منطق رياضي

تشير إلى فئة كل متوازيات الأضلاع C

• A وهي مجموعة جزئية من B مجموعة جزئية من C
• وكثيرا ما نصادف مناقشة صالحة وتكون النتيجة غير صالحة مثل:
• حلب في محافظة الجيزة
• محافظة الجيزة في مصر

3-

• نبرهن:
• بواسطة جداول الحقيقة التابعة لـ و
• الجدولان متساويان لذلك العبارتان متكافئتان

المتمم والنفي

متمم الجزء A, هو الجزء B الذي عناصره لا تنتمي إلى A.

علق حاتم على هذه فقال:

9 = 3 غير صحيح

من جهة ثانية، وفي الرياضيات نستعمل هذا النوع من المناقشات للوصول إلى صحة بعض النظريات، خذ مثلا طريقة إثبات أن المماس للدائرة يكون عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس، فنحن نبدأ البرهان بفرض أن المماس ليس عموديا على نصف القطر وبالسير بالمناقشة الصحيحة نأتي إلى أن المماس يقطع الدائرة في نقطتين وبما أن النتيجة تتعارض مع تعريف المماس، ينتج أن الفرض الأساسي ليس صحيحا ويكون المماس عموديا على نصف القطر المار بنقطة التماس.

عناصر المنطق

وبجمع المعادلتين يكن الناتج 10 = 10 وهي نتيجة صحيحة.

(A): تعني محمد مجتهد

• (B): تعني محمد طالب خلوق فإن:
• (A Λ B) قضية تعني: محمد طالب مجتهد ومحمد طالب خلوق.
• و القضية (AѴB) تعني محمد طالب مجتهد أو محمد طالب خلوق.
• وتستعمل (أو) باستعمالين متمايزين:
• أو الشاملة، أو الطاردة وذلك يتضح من الشكلين الآتيين:

5*9=45

علاوةً على ذلك، من الممكن دراسة هذه العبارات من وجهات نظر مختلفة، مثلا المتغيرات تأخد قيما متعددة نرمز لها عادة بـ" X "، أو «س» بالعربية. كما يمكن دراسة صحة أو خطأ العبارة.

القضايا المركبة

ومن جهة أخرى، تسمى كل من الحروف الآتية بأدوات الربط: (و) == Λ ، (أو) == Ѵ ، (لا النافية) == ~ ويمكن أن نوضح ونبين قضايا جديدة من فئة معطاة من القضايا بواسطة أدوات الربط فمثلا إذا كانت القضية (محمد طالب مجتهد) يرمز لها بالرمز (A) فإن القضية (~A) تشير إلى أن محمد ليس مجتهدا.

النفي

ومن ناحية أخرى، نفي العبارة P هو عبارة صحيحة إذا كانت P خاطئة، وخاطئة إذا كانت P صحيحة. ونرمز لنفي P ب .

مجموع زوايا المثلث 180 ْ

• من أمثلة الجمل التي لا تكون قضايا الجمل التي تيدأ
• أستفهام – سؤال – تعجب – نداء – طلب...
• بصورة عامة كل الجمل التي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ
• مثل:
• ما أجمل السماء !
• كم الساعة؟

ومن جهة أخرى، ليس من الضروري أن تكون الجملة صحيحة جًمل ليست منطقية [الجمل الاسمية] والتي لا يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ

إذن حلب في مصر

• هذه المناقشة صالحة ولكن النتيجة غير صادقة كون الفرض الأول غير صحيح.
• وقد تكون الفرضيتان غير صحيحتين والنتيجة صادقة مثل:
• 1 = 7 غير صحيح

جملة

الجملة في مجموعة حروف ورموز لها معنى، مثال:

2+3=5

تطبيق على نظرية المجموعات

هناك علاقة بين نظرية المجموعات والمنطق.

الاتحاد والفصل

وعلى صعيد آخر، اتحاد المجموعتين A و B, هي المجموعة C التي عناصرها تنتمي إلى أحد المجموعتين، والتي نرمز لها ب: .

خاصيات عطف التقاطع والاتحاد في مجموعة الأجزاء

x من C يكافئ: x من A أو x من B.

الاستلزام والتضمن

و نكتب:

إضافةً إلى ذلك، نقول أن المجموعة A ضمن المجموعة E, يكافئ أن كل عنصر x من A, يستلزم أن xينتمي إلى E.

وفي السياق ذاته، نسمي جزء A(أو مجموعة صغرى) لمجموعة E كل عناصر المجموعة A التي تنتمي إلى E.

مجموعة الأجزاء ويكتب المنطق ب7888

المتممة أمر نسبي

• قبل أن نتكلم عن متممة مجموعة نحتاج إلى أن نتفق على ما يسمى «المجموعة الشاملة»
• مثال
• إذا كانت

المجموعة الشاملة = ش

• ش = { 1،9، 5، 3، 2 }
• أ = { 1، 9 }
• متمم أ هو ب

المنطق الرياضي والبرمجة

وفي هذا الصدد، يفيد فهم المنطق الرياضي في إجراء عمليات البرمجة المعقدة والتي تحوي الجمل الشرطية المتداخلة اللازمة لتحقيق هدف معين أو حل مشكلة محددة بواسطة البرنامج.

انظر كذلك

المكممات والروابط المنطقية

مع E مجموعة تتضمن الخاصية A.

عندما يكون هناك وجوديات، النفي يعبر عنه ب:

التساوي والتكافؤ

إضافةً إلى ذلك، المجموعة A تساوي المجموعة B, تكافئ لكل x من x :E من A يكافئ x من B.

التقاطع والعطف

x من C يكافئ: x من A و x من B.

علاوةً على ذلك، تقاطع المجموعتين A و B, هي مجموعة العناصر المشتركة C, التي نرمز لها ب: .

نرمز للكونية بالرمز

.

مجموعة الأجزاء

كل مجموعة لها عدة أجزاء، وهذه الأجزاء تكون مجموعة الأجزاء.

القوانين المنطقية

علاوةً على ذلك، القوانين المنطقية عبارة عن جمل مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بروابط منطقية وتكون دائما صحيحة بغض النظر عن صحة أو خطأ العبارات المكونة لها.

وفي هذا الصدد، المثالين الأخيرين، يعرفان بقوانين دي مورغان [De Morgan's laws].

أمثلة:

دوال العبارة

ومن جهة أخرى، بالنسبة للعبارة: «x عدد صحيح طبيعي، x+3=10.» نحصل على دالة من إلى بحيث:

وفي السياق ذاته، دالة العبارة، هي تطبيق من مجموعة قيم المتغيرات نحو مجموعة مكونة من العنصرين صحيح وخطأ.

مثال:

التكافؤ

علاوةً على ذلك، تكافؤ العبارتين و هو , ونرمز له ب: ويكون صحيحا إذا كانت P و Q خاطئتين أو صحيحتين معا

العطف

كذلك، عطف العبارتين p و Q يكون صحيحا فقط إذا كانت العبارتان معا صحيحتين. ونرمز له ب

المنطق الرياضي والدوائر الكهربية

وفي هذا الصدد، بمكن تحويل كل جمل المنطق الرياضي إلى دوائر كهربية تستعمل في الحاسب الآلي لإجراء العمليات الحسابية والمنطقية ويمكن الاطلاع على تفاصيل ذلك هنا لمزيد من المعلومات.

القضية المنطقية { تعريف}

• هي جملة خبرية مفيدة يحتمل معناها الصواب أو الخطأ وليس كلاهما
• من أمثلة الجمل التي تكون قضايا
• 2+3=5
• صنعاء عاصمة اليمن

الفصل

في هذا الإطار، فصل العبارتين p أو Q يكون صحيحا فقط إذا كانت إحدى العبارتين صحيحة أو كلاهما ونرمز له ب

المكممات

• هناك نوعان وجودية وكونية.
• الوجودية تعني وجود عناصر تحقق عبارة ما، مثل يوجد x من بحيث:
• نرمز للوجودية بالرمز .

ومن جهة أخرى، الكونية تعني أن عبارة ما تكون دائما صحيحة مهما تغيرت قيمة المتغير، مثل مهما كانت قيمة x من لدينا

أو الشاملة أو المانعة

تشير إلى فئة كل المربعات A

في هذا الإطار، وهذا مثال بسيط يتضح منه انه إذا كانت النتيجة تتبع بالضرورة المقدمات المعطاة فنقول عندئذٍ إن المناقشة صالحة.

كذلك، وباختصار شديد نقول إن المناقشة 1، 2، 3 لها القيمة (ص) (أي صادقة) ومثل هذه المناقشة يمكن أن توضح بأشكال فن حيث:

من جانب آخر، إن دراسة الفئات ذات فائدة كبيرة في كافة فروع الرياضيات وسوف نرى الآن تطبيقات هذه الدراسة في البراهين المنطقية وسوف نبدأ بملاحظة مدى فائدة قوانين الفئات وفائدة اشكال فن في تحليل البرهان أو تتبع خطوات مناقشة وانتبع ما يلي:

• كل مربع مستطيل..... (1)
• كل مستطيل متوازي أضلاع.... (2)
• كل مربع متوازي أضلاع...... (3)
• الصيغتان 1، 2 تسميان مقدمتان أو فروضا والصيغة 3 تسمى نتيجة

تشير إلى فئة كل المستطيلات B

الفرق

الفرق المتماثل

ومن ناحية أخرى، ِA-B هي المجموعة التي تحوي كل العناصر التي تنتمي لـ A ولا تنتمي لـ B

عبارة

علاوةً على ذلك، نسمي عبارة كل نص رياضي له معنى ويكون إما صحيحا وإما خاطئا أما الدالة العبرية (خاصية لمتغير) فهي كل نص رياضي له معنى ويحتوي على متغير ويصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بقيمة معينة

تصبح إذا أمكن معرفة صحة أو خطأ العبارة

جًمل منطقية [الجمل الفعلية مفيدة]

يمكن الحكم عليها بالصح أوالخطأ وليس كلاهما

تطبيق في البرهنة الرياضية

• برهنة:
• لكي نبرهن تساوي بين مجموعتين A و B يجب أن نبرهن لكل عنصر x:
• x ينتمي لـ A إذا وفقط إذا x ينتمي لـ B
• في هذه الحالة علينا أن نبرهن:
• برهان:
• شرح الخطوات:
• 1 و4- حسب تعريف التقاطع
• 2 و5- حسب تعريف الاتحاد

الاستلزام

• تكون العبارة P تستلزم Q، خاطئة فقط إذا كانت P صحيحة و Q خاطئة.
• و نرمز لها ب:
• وهي تكافئ العبارة: .

ب = { 5، 3، 2 }

لا حظ عناصر ب لا تنتمي إلى أ

x ينتمي إلى A, يكافئ x لا ينتمي إلى B.