معادلات لاوي

علاقتها مع قانون براغ

على إعتبار أن الحيود مرن ، تصبح صيغة شرط لاوي بالشكل:

إضافةً إلى ذلك، حيث أن هو عدد صحيح، ويلاحظ أن الناتج يساوي معادلة لاوي حيث أن ، تسمى هذه العلاقة بشرط لاوي، ويمكن إعادة كتابته كما يلي:

علاوةً على ذلك، إذا كان متجه شبيكة مقلوبة، يمكن من خلال تعريف متجهات الشبيكة المقلوبة الأساسية التعبير عنه بالشكل:

من جهة ثانية، شرط لاوي يمثل حفظ الزخم وهو حالة عامة جداً يدل على أن زخم البلورة يكون محفوظاً فقط عند متجه الشبيكة المقلوبة، بينما يدل شرط المرونة على حفظ طاقة الأشعة السينية وعدم إمتصاص البلورة لأي طاقة من الإشعاع.

علاوةً على ذلك، وبمعرفة أن ، و حيث أن (؛ الطول الموجي) و(؛ ثابت الشبيكة)، يمكن تعويضهم في المعادلة لينتج عنها قانون براغ للحيود، كما يلي:

وعلى صعيد آخر، تشكل المتجهات و و مع بعضها مثلث متساوي الساقين، يعني هذا أن الأشعة السينية الساقطة على هذا المستوي ستبدو وكأنها تعاني من إنعكاس بنفس زاوية السقوط لذا ستكون الزاوية بين المتجهان و هي .

وفي هذا الصدد، هندسياً المعادلة الناتجة تمثل مستو، حيث أن المتجه يمثل العمود على مجموعة من مستويات في الفضاء المقلوب تنعكس عندها حزمة الأشعة الساقطة يطلق عليها مستويات براغ (منطقة بريليون)، وهذا يعني وجود مجموعة أخرى من مستويات براغ مقابلة في الفضاء الحقيقي.

• انظر كذلك
• علم البلورات
• دراسة البلورات بالأشعة السينية
• نظام بلوري
• منطقة بريليون
• خلية ويغنر-سيتز
• علم المواد

المعادلات

علاوةً على ذلك، يمكن من خلال أنماط الحيود الناتجة عند إستقبال الأشعة الخارجة من البلورة معرفة شكل الشبيكة المقلوبة، وبتطبيق هذه المعادلات يمكن تحديد نوع النظام البلوري للشبيكة الحقيقية بالإعتماد على الشبيكة المقلوبة، يسمى هذا بدراسة البلورات بالأشعة السينية.

وفي السياق ذاته، الشروط الثلاثة الأساسية التي يكون فيها لمتجه الحيود قيمة هي ما تسمى بمعادلات لاوي:

إضافةً إلى ذلك، يطلق على الأعداد معاملات ميلر، ويجب أن تكون قيمها أعداداً صحيحة، كل قيمة من معاملات ميلر تحدد متجه حيود مختلف، مما يعني وجود مالا نهاية من متجهات الحيود التي تحقق معادلات لاوي، دمج هذه المتجهات معاً يعطي شكل الشبيكة المقلوبة لذلك النظام، وفق هذا الشرط فإن الحزمة المنفردة من الأشعة الساقطة على البلورة تحيد في عدد لا نهائي من الإتجاهات مع أن الحزم التي تحيد عند قيم عليا من معاملات ميلر تكون ضعيفة جداً ولايمكن رصدها.

علاوةً على ذلك، وليكن متجة يمثل الحزمة الإبتدائية الساقطة على البلورة، و متجه يمثل الحزمة الخارجة المحادة من البلورة، الفرق بين المتجهين يسمى متجه الحيود أو متجة انتقال الموجة .

وفي هذا الصدد، لتكن متجهات وحدة خلية أساسية للشبيكة البلورية ، والتي ذراتها تتموضع عند نقاط تعطى بالعلاقة التي تمثل سلسلة خطية لأعداد صحيحة من مضاعفات متجهات الخلية الأساسية.

الإشتقاق الرياضي

وفي هذا السياق، حيث أن عدد صحيح يكافئ ، هذا يثبت بأنه في حالة تحقق معادلات لاوي فإن الموجتان الساقطة والمحادة عن البلورة ستكونان في نفس الطور عند كافة نقاط الشبيكة، هذا يعني أن ذرات الشبيكة التي تهتز نتيجة سقوط حزمة الأشعة عليها، ستكون في الوقت نفسه مصدر يبعث حزم من أشعة نحو الخارج.

وفي هذا الصدد، الآن، يكفي فقط التأكد من أن تحقق متجهات وحدة الخلية الأساسية العلاقة الأخيرة لإثباتها، وذلك لأن لأي نقطة أخرى في الشبيكة متجة بمركبات مساوية لمضاعفات صحيحة من المتجهات الأساسية:

وفي هذا الصدد، يمكن التعبير عن حزمة الأشعة الساقطة والخارجة من البلورة بتعبير الموجات المستوية بالشكل التالي:

وفي هذا السياق، كلا الموجتان تنتشران في الفضاء بشكل مستقل، ما عدا عند نقاط الشبيكة حيث يحصل لهما حالة رنين مع إهتزازات الذرات، لهذا يجب أن يكون طورهما متوافق، مما يعني أن عند كل نقطة في الشبيكة يمكن إجراء مساواة للموجتين.

بعد التبسيط:

ولعدد صحيح يعتمد على موقع النقطة ، تصبح العلاقة: