مضلع منتظم
على سبيل التعريف، في الهندسة الإقليدية، المضلع المنتظم هو كل مضلع بسيط جميع زواياه متساوية في القياس. من الممكن أن يكون المضلع المنتظم محدباً أو نجمياً، النجمة الخماسية مثالا. وفيما يلي تفاصيل أوسع عن ذلك.
ومن ناحية أخرى، كون أضلاع متعدد أضلاع متساويةً في القياس لا يجعمل منه متعدد أضلاع منتظم، بل يجعل منه مضلعا متساوي الأضلاع. الصنفان مختلفان. المعين مثلًا، هو رباعي أضلاع متساوي الأضلاع وليس بمضلع منتظم.
خصائص عامة
إضافةً إلى ذلك، من الممكن إنشاء مضلع منتظم له n ضلع باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت عوامل عدد أضلاعه الفردية والأولية هي أعداد فيرما. انظر إلى مضلع قابل للإنشاء.
علاوةً على ذلك، جميع رؤوس المضلع المنتظم تقع على محيط دائرة تسمى دائرة محيطة. بتعبير آخر، إنهن تشتركن في دائرة. وبتعبير ثالث، المضلع المنتظم هو مضلع دائري.
قياس أي زاوية داخلية في مضلع منتظم ذي n ضلعاً هو:
للمضلع المنتظم عدد أضلاعه يساوي n تناظر دوراني من الرتبة .
وفي السياق ذاته، لكل مضلع منتظم دائرة محاطة داخله تمس مضلعاته في منتصفاتهن. المضلع المنتظم هو مضلع مماسي.
هذه الخصائص تنطبق على المضلعات المحدبة والنجمية:
التماثل
- انظر إلى زمرة التماثل.
- المضلعات المنتظمة المحدبة
- الزوايا
المضلعات القابلة للإنشاء
كذلك، بعض المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء بالمسطرة والفرجار بسهولة وبعضها غير قابل للإنشاء بالمسطرة والفرجار بتاتا، سباعي الأضلع مثالا.
- انظر كذلك
- مضلع قابل للإنشاء
- مجسم أفلاطوني
- مضلع لانهائي
- مضلع متساوي الأضلاع
- مراجع
من جانب آخر، في سنة 1796، برهن كارل فريدريش غاوس على قابلية إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه سبعة عشر. فيما بعد بخمس سنوات طور نظرية المعروفة باسم الدورة الغاوسية في كتابه استفسارات حسابية. هذه النظرية مكنته من إعطاء شرط كاف لقابلية الإنشاء وهو كما يلي:
إضافةً إلى ذلك، يكون مضلع منتظم عدد أضلاعه يساوي n قابلا للإنشاء بالفرجار والمسطرة إذا كان عدد أضلاعه هذا جداءا لقوة ما لاثنين من جهة وعدد معين من أعداد فيرما الأولية، مختلفةً عن بعضها البعض من جهة ثانية (بما في ذلك الحالة حيث يكون عددهن مساويا للصفر).
ومن جهة أخرى، علم علماء الرياضيات الإغريق كيفية إنشاء مضلعات منتظمة عدد أضلاعهن الثلاثة والأربعة والخمسة، كما علموا إنشاء مضلع منتظم عدد أضلاعه ضعف عدد أضلاع مضلع منتظم معلوم. أدى بهم ذلك إلى طرح السؤال التالي:
وعلى صعيد آخر، هل جميع المضلعات المنتظمة قابلة للإنشاء مهما كان عدد أضلاعهن ؟ وإذا كان الجواب بالنفي، فما هن المضلعات القابلة للإنشاء وما هن المضلعات غير ذلك ؟
كذلك، مثلًا الثاني، 8 هو قوة لاثنين من الدرجة الثالثة. هذا يجعل من ثماني أضلاع منتظم قابلا للاإنشاء بالمسطرة والبركار (الحالة حيث يكون عدد أعداد فيرما الأولية في الجداء المذكور أعلاه مساويا للصفر).
في هذا الإطار، مثلًا، 17 هو عدد أولي لفيرما، 1 هو قوة لاثنين من الدرجة الصفر. هذا جعل مضلعا منتظما عدد أضلاعه سبعة عشر قابلا للإنشاء.
الأقطار
المساحة
ومن جهة أخرى، من أجل n>2، عدد الأقطار هو ، يمكن رسم قطر من كل رأس، تقسم الأقطار من الرأس الواحد المضلع إلى مثلث.
📝 هل في هذه المقالة خطأ؟
إذا وجدت معلومة تحتاج تصحيحاً أو إضافة، أو أردت حذف المقالة، أرسل لنا طلباً وسنراجعه.
ما رأيك في هذه المقالة؟