مضلع نيوتن

التعريف

وفي السياق ذاته، طريقة أخرى، ربما تكون أكثر بديهية لعرض هذه العملية هي هذه : ضع في اعتبارك شريطًا مطاطيًا يحيط بجميع النقاط P 0،...، ف ن. شد الشريط لأعلى، بحيث يكون الشريط عالقًا على جانبه السفلي ببعض النقاط (تعمل النقاط مثل المسامير، مطرقة جزئيًا في المستوى xy). رؤوس مضلع نيوتن هي بالضبط تلك النقاط.

إذن فـ تُكوّن مجالًا محليًا بتقييم منفصل ما يعني:

من جانب آخر، بالنظر إلى كثير الحدود على حقل، فإن سلوك الجذور (بافتراض أن لها جذور) سيكون غير معروف. توفر مضلعات نيوتن تقنية واحدة لدراسة سلوك الجذور.

في هذا الإطار، مع . ثم مضلع نيوتن يُعرَّف بأنه الهيكل المحدب السفلي لمجموعة النقاط:

من جهة ثانية، للحصول على رسم تخطيطي أنيق لهذا، انظر الفصل 6 §3 من «الحقول المحلية» بقلم جي دابليو سي كاسيل، إل إم إس ستيودنت تيكست 3، كاب 1986. إنه موجود في الصفحة 99 من طبعة الغلاف الورقي لعام 1986.

ومن جهة أخرى، تجاهل النقاط مع . أعد صياغة هندسيًا، ارسم كل هذه النقاط P i على المستوى xy. لنفترض أن مؤشرات النقاط تزداد من اليسار إلى اليمين ( P 0 هي أقصى اليسار، P n هي أقصى نقطة في اليمين). لاحقًا، بدءًا من P 0، ارسم شعاعًا لأسفل بشكل موازٍ للمحور y، وقم بتدوير هذا الشعاع عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يصل إلى النقطة P k 1 (ليس بالضرورة P 1 ). كسر الشعاع هنا. الآن ارسم شعاعًا ثانيًا من P k 1 مباشرة لأسفل بالتوازي مع المحور y، وقم بتدوير هذا الشعاع عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يصل إلى النقطة P k 2. استمر حتى تصل العملية إلى النقطة P n ؛ المضلع الناتج (الذي يحتوي على النقاط P 0، P k 1، P k 2،...، P k m، P n ) هو مضلع نيوتن.

التطبيقات

وعلى صعيد آخر، أحيانًا يكون مضلع نيوتن حالة خاصة لمصطلحNewton Polytope، ويمكن استخدامه لبناء حلول مقاربة لمعادلات متعددة الحدود ذات متغيرين مثل

ومن جهة أخرى، تكون الأطوال المقابلة لأجزاء الخط المسقطة على المحور x (أي إذا كان لدينا مقطع خط يمتد بين النقاط و ثم الطول ). ثم لكل عدد صحيح و بالضبط الجذور مع التقييم .

من جهة ثانية، تكون منحدرات مقاطع خط نيوتن المضلع (على النحو المحدد أعلاه) مرتبة بترتيب تصاعدي، ما يعني:

يأتي تطبيق آخر لمضلع نيوتن من النتيجة التالية:

تاريخ

في هذا الإطار، تمت تسمية مضلعات نيوتن على اسم إسحاق نيوتن، الذي وصفها لأول مرة وبعض استخداماتها في المراسلات من عام 1676 الموجهة إلى هنري أولدنبورغ.

من حلول توسيع سلسلة الطاقة للمعادلات

ومن جهة أخرى، حيث P هي كثيرة الحدود مع معاملات في K [ X ]، الحلقة متعددة الحدود ؛ أي، وظائف جبرية محددة ضمنيًا. الأس r هنا هي أرقام منطقية معينة، اعتمادًا على الفرع المختار، والحلول نفسها هي السلسلة في:

P ( F ( X )) = 0

K Y

في هذا الإطار، بعد إدخال أرقام p-adic، تبين أن مضلع نيوتن مفيد بنفس القدر في مسائل التشعب للحقول المحلية، وبالتالي في نظرية الأعداد الجبرية. كانت مضلعات نيوتن مفيدة كذلك في دراسة المنحنيات الإهليلجية.

وفي السياق ذاته، مع Y = X 1 / d للمقام d المقابل للفرع. يعطي مضلع نيوتن منهجًا حسابيًا فعالًا لحساب d.

شرح الوظيفة المتماثلة

وفي هذا الصدد، في سياق التقييم، يتم إعطاؤنا معلومات معينة في شكل تقييمات للوظائف المتماثلة الأولية لجذور كثير الحدود، وتتطلب معلومات عن تقييمات الجذور الفعلية، في إغلاق جبري. هذا له جوانب كل من نظرية التشعب ونظرية التفرد. الاستدلالات الصحيحة الممكنة تتعلق بتقييم مبالغ القوة عن طريق متطابقات نيوتن.