ممتد متري

مقدمة

علاوةً على ذلك، إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.

وفي السياق ذاته، بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية ومُعرفة على مجموعة مفتوحة في مستوى-، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.

ومن جهة أخرى، اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: و و للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: و، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:

الطاقة والمبادئ المتغيرة والجيوديسية

من جهة ثانية، بالنظر إلى جزء من منحنى ما هناك كمية أخرى محددة بشكل متكرر وهي الطاقة الحركية للمنحنى:

إضافةً إلى ذلك، في كثير من الحالات، كلما دعت عملية حسابية إلى استخدام الطول يمكن إجراء حساب مماثل باستخدام الطاقة كذلك، وهذا غالبًا ما يؤدي إلى أبسط الصيغ عن طريق تجنب الحاجة إلى استخدام الجذر التربيعي، وبالتالي مثلًا يمكن الحصول على المعادلات الجيوديسية من خلال تطبيق مبادئ التغيير إما على الطول أو الطاقة، في الحالة الأخيرة يُنظر إلى المعادلات الجيوديسية على أنها تنشأ من مبدأ الفعل الأدنى، فهي تصف حركة «الجسم الحر» (يشعر الجسم بعدم وجود قوى تؤثر عليه) المقيد بالتحرك في المتشعب ولكنه يتحرك بحرية مع زخم ثابت داخل المتشعب.

وفي هذا الصدد، يأتي هذا الاستخدام من الفيزياء تحديداً الميكانيكا الكلاسيكية، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل على أنه يتوافق مباشرةً مع الطاقة الحركية لجسم نقطي يتحرك على سطح متشعب؛ لذلك مثلًا في صيغة ياكوبي لمبدأ موبرتويس يمكن ملاحظة الموتر المتري على أنه يتوافق مع كتلة الموتر للجسم المتحرك.

مركبات المتري

وعلى صعيد آخر، دلالة المصفوفة بواسطة وترتيب مُرَكِّبات المتجهين و في متجهات العمود و هو:

أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:

إضافةً إلى ذلك، حيث تشير T و T لمنقولة المتجهين: و على التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:

وفي السياق ذاته، لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار .

من جانب آخر، عدد من الاقترانات فإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها هي: إذا كان:

من جهة ثانية، تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارمن خلال:

إضافةً إلى ذلك، بالنسبة لمصفوفة عكسية رتبتها فإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار كذلك، وهذا هو:

وفي هذا السياق، متجهان عند ؛ فإن قيمة المتري المُطبق على و يُحدد بواسطة المعاملات عن طريق الثنائي الخطي:

طول وزاوية

للأعداد الحقيقية المناسبة وإذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:

• هذه دالة متماثلة في و، مما يعني أن:
• هو كذلك ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير وعلى حدة، يعني أن:
• لأي متجهات و و و في المستوى- وأي أعداد حقيقية و.
• على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس من خلال:
• وتُحسب الزاوية θ بين متجهين ومن خلال:

إضافةً إلى ذلك، تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار كذلك: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي بالصيغة التالية:

ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:

ومن ناحية أخرى، من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: و و و ، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات و وهي متجهات في المستوى-، وهذا يعني أن:

متري مستحث

في هذا الإطار، حيث هي متجهات الإحداثيات المعيارية في ℝn، وعندما يتم تطبيق على ينتقل المتجه إلى المتجه المماسي في المُعطى من خلال:

حيث هي المصفوفة اليعقوبية:

ومن ناحية أخرى، يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةتُعطى بواسطة:

من جهة ثانية، وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ على طول ، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: و ، يُعرف المتري المستحث عن طريق:

في هذا الإطار، لنجعل مجموعة مفتوحة في، وليكن دالة مستمرة قابلة للتفاضل من إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث ، تعيين يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في ، وصورة تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو ، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.

افترض أن متجه مماسي عند نقطة في ، ولنعتبر أن:

إضافةً إلى ذلك، افترض أن غُمر في متشعب فرعي ، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد هو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.

متري في حزمة متجه

من ضرب الألياف من إلى وهو ثنائي خطي في كل ليف:

وفي هذا الصدد، باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر .

من جهة ثانية، بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في حزمة متجه، فإذا كانت عبارة عن حزمة متجه على متشعب ؛ فإن المتري هو تعيين:

رفع وخفض المؤشرات

وعلى صعيد آخر، لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد عند تغيير القاعدة بواسطة مصفوفة غير أحادية ، تتغيير المعامِلات بالطريقة المذكورة في المعادلة حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:

في هذا الإطار، لذلك يتحول : بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field T بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك ، حيث أن:

ومن جهة أخرى، الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت :

• حيث، : دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:
• بتغيير القاعدة لمصفوفة غير أحادية ،يتحول عن طريق:
• يمكن توسيع أي اقتران خطي في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة :

يسمى خافض المُؤشِّر.

كذلك، بالتالي فإن الكمية لا تعتمد على اختيار القاعدة بشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في . العملية ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات، هي:

من جهة ثانية، لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة ؛ فإن متجه العمود:

كذلك، حيث تشير إلى متجه الصف ، والمُرَكِّبات تتحول عندما يتم استبدال القاعدة بـبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة صحيحة، هذا يعني:

يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:

من جانب آخر، في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي من خلال النموذج التالي:

بتغيير القاعدة يتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:

وفي السياق ذاته، يُسمح للإطار كذلك بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف أي أن:

كذلك، وبالتالي ، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية ، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات في الموضع العلوي.

علاوةً على ذلك، لمتجه المماس يحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند ، وتأخذ هذه العملية المتجه عند النقطة مُنتجةً متجه مشتركفي قاعدة حقول المتجهات إذا كان حقل المتجهات يمتلك مُرَكِّبات؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:

كذلك، ولأن يتبع ذلك a[f]A}، أي أن المُرَكِّبات تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لبشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لفي الموضع السفلي.

التحولات الإحداثية

في هذا الإطار، افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـ و الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: وفإن النظيرللمعادلة للمتغيرات الجديدة هو:

تربط قاعدة السلسلة ووب و و من خلال معادلة المصفوفة التالية:

وفي هذا السياق، حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: و و المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:

إضافةً إلى ذلك، المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:

ومع قانون التحويل يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.

تعريف

إضافةً إلى ذلك، غير منحل (غير منعدم): حيث أن الدالة الثنائية الخطية غير منحلة شرط أن تكون الدالة لكل متجه مماس هي:

إضافةً إلى ذلك، حُصِل عليها عن طريق بقاء ثابت والسماح لـ بالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل يوجد ، مثل .

هو اقتران ناعم ل.

وفي السياق ذاته، متماثل: تكون دالة الوسيطتين: المتجهتين متماثلة شرط أن تكون لكل المتجهات و؛ حيث أن:

ومن ناحية أخرى، لنجعل متشعبًا ناعمًا بُعده ، مثلًا سطح في حالة أو سطح فائق في الفضاء الديكارتي ؛ ففي كل نقطة هناك فضاء متجهي يسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة ، والموتر المتري عند هو دالة: التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس وعند كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:

من جانب آخر، حقل الموتر المتري في يُخصص لكل نقطة من موتر متري في مساحة المماس عند بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع ، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة من المتشعب وأي حقول متجهات ناعمة: و في ، فالاقتران الحقيقي:

وفي هذا السياق، خطي: تكون دالة الوسيطتين المتجهتين خطيتين إذا كانت خطية بشكل منفصل في: كل وسيطة، لذلك إذا كانت و و: هي ثلاث: مماسات لمتجهات عند ، و و: هي أعداد حقيقية، إذًا:

متري كجزء من حزمة

إضافةً إلى ذلك، بحيث يُنظر إلى كذلك كقسم من الحزمة لحزمة ظل التمام مع نفسها، ونظرًا لأن متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن موتر متماثل .

من جانب آخر، ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ من خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي ل متماثل إذاوفقط إذا:

• حيث أن:
• هي خريطة الشريط.
• نظرًا لأن ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:

في هذا الإطار، بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم لثنائي حزمة ضرب الموتر لـ مع نفسها:

يتم تعريف القسم على عناصر بسيطة من من خلال:

تماثل مماس ظل التمام

من جهة ثانية، على العكس من ذلك فإن أي تماثل خطي مُعرّفًا شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل على عن طريق:

أو عن طريق تماثل مزدوج ثنائي لجزء الضرب الموتر:

لجميع متجهات المماس و .

إضافةً إلى ذلك، لجميع المتجهات المشتركة: و، يؤدي مثل هذا التعيين المتماثل غير أحادي إلى ظهور الخريطة من خلال دالة الموتر-هوم (Hom):

المعكوس يعرّف التعيين الخطي على أنه:

وفي السياق ذاته، الدالة الخطية في التي ترسل متجهًا مماسيًا عند ل ، هذا هو من حيث الاقتران [- ، -] بين ومساحتها المزدوجة :

من جانب آخر، يعطي الموتر المتري تماثلًا طبيعيًا من حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام والتي تسمى أحيانًا التماثل الموسيقي، هذا التشابه حُصل عليه عن طريق الضبط، لكل متجه مماس :

من جانب آخر، لجميع المتجهات المماسية و و التعيين هو تحول خطي من إلى ، ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن الكيرنل ل يُخفض إلى الصفر، وبالتالي من خلال نظرية الرتبة-الصفرية؛ فإن هو تماثل خطي، علاوةً على ذلك عبارة عن تحول خطي متماثل بمعنى أن:

وهو غير أحادي ومتماثل بمعنى أن:

إضافةً إلى ذلك، نظرًا لأن يتغير في ، ويعرف قِسمًا من حزمة من تماثل حزمة متجه حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام، هذا القسم له نفس نعومة : إنه مستمر، أو قابل للتفاضل، أو ناعم، أو تحليلي حقيقي بحسب ـ ، تمثيل الذي يرتبط بكل حقل المتجهات الموجود على يعطي حقل المتجهات المشترك على صيغة مجردة لـ «خافض المؤشر» في حقل متجه، ومعكوس هو تعيين والذي بالقيياس يعطي صيغة مجردة لـ «رافع المؤشر» في حقل المتجهات المشترك.

إضافةً إلى ذلك، هذا الشكل الخطي متماثل إذا وفقط إذا كانت متماثلة، وبالتالي هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين الأشكال ثنائية الخطية المتماثلة فيوالتماثل الخطي المتماثل في للمزدوج .

ثبات طول القوس الخاضع لتحولات إحداثية

ولهذا نحصل على أن:

ومن جهة أخرى، لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: و و التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل و و، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:

قياس كنسي وشكل الحجم

وفي هذا الصدد، لجميع المدعومة في ، وهناهو محدد المصفوفة المكونة من مُرَكِّبات الموتر المتري في المخطط الإحداثي، و محدد جيد للاقترانات المدعومة في منطقة الإحداثيات مُسوغ من خلال التغيير الياكوبي للمتغيرات، ويمتد إلى دالة خطية موجبة فريدة في بواسطة وسائل تقسيم الوحدة.

ومن ناحية أخرى، إذا كان موجه كذلك فمن الممكن تحديد شكل الحجم الطبيعي من الموتر المتري، ففي نظام إحداثيات موجه موجب فإن نموذج الحجم يُمثل مثل التالي:

ومن جهة أخرى، حيث هي الإحداثية التفاضلية، وتشير إلى الضرب الخارجي في جبر الأشكال التفاضلية، ويعطي شكل الحجم كذلك طريقة لتكامل الاقترانات الموجودة في المشعب، وهذا التكامل الهندسي يتوافق مع التكامل الذي حُصل عليه بواسطة مقياس بوريل الكنسي.

أمثلة

من جهة ثانية، يمكن تعريف المتري من خلال نظرية ريسز التمثيلية، ومن خلال إعطاء دالة خطية موجبة في الفضاء لاقتران مستمر مدعوم مختصر في ، بتعبيرٍ أدق إذا كان مشعب مع موتر متري ريماني زائف فهناك مقياس بوريل موجب فريد مثل أي مخطط إحداثي فإن:

إضافةً إلى ذلك، بالتشابه مع حالة الأسطح فإن الموتر المتري على متشعب باراكومباكت ذو أبعاد عدد يعطي ظهور لطريقة طبيعية لقياس حجم الأبعاد لمجموعات فرعية من المتشعب، ويسمح مقياس بورل الطبيعي الناتج لتطوير نظرية الاقترانات المُكامَلة في المشعب عن طريق الوسائل المرتبطة بتكامل لوبيغ.

متري معكوس

ومن جهة أخرى، يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة ، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار بواسطة مصفوفة من خلال الآتي:

ومن جهة أخرى، التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة إلا أنه لا يعتمد فعليًا على بطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى يعطي:

في هذا الإطار، حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة لا يتأثر بتغيير القاعدة إلى أي قاعدة أخرى على الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة بواسطة ، حيث تم رفع المؤشرين و للإشارة إلى قانون التحول .

هي دالة ناعمة لـ لأي حقل متجهات ناعم .

علاوةً على ذلك، يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفة ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.

• يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:
• وبتغيير بواسطة مصفوفة ؛ فإن تتغير حسب القاعدة الآتية:
• وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات يتحول إلى متجه متغير.

من جانب آخر، لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن هو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة هناك تحدد اقتران مُعرف على متجهات مماسية عند بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية و وجميع الأعداد الحقيقية و:

وعلى صعيد آخر، بالنسبة للزوج و في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:

مع اختلاف يُفترض أن تكون دالة ناعمة بمعنى أن:

علاوةً على ذلك، أي حقل متجهات مشترك له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات ، حيث يُحددوا من خلال التالي:

من جهة ثانية، لنفترض أن قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:

طول القوس وعنصر الخط

وفي هذا الصدد، بالنسبة للريماني المتري الزائف لا يتم تعريف معادلة الطول أعلاه دائمًا؛ لأن الحد تحت الجذر التربيعي قد يصبح سالبًا، وبشكلٍ عام نحن فقط نحدد طول المنحنى عندما تكون الكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي علامة واحدة أو أخرى دائمًا، ففي هذه الحالة يُحدد بواسطة:

إضافةً إلى ذلك، افترض أن ريماني متري في ، وفي نظام إحداثيات محلي أن: ، فيظهر موتر متري كمصفوفة يُشار إليها هنا بواسطة التي تكون مدخلاتها هي المُرَكِّبات للموتر المتري بالنسبة لحقول المتجهات الإحداثية.

فيما يتعلق بهذا التطبيق الهندسي هو الشكل التفاضلي التربيعي:

وعلى صعيد آخر، لنفترض أن منحنى حدودي قابل للتفاضل متعدد المتغيرات في ل، يُحدد طول القوس من خلال:

كذلك، لاحظ أنه بينما تستعمل هذه الصيغ التعبيرات الإحداثية إلا أنها في الواقع مستقلة عن الإحداثيات المُختارة؛ حيث تعتمد هذه الصيغ فقط على المتري والمنحنى على طول الصيغ المُكاملة.

وفي هذا السياق، يسمى الشكل الأساسي الأول المرتبط بالمتري، وبينما هو عنصر الخط، فإنه عندما تُسحب مرةً أخرى إلى صورة المنحنى في فهي تمثل مربع التفاضل بالنسبة لطول القوس.

شكل مميز للمتري

علاوةً على ذلك، إذا كان رباعي الأبعاد مع الشكل أو ، فإن المتري يسمى لورنتزيان، وبشكلٍ عام الموتر المتري في البعد يمتلك 4 أشكال هي: أو تسمى أحيانًا لورنتزيان.

ومن ناحية أخرى، يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:

وفي السياق ذاته، إذا كان موجب لجميع غير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند ، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل ؛ فإن يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية لها شكل مميز ثابت مستقل عن ؛ فإن شكل المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف، أما إذا كان متصل؛ فإن شكل المميز لا يعتمد على .

ومن ناحية أخرى، بالنسبة لبعض النقاط بين 1 و، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـ عند نفس النقطة في سيكون لهما نفس العدد من الإشارات الموجبة، وشكل هوزوج من الأعداد الصحيحة ، مما يدل على أن هناك من الإشارات الموجبة و سلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: إذا كانت المصفوفة للمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: الموجبة و السلبية.

وفي هذا السياق، بحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:

من جانب آخر، إذا كانت ثنائية الأبعاد و لها الشكل ، فإن المتري يسمى زائدي.

وفي السياق ذاته، إذا كان له الشكل ؛ فإن هي ريماني متري، وتسمى متشعب ريماني، خلاف ذلك ( ليس لها توقيع) فإن هو متري ريماني زائف و يسمى متشعب ريماني زائف أو شبه ريماني.

بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:

مساحة

حيث: هي المُحَدِّد.

علاوةً على ذلك، حيث تشير إلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:

وفي هذا الصدد، مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح حُددت عوامله بواسطة الدالة على المجال في المستوى-؛ فإن مساحة السطح تُعطى من خلال التكامل الآتي:

متري إقليدي

وفي هذا السياق، يمكن كتابة المتري الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي:

طول المنحنى يُختصر للصيغة التالية:

وفي السياق ذاته، المثال الأكثر شيوعًا في الهندسة الإقليدية الأولية هو الموتر الإقليدي ثنائي الأبعاد، ففي الإحداثيات المعتادة يمكننا كتابة:

كذلك، بشكل عام في نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء الإقليدي، والمشتقات الجزئية متعامدة بالنسبة للإقليدي المتري؛ لذلك فإن الموتر المتري هو دلتا كرونكر δij في نظام الإحداثيات هذا. الموتر المتري بالنسبة للإحداثيات التقريبية ربما تكون منحنية تُعطى بواسطة:

• في الإحداثيات القطبية :
• لذلك:
• عن طريق المطابقات المثلثية.

التعريفات الجوهرية للمتري

وفي السياق ذاته، الارتباط في يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.

من جانب آخر، من ضرب الألياف للحزمة المماسية في مع نفسها في بحيث يكون تقييد لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:

من جانب آخر، يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:

متري في الإحداثيات

• المتري يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:
• بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:
• الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:
• هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي عن طريق قاعدة السلسلة:
• لهذا فإن:
• أو من ناحية المصفوفات: و:
• حيث يشير إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.

وفي السياق ذاته، نظام عدد من الاقترانات ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة في ، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في :

المتري الدائري في الكرة

عادةً تُكتب على هذا النموذج:

وفي هذا السياق، كرة الوحدة في تأتي مزودةً بمقياس طبيعي ناتج من المتري الإقليدي المحيط من خلال العملية الموضحة في قسم المتري المستحث، في الإحداثيات الكروية القياسية مع الخطية، والزاوية المقاسة من المحور z ، والزاوية المقاسة من المحور في المستوى ؛ فإن المتري يأخذ الشكل:

لورنتزيان المتري في النسبية

وفي السياق ذاته، مصفوفة شوارزشيلد يصف الزمكان حول جسم كروي متماثل ككوكب أو ثقب أسود مع الإحداثيات التالية:

في هذه الحالة تُكتب فترة الزمكان بالشكل التالي:

في فضاء مينكوفسكي المسطح في النسبية الخاصة ومع الإحداثيات:

وفي هذا الصدد، بالنسبة لمنحنى مع إحداثيات زمنية ثابتة مثلًا؛ فإن صيغة الطول لهذا المتري تُقلل إلى صيغة الطول المعتادة، حيث أنه لمثل منحنى الوقت صيغة الطول تُعطي الزمن المناسب على طول المنحنى.

اعتمادًا على اختيار شكل متري فإن المتري هو:

يمكننا كتابة المتري كـالآتي:

• انظر كذلك
• مقدمة لرياضيات النسبية العامة
• حساب ريتشي
• ملاحظات

وفي السياق ذاته، حيث داخل المصفوفة: هو ثابت الجاذبية ويمثل إجمالي محتوى الطاقة والكتلة للجسم المركزي.

طول القوس

حيث أن:

وفي السياق ذاته، إذا أُخذ المتغيرين و للاعتماد على متغير ثالث هو مع أخذ القيم في الفترة ؛ فإن سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي ، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:

المُكامل هو الحصر لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:

من جانب آخر، حيث أن يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:

من جانب آخر، باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:

ومن ناحية أخرى، الكمية في تُسمى عنصر الخط، بينما تُسمى الشكل الأساسي الأول لـ، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له عندما ازدادت بوحدات ، وازدادت بوحدات .