بدلالة بُعد المصفوفة بالعلاقة:؛ وتُعطى القيم الموافقة لقيمة البعد بالمتتالية:

من جهة ثانية، مسألة عد تطلب حساب بالمربعات عدد المستطيلات مختلفة القد المتشابهة التي يمكن تقطيع مُربَّع معلوم إليها. يُمكِن تقطيع أي مُربَّع إلى مستطيلين متشابهين بطريقة واحدة فقط هي تنصيفه، ولكن عند تقطيع المُربَّع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة، ثمة ثلاث مُمكِنة للمستطيلات: 3:1، و3:2 والنسبة اللدائنية التي تبلغ قرابة 1.755:1. عدد النسب الممكنة عند تقطي المُربَّع إلى مستطيلًا متشابهًا معروف لقيم الصغيرة، ولكن ليس ثمة صيغة عامة له، وهو بالنسبة لقيم :

متعددات الوجوه والأكناف

إضافةً إلى ذلك، المُربَّع ثنائي الأبعاد، كَنفه الضلع، ورمز شليفلي له . يُنتِج بترُ زوايا المُربَّع ثماني أضلاع. ينتمي المُربَّع إلى عائلة من تضم المُكعَّب في الفضاء ثلاثي الأبعاد والمُكعَّب الفائق في الأبعاد الأعلى، كما ينتمي كذلك إلى عائلة أخرى تضم ثماني الوجوه المُنتظَم في الفضاء ثلاثي الأبعاد ومُتعدِّد الأكناف التصالبي في الأبعاد الأعلى. يُمكِن تمثيل إحداثيات رؤوس المكعب والمكعبات الفائقة طول أضلاعها 1، على محاور جملة إحداثيات متعامدة ثنائية البعد يطابق مبدأها مركز متعددات الأكناف هذه، فيُنتج ذلك مربعًا هو مسقط متعدِّدي الأكناف هذين في الفضاء ثنائي البعد، أما مسقط ثماني الوجوه المنتظَم ومتعددات الأكناف التصالبية، فيكون لها إحداثييان ±1 في حين تكون سائر الإحداثيات الأخرى صفرية، وينتج مربع قطراه منطبقان على جملة الإحداثيات. يُمكِن الحصول على تناظرات هذه الأشكال، كما هو الحال في المُربَّعات، بتطبيق عمليات تباديل ذات إشارة على إحداثياتها.

المُربَّعات المُحاطة

وفي هذا الصدد، أمَّا ، فإن ضلعًا واحدًا على الأقل منه سينطبق على ضلع من أضلاع المُثلَّث. ويحيط كل مُثلَّثٍ حاد بثلاث مربَّعات، ويحيط المثلث قائم الزاوية بمربعين، أحدهما ينطبق على زاويته القائمة، وينطبق ضلع الآخر على وتره. ويحيط المُثلث منفرِج الزاوية بمُربَّعٍ واحد ينطبق ضلعه على أطول أضلاعه. لا يمكِن للمُربَّع المحاط بمُثلَّث أن يشمُل مساحة تزيد نصف مساحة ذلك المُثلَّث.

ومن ناحية أخرى، المُربَّع ، أي أن رؤؤسه الأربعة كلها تقع على منحنٍ معلوم. تطرح سؤال عن إحاطة أي منحنٍ بسيط مغلق بمربع، وهي مسألة غير محلولة بعد، مع أن صحتها مثبتة لأي منحنٍ أملس، ولأي منحنٍ مُحدَّب مغلَق. ويُعد المثلث متساوي الأضلاع المُضلَّع المنتظَم الوحيد الآخر الذي يمكن إحاطته دائماً بمُنحنٍ مُحدَّب مُغلَق، فثمة منحنٍ مُحدَّب لا يمكن رسم أي مُضلَّع منتظم آخر بداخله.

الهندسة الإقليدية

كذلك، تتضمن الكثير من المبرهنات الرياضية المُربَّعات؛ تنص مثلًا على ما يلي: ليكن المُربَّعان و المشتركان بالرأس ، وليكن و مركزاهما على الترتيب. تشكل نقطتا المركز، ومنتصفي القطعتين و رؤوسًا لمربَّع ثالث. يُمكن أن يُكرَّر استعمال هذه المبرهنة لإثبات مبرهنة فان أوبيل التي تنص على أن مراكز المُربَّعات الأربعة، التي يُنشأ كل منها على ضلع من أضلاع رباعي أضلاع تُشكِّل . كما تنص مثلًأ، والتي تُسمَّى أحيانًا مبرهنة فيكتن على أنه إذا وُجِد مُثلَّث محاط بثلاثة مُربَّعات منشأة على أضلاعه، فإن المُثلَّثات الثلاثة الإضافية الناتجة عن توصيل رؤوس تلك المُربَّعات تكون جميعها متساوية في المساحة.

من جانب آخر، تنص على أنه لا يُمكِن تقطيع المُربَّع إلى عدد فردي من المُثلَّثات متساوية المساحة. وتتضمن مسألة تقطيعه إلى عدد من القطع ثم إعادة تجميعها لتكوين ثلاث مُربَّعات متطابقة. كما تتحدى مفهوم الفَرُوقية التكافئية بين المُربَّع والدائرة بدراستها لتقطيع قرص الدائرة إلى عدد محدود من القطع وإعادة تجميعها لتُشكِّل مُربَّعًا.

التعريف والتسمية

وفي السياق ذاته، يُسمَّى المُربَّع باللغة الإنجليزية «square» وتتفق معاجم المصطلحات العربية المتخصصة على اعتماد مصطلَح «مُربَّع» تعريبًا له.

وفي هذا السياق، المُربَّع اسم مفعول من الجذر الثلاثي «ر ب ع»، ويُرجِع معجم الدوحة التاريخي أول استعمال معروف لمصطلح «المُربَّع» إلى الخوارزمي قرابة عام 833م، لكن الخوارزمي يستعمل المصطلَح في كتابه «مفاتيح العلوم» بمعنى «رباعي الأضلاع»، ويُصنِّف تحته خمسة أنواع: المُربَّع الشائع ويسميه المربع الصحيح، والمستطيل والمعين، وشبيه المعين والمنحرِف.

رباعي أضلاع أطوال أضلاعه المتتالية ومساحته تستوفي المعادلة:

وفي هذا الصدد، يُعرِّف مُعجَم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المُربَّعَ بأنه «شكل هندسي مستو له أربعة أضلاع متساوية الطول وأربع زوايا قائمة» بينما تُعرِّفه موسوعة الكويت العلمية بأنه «شكل رباعي ذو أضلاع متساوية وزوايا متساوية»، وبأنه «مستطيل ضلعاه المتجاوران متساويان». أما مُعجَم أكسفورد لدراسة الرياضيات، فيُعرِّف المُربَّع بأنه «مستطيل تساوت أضلاعه».

وعلى صعيد آخر، أقطاره متساوية الطول ومتعامدة ويُنصِّف كل منها الآخر، أي أنه مُعيَّن متساوي الأقطار.

• مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية الطول.
• مُعيَّن يحتوي على زاوية قائمة بين ضلعين متجاورين.
• مُعيَّن زواياه الأربع متساوية (أي كلها قائمة).
• متوازي أضلاع له زاوية قائمة واحدة وضلعان متجاوران متساويان.

ومن جهة أخرى، يكون أي رباعي أضلاع بسيط في المستوى الإقليدي مُربَّعًا إذا استوفى أيًا من الشروط التالية:

علاوةً على ذلك، له أربعة أضلاع متساوية الطول وأربع زوايا قائمة (قياس كل منها 90 درجة أو π/2 راديان).

الدائراتان المحيطة بالمُربَّع والمحاطة به

علاوةً على ذلك، ليكن المُربَّع مُحاطًا بدائرة تمسه عند النقاط: منتصف الضلع و منتصف الضلع و منتصف الضلع و منتصف الضلع ، من أجل أي نقطة على الدائرة، تتحقق العلاقة التالية:

وفي السياق ذاته، للمُربَّع دائرتان مميزتان: دائرة محاطة يُحيط بها وتمس أضلاعه الأربعة في منتصفاتها، ودائرة محيطة تحيط به وتمر برؤوسه الأربعة، مركز هاتين الدائرتين هو مركز المربع، وهو نقطة تقاطع قطريه. تمثل الدائرة المحاطة بالمُربَّع أكبر دائرة يُمكِن أن تتسع داخله، ويكون نصف قطرها مساويًا لنصف طول قطر المُربَّع، أي . المُربَّع رباعي أضلاع مماسي لأن ثمة دائرة تمس أضلاعه الأربعة من الداخل، وهو كذلك رباعي أضلاع دائري لوجود دائرة محيطة به، يكون نصف قطرها مساويًا لنصف طول قطر المُربَّع، أي .

ومن ناحية أخرى، إذا كان يمثل المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى رأس المُربَّع و نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع، فإن العلاقة التالية محققة دومًا:

ومن جهة أخرى، إذا كانت و تمثلان، على الترتيب، المسافتين من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز المُربَّع وإلى رؤوسه الأربعة، فإن العلاقتين التاليتين محققتان دومًا:

التصنيف

كذلك، المُربَّع رباعي أضلاع دائري، أي تحيط به دائرة تمر بجميع رؤوسه، وهو مُضلَّع مماسي، أي يمكن رسم دائرة داخله تمس أضلاعه الأربعة. هو كذلك مُضلَّع متعامد القطرين، إذ يتقاطع قطراه بزاوية قائمة، ومتناصف القطرين، إذ تنصِّف نقطة تقاطعهما كلًا منهما. كما تمثل نقطة تقاطع القطرين مركز المُربَّع، وهي في الوقت نفسه مركز الدائرتين المحيطة والمُحاطة به.

وفي هذا الصدد، يُعدّ المُربَّع حالةً خاصةً من المستطيل، إذ تتساوى أطوال أضلاعه، ومن المُعيَّن، إذ تتساوى زواياه الأربع وتكون قائمة. هو كذلك حالة خاصة من متوازي الأضلاع، إذ يتعامد قطراه وينصِّف كلٌّ منهما الآخر، وحالة خاصة من الحدأة، إذ تتساوى أطوال أضلاعه الأربعة، كما هو الحال في المُعيَّن.

ومن ناحية أخرى، المُربَّع رباعي أضلاع مستوٍ بسيط مُحدَّب أطوال أضلاعه متساوية وزواياه متساوية المقاس وكلها قائمة وقطراه متعامدان ومتناصفان.

المساحة والتربيع

في هذا الإطار، قيست مساحة الشكل المستوي في الهندسة الاستنتاجية اليونانية القديمة ثُمَّ قُورِنت بمساحة مُربَّع له المساحة نفسها منشأ بعدد محدود من الخطوات بالمسطرة والفرجار، وهي العملية التي تُسمى التربيع. ويشرح كتاب الأصول لإقليدس كيفية تطبيق هذه الطريقة لحساب مساحة المُستطيلات ومتوازيات الأضلاع، والمُثلَّثات، ثم يُعمِّم الطريقة على أي مضلع بسيط آخر بتقطيعه إلى مُثلَّثات. يُمكن كذلك تربيع بعض الأشكال ذات الأضلاع المنحنية، مثل هلال أبقراط والقطع المكافئ.

في هذا الإطار، عُرِّفت الكثير من وحدات قياس المساحة المُعرَّفة بحسب المُربَّعات منذ العصور القديمة، وعادةً ما تُنسب لوحدة طول معيارية تكون ضلعها، مثل المتر المُربَّع أو البوصة المُربَّعة.

إضافةً إلى ذلك، وظهر استعمال المُربَّع أداةً لقياس المساحة في الصيغة اليونانية لمبرهنة فيثاغورس:

ومن ناحية أخرى، بسبب هذا التركيز على التربيع معيارًا للمساحة، سعى الإغريق القدماء وعلماء الرياضيات اللاحقون دون جدوى إلى تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع له المساحة نفسها لدائرة معلومة، بعدد محدود من الخطوات بالفرجار والمسطرة. ثَبُتت استحالة هذه المسألة في عام 1882، نتيجةً لمبرهنة ليندمان وفايرشتراس التي أثبتت أن π عدد متسامٍ وليس عدداً جبرياً؛ أي أنه ليس جذراً لأي متعددة حدود معاملاتها أعداد مُنْطَقة. وبما أن تربيع الدائرة بالمسطرة والفرجار كان يؤول إلى مُتعدِّدة حدود للثابت π لا حلول لها، فإن هذه المسألة أعلنت مستحيلة الحل. وانتقل مصطلح «المربع المُدوَّر» إلى الفلسفة مثالًا الإرداف الخلفي وشاع منذ عصر أرسطو.

وفي هذا الصدد، مع أن صياغتها بهذا الشكل تجعلها تبدو صالحةً فقط لأجل المُربَّع، فإن هذه المبرهنة صالحة للأشكال الأخرى المنشأة على أضلاع المثلث، مثل المثلثات متساوية الأضلاع أو أنصاف الدوائر، لكن الإغريق القدماء اعتمدوا المُربَّعات. وفي الرياضيات الحديثة، استُبدلت بصيغة المبرهنة هذه المعتمدة على مساحات المربعات صيغة جبرية تتضمن تربيع الأعداد: .

هندسات أخرى

إضافةً إلى ذلك، له أربع مستقيمة (180°)؛ ويَقرُن إسقاط بيرس الخماسي لخرائط العالم، بتطبيق مُمتثِل، وجهين من هذا النوع بالفضاء الإقليدي. ويُعد مُثلَّثا كرويًا مُنتظَمًا له ثلاثة أضلاع متساوية الطول وثلاث زوايا قائمة، ويٌبلِّط ثمانية منه الكرة مُشكِّلًا ثماني وجوه كروي. أما الهلال الكُروي فهو ذو قوسين منتظَم، له ضلعان نصف دائريين وزاويتين متساويتين عند الرؤوس المتقابلة قطريًا، يُغطِّي الهلال القائم ربع الكرة، وهو أحد وجوه رباعي الأقواس الذي يُصنَّف بأنه من مستكثرات الوجوه المنتظَمة.

علاوةً على ذلك، يمكن تعريف المستوي الإقليدي بدلالة بدالة مسافة إقليدية التي تحدِّد المسافة بين أي نقطتين في المستوي و بالعلاقة . أُنشئت هندسات جديدة عند اعتماد دوال مسافة أخرى، وفي بعض هذه الهندسات، تصبح الأشكال التي قد تكون مُربَّعات إقليدية هي «دوائرَ»: مجموعة النقاط التي تبعد مسافة متساوية عن نقطة المركز. فالمُربَّعات المائلة بزاوية 45° على محاور الإحداثيات هي دوائر في هندسة سيارة الأجرة اعتمادًا على المسافة وقيمتها . وتكون المُربَّعات الموازية للمحاور بالطريقة نفسها دوائرَ اعتمادًا على مسافة شبشفية التي تساوي . وفي هذه القياسات، تُشكِّل النقاط التي تبعد مسافة عن نقطة ما مُربَّعاً موازياً للمحاور مركزه تلك النقطة وطول ضلعه طول ضلعه . ثمة شكل يُسمَّى المستديرة المُربَّعية يقع بين الدائرة والمُربَّع.

من جهة ثانية، يكون انحناء الفضاء سالبًا محتتنًا الهندسة الزائدية، ولن يتجاوز مجموع زوايا أي رباعي أضلاع مُحدَّب فيه 360°، ويُسمى الفرق ويكون متناسب طرداً مع مساحة سطح الرباعي. تصغر مقاسات زوايا المُربعات الزائدية مع زيادة مساحتها. وتشمل الحالات الخاصة المُربَّعات التي يكون قياس زواياها من أجل قيم أكبر من 4، يمكن لكل من هذه المُربعات تبليط المستوي الزائدي. يظهر المُربَّع المثالي في الحد اللانهائي، وهو مُربَّع أطوال أضلاعه الأربعة لانهائي ورؤوسه الأربعة نقاط مُثلى خارج المستوى الزائدي، ومقاسات زواياه 0°. للمُربَّع المثالي، مثل أي رباعي أضلاع مثالي، مساحة منتهية متناسبة طرداً مع العيب الزاوي. ومن الممكن كذلك إنشاء مُضلَّع زائدي منتظَم عدد أضلاعه أكبر من وزواياه كلها قائمة عند كل رأس، ويمكن لهذه المُضلَّعات أن ، ثنوي على التبليط هو التبليط بـ عند كل رأس.

من جانب آخر، يكون انحناء الفضاء مُوجباً محتتنًا في الهندسة الكروية، وأي رباعي أضلاع مُحدَّب فيه، سيكون مُضلعًا كرويًا حدوده أقواس من دوائر عظمى، ويتجاوز مجموع زواياه 360° بمقدار يتناسب طرداً مع مساحة سطح الرباعي، ويُسمى . تكون المُربَّعات الكروية الصغيرة إقليدية على وجه التقريب، ويزداد مقاس زواياها مع زيادة مساحتها. ومن الحالات الخاصة وجوه المُكعَّب الكروي، فمقاس زوايا رؤوسه كلها 120°، ويَشمُل سُدس سطح الكرة. ثمة حالة خاصة أخرى هي نصف الكرة، وهي وجه لثنائي وجهٍ مُربَّع كروي

علاوةً على ذلك، يكون الفضاء مُسطَّحاً في الهندسة الإقليدية المألوفة، ويكون مجموع الزوايا الداخلية لأي رباعي أضلاع مُحدَّب 360°، وبما المُربَّع رباعي أضلاع منتظَم فإن زواياه متساوية، ويكون مقاس كل منها 90°. أمَّا في الهندسة الكروية، والزائدية فإن الفضاء يكون يكون منحنيًا، ولا يكون مجموع الزوايا الداخلية لرباعي الأضلاع المُحدَّب 360° أبداً، لذا لا وجود لرباعيات أضلاع ذات زوايا أربعة قائمة، ولكن ثمة رباعيات أضلاع منتظَمة في كلتا الهندسيتين، لكل منها أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا متساوية، وغالباً ما يُشار إليها بالمُربَّعات، مع أن بعض الرياضيين يُفضِّلون تجنُّب هذه التسمية لافتقار الرباعيات إلى الزوايا القائمة. ثمة كذلك مُضلَّعات مُنتظَمة ذات زوايا قائمة في هذه الهندسات، ولكنها ليست رباعيات أضلاع.

وَ

• حيث إن هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمُربَّع.
• مواضيع مرتبطة
• الإنشاء

التناظر

كذلك، إذا وُضِع المُربَّع في نظام إحداثيات ديكارتية وكانت أضلاعه موازية لمحوري الإحداثيات ومركزه منطبقًا على نقطة الأصل، يمكن تمثيل جميع تناظراته بتبديل إشارات إحداثيات رؤوسه وتبديل الإحداثيات السينية بالعينية. للمُربَّع أربعة محاور انعكاس تناظرية: القطران ومنصفا الأضلاع، وأربعة تناظرات دورانية بزوايا: 90 و180 و270 و360 درجة، ينتج عن كل منها مُربَّع جديد مطابق للأصل. يمكن فهم هذه التناظرات بافتراض تقسيم المُربَّع إلى ثمانية مثلثات متساوية الساقين تشترك في رأس واحد هو مركز المُربَّع، ويُنظر إلى أحد هذه المثلثات (الملوَّن بالأزرق في الشكل أدناه)، باعتباره ساحة أساسية للتحويل، إذ تتمثل التناظرات في تدوير هذا المثلث حول مركز المُربَّع ليشغل مواقع المثلثات الثمانية المحصورة بين أنصاف الأضلاع ومركز المُربَّع. كما يَقرُن كل تناظر بين رأسين من رؤوس المُربَّع، وضلعين ونصفي ضلعين بعضهما بعضًا. هذه التناظرات ليست مقصورةً على المُربَّع وحده، بل هي خاصية لدى كل المُضلَّعات المنتظَمة. ويُقبَل أن تناظرات المُربَّع، أو أي مُضلَّع منتظَم عمومًا، تعمل انتقاليًا على الرؤوس والأضلاع، وانتقاليًا ببساطة على أنصاف الأضلاع.

وعلى صعيد آخر، يُمكن جمع أي تحويلين من هذه التحويلات بتنفيذ أحدهما بعد الآخر، فيُعاد المُربَّع إلى نفسه وينتج تناظر جديد. يؤدي تكرار الدوران إلى دوران آخر بزاوية تساوي مجموع زوايا الدوران، بينما يؤدي تنفيذ انعكاسين على المحور ذاته إلى تحويل الهوية. كما يُفضي تنفيذ انعكاسين حول محورين مختلفين إلى دوران المُربَّع، في حين يؤدي الدوران المتبوع بانعكاس، أو الانعكاس المتبوع بدوران، إلى إنتاج انعكاس جديد مُختلف. يمنح تركيب الدوال هذه التناظرات الثمانية للمُربَّع بنية زمرة رياضية تُسمى زمرة المُربَّع أو «D8». أما رباعيات الأضلاع الأخرى، مثل المستطيل والمُعيَّن، فلها فقط زمرة فرعية من هذه التناظرات.

ومن جهة أخرى، تُعدّ زُمَر ورق الجدران زُمَر تناظر ثنائية الأبعاد ذات أنماط مُتكرِّرة. تكون وحدة التكرار الرئيسة في الكثير من هذه الزمر، وهي خلية من شبيكة الأدوار، مُربَّعة، ويلزم أن تكون مُربَّعة في ثلاثة من هذه الزُمَر: p4 وp4m وp4g.

وعلى صعيد آخر، الثمانية للمُربَّع: يَحفظ كل منها تناظر المُربَّع بإعادة إنتاج مُربَّع مطابق للأصل.

من جانب آخر، تَحفَظ خاصية التشابه في المُربَّعات شكل المُربَّع لا حجمه عند تطبيق أي من التحويلات السابقة. توجد تحويلات أخرى في المستوى تُنتج رباعيات أضلاع أخرى انطلاقًا من المُربَّع. فالتحويل التآلفي لمُربَّع مثلًا، يُنتج متوازي أضلاع والعكس صحيح. أماالتحويل الإسقاطي فيُنتج رباعي أضلاع مُحدَّب والعكس صحيح، ويعني ذلك أن المُربَّع يمكن أن يبدو كأي رباعي أضلاع مُحدَّب آخر بالرسم منظوري، والعكس صحيح. كما يمكن لتحويل موبيوس أن ينتج رؤوس شكل رباعي توافقي من رؤوس مُربَّع (ولا ينطبق ذلك على أضلاعه).

ومن جهة أخرى، يُعدّ المُربَّع أكثر رباعيات الأضلاع تناظرًا، وله ثماني تُعيده إلى نفسه دون تغيير في شكله أو حجمه.

الكُسُوريات

وفي هذا الصدد، سجادة شربنسكي كسورية مُربَّعة فيها ثقوب مُربَّعة. مسار ، مثل منحني هلبرت ومنحني بيانو و يكون على هيئة قطعة مستقيمة مُتعرِّجة لا تتجاوز حدود مُربَّعٍ يشملها. أما فيشابه المنحنيات السابقة شكًلا لكنه يختلف عنها بأنه غير مستمر. من الدوال الرياضية الأخرى المرتبطة بالمُربَّع و، وكل منهما دالَّة تُولِّد منظومة حراكيةً فوضويةً في مُربَّع، إضافة إلى الدوال ، وهي دوال عُقدية دورية على شبكة مُربَّعة.