مصفوفة هيسية

و

الاشتقاقات الجزئية من الدرجة الثانية تساوي:

وعلى صعيد آخر، في حالة الدالة ، شرط الاتصال غير متحقق في النقطة وبالتالي فهيسيتها في هذه النقطة لن تكون متماثلة رغم إمكانية حساب المشتقات من الدرجة الثانية في هذه النقطة : و . هذا المثال المضاد اقترحه الرياضي الإيطالي جوزيبه بيانو سنة 1884.

و و .

علاوةً على ذلك، قيمة المصفوة الهيسية للدالة في النقطة مثلا تساوي: وهي متماثلة لتحقق شروط مبرهنة شفارز في النقطة .

تعريف

علاوةً على ذلك، وبافتراض قابلية الاشتقاق الجزئي من الدرجة الثانية لكل متغيراتها، المصفوفة الهيسية ل هي المعرفة عناصرها :

وعلى صعيد آخر، يسمى محدد المصفوفة الهيسية بالمحدد الهيسي ويشار إليه ب ، أما أثرها فيشار إليه ب.

باعتبار دالة عددية معرفة في :

وفي السياق ذاته، بصفة عامة، من المنظور التوبولوجي، وحسب مبرهنة شفارز، إذا كانت دالة مستقرها في ، درجة قابليتها للاشتقاق (أي أن المشتقات من الدرجة الثانية قابلة للحساب ومتصلة)، ومعرفة في مجموعة مفتوحة ضمن فضاء ، فمصفوفتها الهيسية بالضرورة قابلة للتعريف وهي بالضرورة متماثلة.

إضافةً إلى ذلك، هذه الخاصية الأخيرة مستتجة من مبرهنة شفارز والتي تقضي بأنه إذا كانت المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية متصلة فالمشتقات المتقابلة متساوية. مثلا في حالة دالة :

وتكتب بالتفصيل كما يلي:

أمثلة

باعتبار الدالة بمتغيرين : ،

تحديد ماهية النقط الحرجة لدالة

• نقطة قيمة عليا موضعية.
• نقطة قيمة دنيا موضعية.
• نقطة سرج.
• نقطة سرج قرد.

في هذا الإطار، عمليا، باعتبار دالة درجة قابليتها للاشتقاق معرفة في مجموعة مفتوحة ، تمكن المصفوفة الهيسية من تحديد طبيعة القيم الحرجة للدالة .

وفي هذا السياق، تطرح لاحقًا مسألة تحديد ماهية هذه النقطة، وشكل الدالة في جوار النقطة (أو النقط) القصوية، لأن شرط انعدام المشتقة من الدرجة الأولى لا يكون كافيا للحسم، وهنا يجب التمييز بين أربعة أصناف من النقط الحرجة:

وفي هذا الصدد، للتذكير، تعتبر النقطة حرجة (أو قصوية) إذا انعدم فيها تدرج الدالة : (مثلا في حالة متغيرين : )، وهو ما يمثل شرطا ضروريا لكي تكون قصوية.

مراجع

علاوةً على ذلك، الحالة الأخيرة مثال لما يعرف بالنقط الحرجة الشاذة (بالفرنسية: Points dégénérés أو بالإنجليزية Degenerate Points).قرار تحديد ماهية النقطة القصوية يكون وفق إشارة محدد المصفوفة الهيسية و أثرها واللذان تستنبط منهما إشارات القيم الذاتية لنفس المصفوفة في النقطة المدروسة. للتذكير فمحدد المصفوفة يساوي جداء القيم الذاتية بينما يساوي أثرها مجموع قيمها الذاتية.

استخدامات المصفوفة الهيسية

علاوةً على ذلك، المصفوفة الهيسية مفيدة في تسهيل حل المسائل الرياضية المتعلقة بدراسة الدوال المحدبة و خصوصا في تقنيات الاستمثال المطبقة في مجال النمذجة الإحصائية (مثلا لإيجاد القيم المقدرة لمعاملات النماذج حسب طريقة تقدير الاحتمال الأرجح).