معادلة موجية

موجة كرية ذات تردد معين

وفي السياق ذاته، يهتز مصدر نقطي بتردد معين f وطور موجة = 0 عند الزمن t = 0 حيث المسافة بين قمتين 2a (طول موجة). وتنتشر من تلك النقطة موجة كروية. سيتغير طور الوجة المنتشرة بالقيمة kr حيث r هي المسافة المقطوعة بعيدا عن المصدر. ويقل مطال الموجة طبقا لـ 1/r حيث أن الطاقة ستنخفض طبقا لـعلاقة r−2.

حل المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد

وفي هذا الصدد، هذه الموجة تنتشر في بعد واحد وهو المحور السيني x ، والحل العام لهذه المعادلة هو:

يمكن صياغة المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد كالآتي:

نفترض الحدود المبدئية للحل العام للدالة الموجية

• باختيار قيم الدالة عند الزمن = 0 :
• والقيمة المبدئية للمشتقة بالنسبة للزمن:
• ينتج عن تلك الحدود المبدئية الآتي:
• وبإجراء التكامل على المعادلة الثانية:
• وبحل المعادلة نحصل على:
• ويصبح حل المعادلة الموجية عند الحدود المبديئة المختارة هو:

وبذلك يبلغ مطال الموجة الكروية

• عند المسافة r :
• Re هو الشق الحقيقي من حل معادلة الموجة الكرية مع إهمال الشق التخيلي.
• المراجع
• انظر كذلك
• موجة راكدة
• معادلة شرودنغر
• سرعة الصوت

المعادلة الموجية في ثلاثة أبعاد

وعلى صعيد آخر، يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:

وهي تتكون من دالتين

• أو كدالات أسية مركبة:
• ويعتمد التردد:
• على القيمة المطلقة للعدد الموجي .
• يحتوي المطال المركب على طور الموجة .
• الحل بوضع قيم مبدئية

من جهة ثانية، و قابلتين للتفاضل مرتين. وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين. ويمكن كتابة تلك الدالتين و كدالات جيبية خطية:

المعادلة الموجية

سوف تختفي من المعادلة، حيث أنها تعتبر إذن مساوية للواحد .

إضافةً إلى ذلك، تسمى هذه المعادلة «معادلة دي لامبرت». وإذا استعملنا للزمن في المعادلة الموجية الضوئية (حيث c سرعة الضوء في الفراغ)، فإن

في هذا الإطار، وحل تلك المعادلة ينتج موجة. ونظرا لكون معاملات الدالة الموجية لا تعتمد على المكان ولا تعتمد على الزمن فإن انتشار الموجات كذلك لا يتغير من مكان إلى مكان أو مع الزمن. الموجات المتأخرة أو الموجات المنزاحة هي كذلك موجات ولكنها تكون منزاحة الطور.

وعلى صعيد آخر، كما توجد «معادلة موجية غير متجانسة» وهي تتكون من معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة:

إضافةً إلى ذلك، لدالة حقيقية أو دالة مركبة تعتمد على المكان والزمن، مثل تلك الدالة (النبضة) قد يكون مثلا التغير في مطال المجال الكهربائي أو مطال المجال المغناطيسي لموجة ضوئية.

تكتب المعادلة الموجية على الصورة:

تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة

وفي هذا الصدد، يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة ومشتقتها بالنسبة للزمن كانتا و عند ، نحصل على:

وفيها تعني:

إضافةً إلى ذلك، وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن

ويكون حلها العام على الصورة:

c في الاتجاه .

وعلى صعيد آخر، عند المكان على القيمة المبيدئية فقط للمكان والتي نصل بها إلى خلال الفترة الزمنية بسرعة الضوء .

من جهة ثانية، ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن للتبسيط):

وفي هذا السياق، القيمة المتوسطة للدالة وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة بنصف القطر . ويصبح:

في هذا الإطار، وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية.