مضلع بسيط

حالات خاصة

في هذا الإطار، كل مضلع مُحدَّب هو مضلع بسيط. وثمة صنف آخر من المضلعات البسيطة هي المضلعات نجمية الشكل، ويمتاز المضلع منها بخاصية فريدة: ثمة نقطة داخلهأو على محيطه، لتكن مثلًا: ، يمكن منها رؤية داخل المُضلَّع كله، ومعنى الرؤية إمكانية رسم قطعة مستقيمة تقع بكاملها داخل المُضلَّع من إلى تلك النقطة.

ومن جهة أخرى، مضلعات بسيطة كذلك. إذا كانت قطعة مستقيمة، يكون المضلع المدروس رتيبًا إذا قطع كل خط عمودي على محيط المضلع مرتين على الأقل.

مسائل حوسبية

كذلك، ثمة مسائل حوسبية أخرى ترتبط بالمُضلَّعات البسيطة، منها مثلًا إنشاء أطول الأقطار وأطول القطع المُستقيمة داخل المُضلَع، أو أكبر مُضلَّع مُحدَّب يُمكن إنشاؤه داخل مُضلَّعٍ بسيط معروف، وهي المسألة المعروفة بمسألة .

علاوةً على ذلك، يُمكن مثالَثة المُضلَّع البسيط في زمن خطي بخوزارزمية مُعقَّدة. يُمكن تعديل الخوازرمية للتحقق، بزمن خطي كذلك، فيما إذا كانت سلسلة مُضلَّعة مُغلقة تُشكِّل مُضلَّعًا بسيطًا، أي لا تقاطع ذاتيًا فيها. ويُمكن كذلك تطوير الخوارزمية لحل مسألة معرض الفنون بزمن خطي، ولكن الحل الناتج ليس الأمثل دائمًا لكل المُضلَّعات. من الممكن تحويل أي مثالثة مضلع إلى أخرى بعمليات قلب يُستبدَل القطر فيها في كل عملية قلب، ولكن فيما إذا كان عدد عمليات القلب محدودًا يظل مسألة متعددة حدود غير قطعية كاملة.

علاوةً على ذلك، يُمكن إيجاد المسار المتقاصر، وهو يصل بين نقطتين داخل المُضلَّع من غير أن يمر بخارجه، بزمن خطي بخوارزمية تعتمد المثالثة. ويُمكن إيجاد مركز التقاصر، وهي نقطة تستصغر أطول المسارات المتقاصرة، بزمن خطي كذلك.

ومن ناحية أخرى، ثمة مسائل حوسبية عديدة في الهندسة الرياضية الحاسوبية يكون دخلها مُضلَّعًا بسيطًا.

وفي السياق ذاته، تتناول اختبارًا لتحديد فيما إذا كانت النقطة موجودة داخل المُضلَّع ، يمكن إنجاز هذا الاختبار حاسوبيًا بوقت لغارتمي.

كذلك، ثمة صيغ بسيطة عديدة تُستعمل لحساب مساحة مُضلع، منها التي تناسب المُضلَّعات العشوائية، ومبرهنة بيك التي تُستعمل إذا عُلِمت إحداثيات رؤوس المُضلَّع البسيط.

وفي هذا الصدد، يُمكن حل مسألة بزمن خطي أسرع من الخوارزميات التي تبحث عن الغلاف المُحدَّب لنقاط لا تُسكِّل مُضلَّعًا.

ومن جهة أخرى، يُمكن إنشاء مُضلَّع الرؤية لمضلع بسيط، وهو مُضلع داخله كل النقاط التي يُمكن رؤيتها من نقطة ما داخل المُضلَّع البسيط، بزمنٍ خطي. ويُمكن إنشاء المضلَّع بزمن خطي كذلك على أي مجموعة جزئية من مجموعة كل النقاط المرئية السابقة.

الخواص

ومن ناحية أخرى، تُسمَّى المضلعات البسيطة كذلك مضلعات جوردن لأنها منحنيات بسيطة مغلقة (منحنيات جوردن)، ويمكن استعمال مبرهنة منحنى جوردان لإثبات أن المُضلَّع البسيط يقسم المستوي إلى منطقتين. تُسمَّى المنطقة الواقعة بين أضلاع المُضلَّع داخل المضلع وهي مجموعة محاطة، تكافئ طبولوجيًا قرصًا مفتوحًا مساحته محدودة وغير صفرية، وفقًا . يكافئ المُضلَّعُ طوبولوجيًا دائرةً،، وتُسمَّى المنطقة خارجه: خارج المُضلَّع، وهي مفتوحة غير محاطة مساحتها عير منتهية.

وفي هذا السياق، مجموع الزواية الخارجية لكل رؤوس المُضلَّع البسيط (360°)، أما مجموع الزوايا الداخلية لمضلع بسيط نوني فهو .

وفي هذا السياق، تُثبت بأن لكل مُضلَّع بسيط أذنان بشرط ألا يكون مُثلَّثًا. تنصُّ مبرهنة أخرى على أن لكل مُضلَّع بسيط غير مُحدَّب فمٌ واحد، ويُسمَّى المُضلَّع البسيط الذي له أذنان وفم واحد .

كذلك، تنص أن بالإمكان دائمًا إيجاد مجموعة جزئية من رؤوس مضلع بسيط نوني عددها عناصرها على الأكثر تكون أي نقطة داخل المُضلَّع مرئية من إحدى نقاط المجموعة. وهذا يعني أنه إذا كانت نقطة داخل المُضلَّع، فثمة قطعة مستقيمة تصلها إلى أي رأس من مجموعة الرؤوس الجزئية، تمر هذه القطعة بكاملها داخل المضلع. يُمكن إثبات هذه المبرهنة بتلوين البيان، إذا غطى لونٌ واحد رأسًا على الأكثر.

كذلك، يُمكن تقسيم المُضلَّع البسيط بمجموعة جزئية من أقطاره إلى عدد من المثلثات غير المتداخلة، تُسمَّى هذه العملية مثالثة المُضلَّع. تنتج مثالثة مُضلَّع نوني مثلثًا مفصولة بعضها عن بعض بـ قطرًا. يتحدد شكل المُضلع البسيط المُثالَث تحديدًا فريدًا بزواياه الداخلية وبالنسبة التصالبية لرباعي الأضلاع المُنشئ من زوجي المثلثات اللذان يتشاركان قطرًا.

إنشاءات ذات صلة

في هذا الإطار، يُمكن توصيل أي مجموعة منتهية من النقاط لا تقع على خط واحد لتُشكِّل رؤوسًا لمضلَّع بسيط، بما في ذلك رؤوس ذات زوايا مستقيمة. أحد هذه المُضلَّعات مثلًا هو حل لمسألة البائع المُتجوِّل. تُسمَّى عملية توصيا النقاط لإنشاء مُضلَّع بهذه الطريقة .

علاوةً على ذلك، يُمكِن تحويل أي مجموعة جزئية مفتوحة بسيطة الارتباط من نقاط المستوي إلى قرص تحويلًا ممتثِلًا وفقًا . يُصف طريقة مباشرة لإنشاء تطبيق يحوِّل القرص إلى مضلع بسيط مُحدَّد بزوايا الرؤوس وسوابق رؤوس المضلع على حدود القرص، تُحَسَّب عادةً سوابق الرؤوس هذه عدديًّا.

وفي السياق ذاته، يصل بيان الرؤية لمضلع بسيط بين رؤوسه بوصلات تُمثِّل أضلاع المُضلَّع وأقطاره. يحوي بيان الرؤية دائمًا مسارًا هاملتونيًا تكوِّنه أضلاع المُضلَّع. إنشاء مضلع عُرِف بيان رؤيته، مع مسار هاملتوني يُمثِّل أضلاعه مسألة شديدة التعقيد حسابيًا، ما تزال مفتوحة لم تُحَل بعد.

وفي هذا السياق، يُمكن تمثيل أي مُضلَّع بسيط بصيغة في . تُنشئ هذه الصيغة المُضلَّع بصفته مجموعة مغلقة تشمل داخل المُضلَّع بعمليات الاجتماع والتقاطع لأنصاف المستويات. يمكن عرض أي مُضلَّع بهذا التمثيل في وقت هو .

التعريف والوصف

علاوةً على ذلك، المضلَّع البسيط منحنٍ مغلق في المستوي الإقليدي مُكوَّن من قطع مستقيمة متتابعة تتلاقى عند أطرافها مُشكِّلة . تلتقي قطعتان مستقيمتان فقط في كل نقطة تلاقي، ولا يتقاطع أي زوجين من القطع السلسلة المُضلَّعة بأي نقاطٍ أخرى. لا تملك أي مجموعة جزئية من مجموعة من السلسلة هذه الخواص. تُسقَط صفة (البسيط) في بعض الأحيان، ويُشار عندها لهذا المضلع بلفظة (المضلع) وحدها.

من جانب آخر، تُسمَّى القطع المستقيمة التي تُشكِّل المُضلَّع أضلاعًا، وتسمَّى نقاط التلاقي رؤوسًا. ويلزم الانتباه إلى عدم الخلط بين المصطلحات في السياقات التي تحوي بيانًا أو تُدرَس بنظرية البيان. عدد رؤوس المُضلَّع البسط مساوٍ لعدد أضلاعه، وتختلف المصادر في كيفية التعامل مع الزاوية المستقيمة (180°)، فبعضها يُجيز وجودها، في حين تلزم مصادر أخرى بالتعامل مع الضلعين اللذين يُشكلانها على أنها ضلع واحد.

وفي السياق ذاته، الزاوية الداخلية لرأس المضلع البسيط هي الزاوية الموجودة داخل المُضلَّع والمحددة بضلعين من أضلاعه يلتقيان برأس من رؤوسه. يُقال بأن الرأس مُحدَّب إذا كان قياس زاويته الداخلية أقل من (180°)، ويُقال أنه مُقعَّر إذا كان قياس زاويته الداخلية أكبر من . تُكمِّل الزاوية الخارجية لرأس المُضلَّع البسيط الزاوية الداخلية، أي إذا كان قياس الزاوية الداخلية لرأس ما فإن قياس الزاوية الخارجية لذلك الرأس ، وتكون موجبة القيمة في الرؤوس المُحدَّبة وسالبة القيمة في الرؤوس المُقعَّرة.

وفي هذا السياق، قَطر المُضلَّع البسيط أي قطعة مستقيمة تصل بين رأسين من رؤوسه بشرط أن تكون كلها داخل المُضَّلع. إذا كانت القطع خارج المُضلَّع، فُتسمَّى عندها قطرًا خارجيًا. يُوصَف أي رأسان بأنهما جاران إذا كانا طرفا ضلع في المُضلَّع. ويُسمَّى الرأس أُذنًا إذا كان له جاران يُشكِلان قطرًا فيه. ويُسمَّى الرأس فمًا إذا كان له جاران يُشكلان قطرًا خارجيًا فيه.

كذلك، يُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المضلع البسيط بأنه: (شكل مستوٍ يتألف من قطع مستقيمة غير متقاطعة تتصل فيما بينها مثنى لتكوين مسار مغلق). يُعرَّف المضلع البسيط بأنه منظومة من القطع المستقيمة، ويمكن كذلك تعريفه بلغة أقل صرامة بأنه مجموعة مغلقة ضمن المستوي تنتج عن اتحاد القطع المستقيمة مع المنطقة داخل المضلع.