مصفوفة دوران

الدوران في ثلاثة أبعاد

من جهة ثانية، كما رأينا في حالة تدوير نظام الإحداثيات في بعدين فإن الدوران يكون حول نقطة الأصل. أما في حالة الثلاثة أبعاد فإن الدوران يكون حول محور ما I يمر بنقطة الأصل. يمكننا أن نرمز لمصفوفة الدوران بالرمز أي الدوران حول محور I بزاوية θ.

الدوران حول محور عام

من جهة ثانية، رأينا فيما سبق ثلاث حالات خاصة لتدوير نظام الإحداثيات حول المحاور الأساسية. سنعطي الآن مصفوفة الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول أي محور يمر بنقطة الأصل و I هي وحدة المتجه لهذا المحور.

حيث Ix و Iy و Iz هي مركبات وحدة المتجه I.

الدوران حول محور z

ومن جهة أخرى، بالفعل يمكننا أن نمثل تدوير نظام الإحداثيات حول محور z بزاوية θ

كما نرى فإن المحور z لم يتغير.

حيث

وفي السياق ذاته، مصفوفة الدوران يجب أن تكون مصفوفة مربعة وذات عناصر حقيقية. بشكل أكثر تحديدا، تتميز مصفوفات الدوران بأنها مصفوفة متعامدة ومحددتها تساوي 1.

و R هي مصفوفة الدوران.

يمكننا كتابة مصفوفة الدوران على النحو التالي

من جهة ثانية، ونلاحظ أن مدخلات المصفوفة هي نفسها جيوب تمام اتجاه المحاور الجديدة نسبة إلى القديمة.

للتسهيل يمكننا أن نكتب

ومن ناحية أخرى، حيث rx'x هو جيب تمام إتجاه المحور x بالنسبة لمحور x والباقي بالمثل.

الدوران حول محور y

عندما نقوم بفك المعادلة السابقة وإعادة ترتيبها، سنجد أن

يمكننا بالمثل القيام بالدوران حول المحور y، وتكون المعادلة

أي أن

• عناصر المصفوفة
• بما أن
• و

كذلك، تذكر أن المصفوفة المذكورة في المعادلة السابقة هي لتدوير الإحداثيات عكس اتجاه الساعة، مما يكافي تدوير النقطة ذاتها مع عقارب الساعة.

ويمكن التعبير عن هاتين المعادلتين عن طريق المصفوفات

والتي يمكن إعادة التعبير عنها كالتالي

وفي هذا الصدد، يرجى ملاحظة الفرق في ترتيب الإحداثيات في المصفوفتين العموديتين.

الدوران في بعدين

كذلك

ومن ناحية أخرى، حيث P هي طول متجه الموضع للنقطة العامة (x, y)، و θ هي الزاوية بين المحورين x و x، و Φ هي الزاوية بين متجه موضع النقطة ومحور x.

وفي هذا الصدد، كما ذُكِر بالأعلى، فإن تدوير نقطة ما بزاوية معينة يكافئ تماما لتدوير نظام الإحداثيات نفسه بالاتجاه المعاكس.

إضافةً إلى ذلك، يمكننا دراسة الحالة حيث يتم تدوير نظام الإحداثيات بزاوية θ عكس عقارب الساعة (وهو الإتجاه الموجب للدوران) حول نقطة الأصل. يمكننا أن نرى أن

الدوران حول محور x

في هذا الإطار، بأسلوب مماثل نجد أن الدوران حول المحور x يتم التعبير عنه كالتالي

عكس الدوران

كذلك، يمكن إثبات ذلك ببساطة عن طريق فك المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها بدلالة (x, y, z) عوضا عن ('x', y', z) فينتج المطلوب. وهكذا تكون المصفوفة التي تعبر عن تحويل 'x إلى x' هي RT. ونلاحظ أن عملية التحويل تلك تكافئ تماما الدوران في الإتجاه العكسي. أي أنه إذا كانت R هي مصفوفة الدوران بزاوية θ في الإتجاه الموجب (عكس عقارب الساعة) فإن RT هي مصفوفة الدوران بنفس الزاوية لكن في الإتجاه العكسي.

نلاحظ كذلك أن RT = R-1، أي أنها تساوي المصفوفة العكسية.

وفي السياق ذاته، رأينا فيما سبق مصفوفة الدوران التي تحول من نظام x إلى نظام 'x. وأن التعبير المختصر لتلك العملية هو

وفي هذا الصدد، أما إذا أردنا أن نعبر عن التحويل من نظام 'x إلى نظام x فإن معادلة التحويل العكسي تصير

الدوران حول المحاور الأساسية

كذلك، من السهل دائما القيام بالدوران حول أحد المحاور الأساسية، فالعملية مشابهة تماما للدوران في بعدين حول نقطة الأصل مع تعديل بسيط.

في هذا الإطار، تُعطى مصفوفات الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحاور الأساسية x و y و z على الترتيب كالآتي