نسبة ذهبية

الكتب والتصميم

علاوةً على ذلك، بحسب ـ جان تشيتشولد، كان هناك وقت كانت فيه الانحرافات عن نسب الصفحات الجميلة حقًا 2: 3، 1: 3، والقسم الذهبي كانت نادرة. تظهر الكثير من الكتب التي تم إنتاجها بين عامي 1550 و 1770 هذه النسب بالضبط، في حدود نصف ملليمتر.

علاوةً على ذلك، وبحسب بعض المصادر، يتم استخدام النسبة الذهبية في التصميم اليومي، مثلًا في نسب أوراق اللعب، والبطاقات البريدية، والملصقات، ولوحات الإضاءة، وأجهزة التلفزيون ذات الشاشة العريضة.

هندسة معمارية

وفي السياق ذاته، أسس مهندس معماري سويسري آخر، ماريو بوتا، الكثير من تصميماته على أشكال هندسية. تتكون الكثير من المنازل الخاصة التي صممها في سويسرا من مربعات ودوائر ومكعبات وأسطوانات. في المنزل الذي صممه في اوريجليو، النسبة الذهبية هي النسبة بين القسم المركزي والأقسام الجانبية للمنزل.

من جهة ثانية، استعمل لو كوربوزييه صراحة النسبة الذهبية في نظام المودولور الخاص به لمقياس النسبة المعمارية. لقد رأى هذا النظام باعتباره استمرارًا للتقليد الطويل لفيتروفيوس، و «فيتروفيان مان» لليوناردو دافنشي، وعمل ليون باتيستا ألبيرتي، وغيرهم ممن استعملوا نسب جسم الإنسان لتحسين مظهر ووظيفة العمارة.

وفي هذا السياق، ركز المهندس المعماري السويسري لو كوربوزييه، المشهور بإسهاماته في الأسلوب الدولي الحديث، فلسفته في التصميم على أنظمة التناغم والتناسب. ارتبط إيمان لو كوربوزييه بالترتيب الرياضي للكون ارتباطًا وثيقًا بالنسبة الذهبية وسلسلة فيبوناتشي، التي وصفها بأنها «إيقاعات واضحة للعين وواضحة في علاقاتها مع بعضها البعض. وهذه الإيقاعات هي أصل الأنشطة البشرية. إنهم يترددون في الإنسان بحتمية عضوية، نفس الحتمية الدقيقة التي تسبب اقتفاء أثر القسم الذهبي من قبل الأطفال والشيوخ والمتوحشين والمتعلمين.»

إضافةً إلى ذلك، إلى جانب النسبة الذهبية، بنى لو كوربوزييه النظام على القياسات البشرية وأرقام فيبوناتشي والوحدة المزدوجة. لقد أخذ اقتراح النسبة الذهبية في النسب البشرية إلى أقصى الحدود: لقد قسّم نموذجه لجسم الإنسان عند السرة مع قسمين في نسبة ذهبية، ثم قسّم هذه المقاطع بنسبة ذهبية عند الركبتين والحلق؛ استعمل نسب النسبة الذهبية هذه في نظام المودولور. مثال على فيلا شتاين لو كوربوزييه عام 1927 في Garches تطبيق نظام المودولور. المخطط الأرضي المستطيل للفيلا والارتفاع والبنية الداخلية قريبة من المستطيلات الذهبية.

ومن جهة أخرى، كشف تحليل هندسي أجري عام 2004 لبحث سابق في الجامع الكبير بالقيروان (670) عن تطبيق النسبة الذهبية في كثير من التصميم. ووجدوا نسبًا قريبة من النسبة الذهبية في الشكل العام وفي أبعاد مكان الصلاة والفناء والمئذنة. ومع ذلك، فإن المناطق ذات النسب القريبة من النسبة الذهبية لم تكن جزءًا من الخطة الأصلية، ومن المحتمل أنها تمت إضافتها في إعادة الإعمار.

ومن جهة أخرى، تم التكهن باستخدام النسبة الذهبية من قبل مصممي ساحة نقش جهان (1629) ومسجد لطف الله المجاور.

الفن الحديث

من جهة ثانية، قيل إن بيت موندريان استعمل القسم الذهبي على نطاق واسع في لوحاته الهندسية، الرغم من أن خبراء آخرين (بما في ذلك الناقد إيف-آلان بوا) فقدوا مصداقية هذه الادعاءات.

في هذا الإطار، القسم الذهبي (القسم الذهبي) كان عبارة عن مجموعة من الرسامين والنحاتين والشعراء والنقاد المرتبطين بالتكعيبية والأورفية. نشط من عام 1911 إلى نحو عام 1914، واعتمدوا الاسم على حد سواء لتسليط الضوء على أن التكعيبية تمثل استمرارًا لتقليد كبير، بدلاً من كونها حركة معزولة، وتكريمًا للتناغم الرياضي المرتبط بجورج سورات. لاحظ التكعيبيون في تناغمها، والهيكلة الهندسية للحركة والشكل، وأولوية الفكرة على الطبيعة، والوضوح العلمي المطلق للتصور. ومع ذلك، على الرغم من هذا الاهتمام العام بالانسجام الرياضي، يصعب تحديد ما إذا كانت اللوحات المعروضة في معرض Salon de la Section d'Or الشهير عام 1912 تستعمل النسبة الذهبية في أي تراكيب. ليفيو، مثلًا، تدعي أنهم لم يفعلوا ذلك، ومارسيل دوشامب قال ذلك في مقابلة. من ناحية أخرى، يشير أحد التحليلات إلى أن خوان جريس استفاد من النسبة الذهبية في تأليف الأعمال التي كان من المحتمل، ولكن ليس بشكل قاطع، عرضها في المعرض. جادل مؤرخ الفن دانييل روبينز أنه إلى جانب الإشارة إلى المصطلح الرياضي، يشير اسم المعرض كذلك إلى مجموعة Bandeaux d'Or السابقة، التي شارك فيها ألبرت جليز وأعضاء سابقون آخرون في Abbaye de Créteil (باي دي كريتيل.)

• انظر كذلك
• متتالية فيبوناتشي
• زاوية ذهبية
• ليوناردو فيبوناتشي
• متوسط ذهبي
• ملاحظات
• مراجع

بدلا من ذلك، يمكن التعبير عنها كـ

• يوضح هذا الخاصية الفريدة للنسبة الذهبية بين الأرقام الموجبة، أي
• أو معكوسه:
• هذا يعني 0.61803 ...: 1 = 1: 1.61803. . . .

مثلث تشكل جوانبه تدرجًا هندسيًا

من جانب آخر، إذا كانت أطوال أضلاع المثلث تشكل تقدمًا هندسيًا وكانت في النسبة 1 : ص: ص 2، حيث r هي نسبة المشتركة، ثم ص يجب أن تكمن في φ مجموعة -1 <ص φ والتي هي نتيجة ل عدم المساواة مثلث (مجموع أي الجانبين من مثلث يجب أن تكون أكبر بدقة من طول الضلع الثالث). إذا ص = φ ثم الجانبين أقصر هي 1 و φ لكن مجموعهما هو φ 2، وبالتالي ص φ تظهر عملية حسابية مماثلة أن r > φ −1. مثلث أضلاعه في النسبة 1 : : φ هو مثلث قائم الزاوية (لأن 1 + φ = φ 2) يُعرف بمثلث كبلر.

أشكال بديلة

ومن جهة أخرى، تتوافق هذه مع حقيقة أن طول قطر الخماسي المنتظم يساوي ضعف طول ضلعها، وعلاقات مماثلة في الخماسي.

• المعادلة 2 = 1 + تنتج كذلك من استمرار الجذر التربيعي :
• يمكن اشتقاق سلسلة لا نهائية للتعبير عن φ :
• كذلك:

من جهة ثانية، تقاربات هذه الكسور المستمرة (1/1، 2/1، 3/2، 5/3، 8/5، 13/8... أو 1/1، 1/2، 2/3، 3 / 5، 5/8، 8/13...) هي نسب لأرقام فيبوناتشي المتتالية.

ومتبادله:

وفي هذا السياق، صيغة = 1 + 1 / يمكن توسيعها بشكل متكرر للحصول على جزء المستمر للالنسبة الذهبية:

قيمتها العددية

إضافةً إلى ذلك، و بقسمة كل عنصر على سابقه (بداية من الـ1 الثاني)، نقترب شيئا فشيئاً من الرقم الذهبي

من جهة ثانية، و في النهاية، يمكننا اعتماد هذا الكسر المستمر لإيجاد قيمة قريبة من قيمة φ:

في هذا الإطار، وأول رقمين في هذه السلسلة هما 1. ولإيجاد مختلف عناصرها، نجمع العنصرين السابقين. فنحصل بالتالي على السلسلة التالية :

من جانب آخر، ويمكننا كذلك اعتماد متوالية أو «سلسلة فيبوناتشي» للاقتراب من الرقم الذهبي، وقد تم وضع هذه المتوالية في العصر الوسيط على يد عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو دا بيزّا (نسبة إلى بيزّا المدينة الإيطالية) المسمّى «فيبوناتشي»، لدراسة تكاثر الأرانب.

من جهة ثانية، قيمة الرقم الذهبي الدقيقة هي كما يمكن إثبات أنّ قيمتها كذلك ولإيجاد قيمة تقريبية لهذا الرقم يمكننا استعمال آلة حاسبة. قيمة التقريبية هي 1.618 ولكن عدد الأرقام العشرية لا متناهية ولا يمكن توقّعها أو التكهن بها.

الملاحظات المتنازع عليها

إضافةً إلى ذلك، دراسات علماء النفس، بدءًا من Gustav Fechner c. تم ابتكار 1876، لاختبار فكرة أن النسبة الذهبية تلعب دورًا في إدراك الإنسان للجمال. بينما وجد Fechner تفضيلًا لنسب المستطيل التي تركز على النسبة الذهبية، كانت المحاولات اللاحقة لاختبار هذه الفرضية بعناية، في أحسن الأحوال، غير حاسمة.

وفي السياق ذاته، يقول المؤرخ جون مان إن كلاً من الصفحات ومنطقة النص في إنجيل جوتنبرج «كانت تستند إلى شكل القسم الذهبي». ومع ذلك، بحسب القياسات الخاصة به، فإن نسبة ارتفاع الصفحات إلى عرضها هي 1.45.

من جانب آخر، في الاستثمار، يستعمل بعض الممارسين في التحليل الفني النسبة الذهبية للإشارة إلى دعم مستوى السعر، أو مقاومة ارتفاع أسعار الأسهم أو السلع ؛ بعد التغيرات الكبيرة في الأسعار صعودًا أو هبوطًا، من المفترض أن يتم العثور على مستويات دعم ومقاومة جديدة عند أو بالقرب من الأسعار المتعلقة بسعر البداية عبر النسبة الذهبية. يرتبط استخدام النسبة الذهبية في الاستثمار كذلك بأنماط أكثر تعقيدًا موصوفة بأرقام فيبوناتشي (مثلًا مبدأ موجة إليوت وتصحيح فيبوناتشي). ومع ذلك، فقد نشر محللو السوق الآخرون تحليلات تشير إلى أن هذه النسب المئوية والأنماط لا تدعمها البيانات.

إضافةً إلى ذلك، غالبًا ما يُزعم أن بعض النسب المحددة في أجسام الكثير من الحيوانات (بما في ذلك البشر) وأجزاء من أصداف الرخويات في النسبة الذهبية. ومع ذلك، هناك تباين كبير في المقاييس الحقيقية لهذه العناصر في أفراد محددين، وغالبًا ما تختلف النسبة المعنية بدرجة كبيرة عن النسبة الذهبية. يقال إن نسبة عظام الكتائب المتتالية للأصابع وعظم المشط تقارب النسبة الذهبية. غالبًا ما يتم الاستشهاد بقذيفة نوتيلوس، التي يتم بناؤها في لولب لوغاريتمي، عادةً بفكرة أن أي لولب لوغاريتمي مرتبط بالنسبة الذهبية، ولكن في بعض الأحيان مع الادعاء بأن كل غرفة جديدة تتناسب مع الذهب بالنسبة للحجرة السابقة واحد. ومع ذلك، فإن قياسات قذائف نوتيلوس لا تدعم هذا الادعاء.

وفي هذا السياق، تتضمن أمثلة الملاحظات المتنازع عليها بشأن النسبة الذهبية ما يلي:

تناقض من تعبير بأدنى حد

• تذكر أن:
• الكل هو الجزء الأطول فضلًا عن الجزء الأقصر؛
• الكل هو الجزء الأطول حيث أن الجزء الأطول هو الجزء الأقصر.
• إذا استدعينا n بالكامل والجزء الأطول m، فإن العبارة الثانية أعلاه تصبح
• n هو m كما m هو n − m

اقتران النسبة الذهبية

الجذر المترافق مع الحد الأدنى من كثير الحدود x 2 - x - 1 هو

ومن جهة أخرى، تتوافق القيمة المطلقة لهذه الكمية (≈ 0.618) مع نسبة الطول المأخوذة بترتيب عكسي (طول مقطع أقصر على طول مقطع أطول، ب / أ)، ويشار إليها أحيانًا باسم النسبة الذهبية المترافقة أو نسبة الفضة . يُشار إليه هنا بالحرف Phi :

نظرية بطليموس

علاوةً على ذلك، يمكن تأكيد خصائص النسبة الذهبية للبنتاغون المنتظم عن طريق تطبيق نظرية بطليموس على الشكل الرباعي الذي يتكون من إزالة أحد رؤوسه. إذا كانت الحافة الطويلة للشكل الرباعي وأقطارها ب، والحواف القصيرة أ، فإن نظرية بطليموس تعطي ب 2 = أ 2 + AB الذي ينتج

الأهرامات الرياضية

إضافةً إلى ذلك، هرم رياضي آخر بنسب مماثلة على وجه التقريب للهرم «الذهبي» هو الهرم الذي محيطه يساوي 2 ضعف الارتفاع، أو h: b = 4: . تبلغ زاوية هذا المثلث 51.854 درجة (51 درجة 51 بوصة)، وهي قريبة جدًا من 51.827 درجة لمثلث كبلر. تتوافق هذه العلاقة الهرمية مع علاقة مصادفات رياضية .

في هذا الإطار، شكل هرمي مشابه على وجه التقريب، ولكن بنسب منطقية، موصوف في بردية ريند الرياضية (مصدر جزء كبير من المعرفة الحديثة للرياضيات المصرية القديمة)، استنادًا إلى المثلث 3: 4: 5 ؛ منحدر الوجه المقابل للزاوية ذات المماس 4/3 هو، لأقرب منزلتين عشريتين، 53.13 درجة (53 درجة و 8 دقائق). ارتفاع الميل هو 5/3 أو 1.666 ... أضعاف شبه القاعدة. تحتوي بردية Rhind كذلك على مشكلة هرمية أخرى، ومرة أخرى بمنحدر منطقي (يُعبر عنه بالدور فوق الارتفاع). لم تتضمن الرياضيات المصرية فكرة الأعداد غير المنطقية، واستعمل المنحدر العكسي المنطقي (الركض / الارتفاع، مضروبًا في 7 للتحويل إلى وحداتهم التقليدية من النخيل لكل ذراع) في بناء الأهرامات.

علاوةً على ذلك، الأهرامات المصرية متقاربة جدا بما يتناسب مع هذه الأهرامات الرياضية المعروفة.

في هذا الإطار، المثلث الإنسي الأيمن لهذا الهرم «الذهبي» (انظر الشكل)، مع جوانب مثير للاهتمام في حد ذاته، مما يدل على العلاقة من خلال نظرية فيثاغورس أو . مثلث كبلر هذا هو النسبة الوحيدة للمثلث الأيمن التي لها أطوال حواف في التقدم الهندسي، تمامًا كما أن المثلث 3–4–5 هو نسبة المثلث الأيمن الوحيد مع أطوال الحافة في التدرج الحسابي. الزاوية مع الظل يتوافق مع الزاوية التي يصنعها جانب الهرم بالنسبة إلى الأرض، 51.827 ... درجة (51 ° 49 '38 ").

في هذا الإطار، الهرم الذي يكون فيه apothem (الارتفاع المائل على طول منصف الوجه) يساوي φ مرة نصف القاعدة (نصف عرض القاعدة) يسمى أحيانًا الهرم الذهبي . يمكن إنشاء المثلث متساوي الساقين الذي يمثل وجه مثل هذا الهرم من نصفي مستطيل ذهبي منقسم قطريًا (بحجم شبه قاعدي من خلال apothem)، وينضم إلى الحواف متوسطة الطول لتكوين apothem. ارتفاع هذا الهرم ضرب شبه القاعدة (أي ميل الوجه هو )؛ مربع الارتفاع يساوي مساحة الوجه، φ في مربع شبه القاعدة.

توسيع عشري

من جهة ثانية، مع 2.2360679774997896964 OEIS : A002163 . يمكن حساب الجذر التربيعي للرقم 5 بالطريقة البابلية، بدءًا بتقدير أولي مثل x φ = 2 والتكرار

وفي السياق ذاته، تم حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية φ بدقة تصل إلى تريليوني ( = 2,000,000,000,000) رقم.

وعلى صعيد آخر، كل هذه التكرارات تتلاقى بشكل تربيعي؛ أي أن كل خطوة تضاعف على وجه التقريب عدد الأرقام الصحيحة. وبالتالي، من السهل نسبيًا حساب النسبة الذهبية بدقة عشوائية. الوقت اللازم لحساب عدد n من النسبة الذهبية يتناسب مع الوقت اللازم لقسمة رقمين من رقم n . هذا أسرع بكثير من الخوارزميات المعروفة للأرقام المتعالية و .

وفي السياق ذاته، من البدائل التي تتم برمجتها بسهولة باستخدام الحساب الصحيح فقط حساب رقمين متتاليين من أرقام فيبوناتشي وتقسيمهما. نسبة أرقام فيبوناتشي F 25001 و F 25000، كل منها يزيد عن 5000 رقم، ينتج أكثر من 10000 رقم مهم من النسبة الذهبية.

ومن جهة أخرى، تعادل الخوارزمية البابلية لـ طريقة نيوتن لحل المعادلة × 2 - 5 = 0. في شكلها الأكثر عمومية، يمكن تطبيق طريقة نيوتن مباشرة على أي معادلة جبرية، بما في ذلك المعادلة × 2 - x - 1 = 0 التي تحدد النسبة الذهبية. يعطي هذا تكرارًا يتقارب مع النسبة الذهبية نفسها،

يمكن حساب التوسع العشري للنسبة الذهبية مباشرة من التعبير

إضافةً إلى ذلك، بالنسبة إلى n = 1، 2، 3... حتى يصبح الفرق بين x n و x n −1 صفرًا، إلى العدد المطلوب من الأرقام.

وعلى صعيد آخر، للحصول على تقدير أولي مناسب x φ مثل x φ = 1. الطريقة الأسرع قليلاً هي إعادة كتابة المعادلة كـ x - 1 - 1 / س = 0، وفي هذه الحالة يصبح تكرار نيوتن

طبيعة

من جهة ثانية، لاحظ عالم النفس أدولف زيزينج أن النسبة الذهبية ظهرت في phyllotaxis وجادل من هذه الأنماط في الطبيعة أن النسبة الذهبية هي قانون عالمي. كتب زيزينج في سنة 1854 عن قانون تقويم العظام الشامل «للسعي من أجل الجمال والاكتمال في مجالات الطبيعة والفن».

كذلك، في عام 2010، ذكرت مجلة Science أن النسبة الذهبية موجودة على المقياس الذري في الرنين المغناطيسي للسبينات في بلورات الكوبالت النيوبيتية.

كذلك، ومع ذلك، فقد جادل البعض بأن الكثير من المظاهر الواضحة للنسبة الذهبية في الطبيعة، خاصة فيما يتعلق بأبعاد الحيوانات، وهمية.

إضافةً إلى ذلك، كتب يوهانس كيبلر أن «صورة الرجل والمرأة تنبع من النسبة الإلهية. في رأيي، تكاثر النباتات والأفعال التكاثرية للحيوانات في نفس النسبة».

و

لأن هي النسبة بين الكميات الموجبة، موجبة بالضرورة:

تناظرات

علاوةً على ذلك، النسبة الذهبية والنسبة الذهبية المعكوسة لديها مجموعة من التناظرات التي تحافظ عليها وتربطها. كلاهما محفوظ من خلال التحويلات الخطية الجزئية - هذه الحقيقة تتوافق مع الهوية وتعريف المعادلة التربيعية. علاوة على ذلك، يتم تبادلهم بواسطة الخرائط الثلاث - هم متبادلون، متماثلون ، و (بشكل إسقاطي) متماثل نحو 2.

وفي هذا الصدد، بشكل أعمق، تشكل هذه الخرائط مجموعة فرعية من المجموعة المعيارية متماثل للمجموعة المتماثلة في 3 أحرف، المقابلة لمثبت المجموعة من 3 نقاط قياسية على خط الإسقاط، وتتوافق التماثلات مع خريطة حاصل القسمة - المجموعة الفرعية تتكون من 3 دورات والهوية يُصلح الرقمين، بينما تتبادل الدورتان هاتين، وبالتالي تتحقق الخريطة.

خماسي الاضلاع

وفي السياق ذاته، في البنتاغون العادي، تكون نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية، بينما يتقاطع قسم الأقطار مع بعضها البعض في النسبة الذهبية.

بواسطة اللاعقلانية

من جهة ثانية، دليل قصير آخر - ربما يكون أكثر شيوعًا - على لاعقلانية النسبة الذهبية يستعمل إغلاق الأعداد المنطقية تحت عمليات الجمع والضرب. إذا عقلاني، إذن هو كذلك عقلاني، وهو تناقض إذا كان معروفًا بالفعل أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي غير مربع هو غير منطقي.

موسيقى

ومن جهة أخرى، على الرغم من أن هاينز بوهلين اقترح مقياس 833 سنتًا غير مكرر للأوكتاف استنادًا إلى النغمات المركبة، فإن الضبط يتميز بالعلاقات القائمة على النسبة الذهبية. كفترة موسيقية، النسبة 1.618 ... هي 833.090 ... سنتًا .

كذلك، تضع براميل اللؤلؤ فتحات التهوية في طرازات Masters Premium بناءً على النسبة الذهبية. تدعي الشركة أن هذا الترتيب يحسن استجابة الجهير وقد تقدمت بطلب للحصول على براءة اختراع لهذا الابتكار.

وعلى صعيد آخر، يحلل ارني ليندفاي أعمال Béla Bartók على أنها تستند إلى نظامين متعارضين، نظام النسبة الذهبية والمقياس الصوتي، الرغم من رفض علماء الموسيقى الآخرين لهذا التحليل. استعمل الملحن الفرنسي إريك ساتي النسبة الذهبية في الكثير من مقطوعاته، بما في ذلك Sonneries de la Rose + Croix . تظهر النسبة الذهبية كذلك في تنظيم المقاطع في موسيقى Reflets dans l'eau (انعكاسات في الماء) لديبوسي، من الصور (السلسلة الأولى، 1905)، حيث «يتم تمييز تسلسل المفاتيح بواسطة الفترات 34 و 21 و 13 و 8، والذروة الرئيسية تجلس في موقع فاي».

من جهة ثانية، لاحظ عالم الموسيقى روي هوات أن الحدود الرسمية لـ لا مير (ديبوسي) تتوافق تمامًا مع القسم الذهبي. يجد Trezise أن الدليل الجوهري «رائع»، لكنه يحذر من أنه لا يوجد دليل مكتوب أو معلن يشير إلى أن ديبوسي سعى بوعي إلى مثل هذه النسب.

المثلث الذهبي

كذلك، وبالمثل، فإن نسبة مساحة المثلث الأكبر AXC إلى CXB الأصغر تساوي ، بينما تكون النسبة العكسية φ - 1.

علاوةً على ذلك، يمكن وصف المثلث الذهبي بأنه مثلث متساوي الساقين ABC مع خاصية تقطيع الزاوية C إلى نصفين ينتج عنها مثلث جديد CXB وهو مثلث مماثل للمثلث الأصلي.

من جهة ثانية، إذا كانت الزاوية BCX = α، فإن XCA = α بسبب التقسيم، و CAB = α بسبب المثلثات المتشابهة ؛ ABC = 2α من التناظر الأصلي متساوي الساقين، و BXC = 2α بالتشابه. مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذا 5α = 180، مما يعطي α = 36 °. وبالتالي فإن زوايا المثلث الذهبي هي 36 درجة -72 درجة -72 درجة. زوايا المثلث المتساوي الساقين المتبقي AXC (تسمى أحيانًا العقرب الذهبي) هي 36 درجة -36 درجة -108 درجة.

وفي السياق ذاته، لنفترض أن XB له طول 1، BC length. بسبب المثلثات متساوية الساقين XC = XA و BC = XC، فهذه كذلك هي الطول φ. طول التيار المتردد = إذن AB يساوي  + 1. لكن المثلث ABC مشابه للمثلث CXB، لذا AC / BC = BC / BX، AC /  = φ / 1، وبالتالي فإن AC تساوي 2 كذلك. وهكذا 2 = φ + 1، مما يؤكد أن هي بالفعل النسبة الذهبية.

تحسين

الرياضيات

كذلك، النسبة الذهبية هي مفتاح البحث في golden-section (المقطع الذهبي).

أو جبريًا

إضافةً إلى ذلك، إن القول بأن النسبة الذهبية منطقية يعني أن كسر n / m حيث n و m عددان صحيحان. قد نأخذ n / m في أدنى حد و n و m موجبين. ولكن إذا كانت n / m بأدنى حد، فإن الهوية المسمى (*) أعلاه تقول m / (n - م) بعبارات أقل. هذا تناقض يتبع من افتراض أن عقلاني.

خصائصها

في هذا الإطار، فضلًا عن ميزاته الجمالية، فإن الرقم الذهبي يمتاز بخاصية جبريّة مهمّة، إذ أنه يكفي أن تضيف إليه 1 لتجد مربّعه (أي ). وبعبارة أخرى فإن :

وعلى صعيد آخر، و هناك خاصية أخرى تنجرّ عن السابقة وهي أنه يكفي أن ننقص الرقم الذهبي من 1 حتى نجد مقلوبه (أي ) وبالتالي فإن :

و هذه الصيغة الأخيرة هي الصيغة العامة لتعريف الرقم الذهبي.

البارثينون

إضافةً إلى ذلك، من قياسات 15 معبدًا و 18 مقبرة ضخمة و 8 توابيت و 58 لوحة قبر من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن الثاني الميلادي، خلص أحد الباحثين إلى أن النسبة الذهبية كانت غائبة تمامًا عن العمارة اليونانية الكلاسيكية في القرن الخامس قبل الميلاد، وتقريباً غائب خلال القرون الستة التالية. مصادر لاحقة مثل فيتروفيوس (القرن الأول BC) تناقش حصريًا النسب التي يمكن التعبير عنها بأعداد صحيحة، أي تناسبها على عكس النسب غير المنطقية.

ومن ناحية أخرى، قال البعض إن واجهة البارثينون (قرابة 432 قبل الميلاد) وكذلك عناصر من واجهته وأماكن أخرى محصورة بمستطيلات ذهبية. ينكر علماء آخرون أن الإغريق كان لهم أي ارتباط جمالي مع النسبة الذهبية. مثلًا، يقول كيث ديفلين، «بالتأكيد، التأكيد المتكرر في كثير من الأحيان على أن البارثينون في أثينا يعتمد على النسبة الذهبية لا تدعمه القياسات الفعلية. في الواقع، يبدو أن القصة الكاملة عن الإغريق والنسبة الذهبية بلا أساس». يؤكد مدحت ج. غازالي أنه «لم تتم دراسة الخصائص الرياضية للنسبة الذهبية حتى إقليدس ...».

الاستفادة منها

وفي هذا السياق، الرقم الذهبي معروف على الأرجح منذ عصور ما قبل التاريخ. فقد أستعمله مهندسون وفنانون كثيرون منذ العصور القديمة. فمثلا هرم «خوفو»، المبني في سنة 2800 ق.م. على وجه التقريب، يظهر أن مهندسه استعمل الرقم الذهبي وكذلك شأن مبنى «البارثينون» بأثينا، الذي تم بناؤه في القرن الخامس ق.م وأيضا يوجد إشارة إلى هذه النسبة في بناء أهرامات الجيزة في مصر.

ومن جهة أخرى، و في القرن العشرين، أهتم الكثير من المهندسين والرسامين بالرقم الذهبي في إنجازاتهم، وبالخصوص المهندس الفرنسي «لو كوربيسيي» والرسّام الإسباني «سلفادور دالي».

ومن جهة أخرى، و يظهر الرقم الذهبي كذلك في ميدان الموسيقى ذلك أن صانع الكمانات الإيطالي «أنتونيو ستراديفاري» (و اشتهر «ستراديفاريوس») استعمل هو الآخر هذا الرقم في صنع كماناته الشهيرة مع نهاية القرن السابع عشر للميلاد.

علاوةً على ذلك، ورغم الأقوال بوجود استخدام للنسبة الذهبية في بعض المباني غير أن كثيراً منها هي أما مقاربات بعيدة عن النسبة الذهبية، أو أنها غير موجودة ببساطة كما في المعبد اليوناني الذي ثبت عدم وجود النسبة الذهبية فيه، فضلاً عن وجود نسب أخرى تُستعمل بكثرة من قبل المعماريين لكنها غير مشهورة.

كذلك، ويدعي البعض انه يستعمل كذلك في الأسواق المالية وأسواق العملات والمعادن، بل هو من أهم الأدوات المستعملة في التحليل الفني لتلك الأسواق؛ فعندما تقوم أسعار الأوراق المالية - أو العملات أو المعادن - بتصحيح مسارها (بمعنى أن تنخفض بعد اتجاه صعودي، أو ترتفع بعد اتجاه هبوطي) يقوم المحللون الفنيون لتلك الأسواق بحساب نسب ارتدادات الأسعار (أي تحديد مدى ذلك الارتفاع أو الانخفاض)، وتلك النسب كلها مشتقة من الرقم الذهبي بحسب الادعاءات ولكن لا توجد أي أدلة على ادعاءات مماثلة.

إضافةً إلى ذلك، وفي عصر النهضة، استعمل الكثير من الرسّامين (مثل «بييرو ديلاّ فرانشيسكا» أو «ليوناردو دا فينشي») المظاهر الجمالية المرتبطة بالرقم الذهبي في لوحاتهم. وقد أبرز «دا فينشي» كذلك كتابا يبيّن الخصائص الرياضية والجمالية والعجيبة للرقم الذهبي ويسمى هذا الكتاب " "De divina proportio (أو التناسب الإلهي) وقد ألفه كاهن إيطالي اسمه «فرا لوكا باشيولي».

تحجيم المثلثات

إضافةً إلى ذلك، ضع في اعتبارك مثلثًا له أطوال أطوال أ، ب، ج بترتيب تنازلي. حدد «حجم» المثلث ليكون الأصغر من النسبتين أ / ب و ب / ج . وscalenity هو دائما أقل من φ ويمكن أن يتم في أقرب وقت المطلوب φ

نجمة خماسية

وفي هذا الصدد، تلعب النسبة الذهبية دورًا مهمًا في هندسة الخماسي. كل تقاطع للحواف يقسم حواف أخرى في النسبة الذهبية. كذلك، فإن نسبة طول الجزء أقصر إلى الجزء يحدها من قبل اثنين من تقاطع حواف (جانب من البنتاغون في مركز النجم الخماسي) هو φ كما يظهر في الشكل أربعة ألوان.

وفي السياق ذاته، يشتمل الخماسي على عشرة مثلثات متساوية الساقين: خمسة مثلثات حادة وخمسة منفرجة متساوية الساقين. في كل منهم، نسبة الضلع الأطول إلى الضلع الأقصر هي φ . المثلثات الحادة هي مثلثات ذهبية. مثلثات متساوية الساقين منفرجة هي عقرب ذهبية.

قسمة قطعة خطية على تقسيم خارجي

ومن جهة أخرى، ارسم مقطعًا مستقيًا AS وقم بتكوين الجزء S من النقطة SC عموديًا على AS وبنفس طول AS.

مثلث ذهبي وخماسي وخماسي

وفي هذا السياق، يمكنك أن ترى أمثلة تطبيقية في مقالات البنتاغون بطول ضلع معين، عشري مع دائرة معينة وعشر عشر مع طول ضلع معين.

قم بتقسيم المقطع المستقيم AS مع M.

وفي السياق ذاته، تنتج كل من الخوارزميات المختلفة المعروضة أعلاه إنشاءات هندسية تحدد جزأين من الخط المحاذي حيث تكون نسبة الجزء الأطول إلى الأقصر هي النسبة الذهبية.

وعلى صعيد آخر، يتقاطع قوس دائري حول M بنصف قطر MC في النقطة B على الخط المستقيم عبر النقطتين A و S (المعروف كذلك باسم امتداد AS). نسبة AS إلى الجزء المشيد SB هي النسبة الذهبية.

1 -

وأيضاً:

بصورة عامة، يمكن القول أنَّ :

الذي يمكن إعادة ترتيبه إلى

باستخدام الصيغة التربيعية، يتم الحصول على حلين:

عملية حسابية

وعلى صعيد آخر، إحدى طرق إيجاد قيمة هي البدء بالكسر الأيسر. من خلال تبسيط الكسر والتعويض في ب / أ = 1 / ،

وبالتالي،

يُقال إن الكميتين أ و ب في النسبة الذهبية إذا

الضرب في يعطي

كثير الحدود الصغرى

كذلك، بالحصول على الدرجة 2، فإن كثير الحدود هذا له في الواقع جذران، والآخر هو اقتران النسبة الذهبية.

من جانب آخر، النسبة الذهبية هي كذلك رقم جبري وحتى عدد صحيح جبري، حيث لديها الحد الأدنى متعدد الحدود (نظرية المجال)

الهندسة

ومن جهة أخرى، لا توجد خوارزمية عامة معروفة لترتيب عدد معين من العقد بالتساوي على كرة، لأي تعريف من عدة تعريفات للتوزيع الزوجي (انظر، مثلًا، مشكلة طومسون). ومع ذلك، ينتج تقريب مفيد من تقسيم الكرة إلى نطاقات متوازية ذات مساحة سطح متساوية ووضع عقدة واحدة في كل نطاق على خطوط طول متباعدة بقسم ذهبي من الدائرة، أي 360 درجة / ≅ 222.5 درجة. تم استخدام هذه الطريقة لترتيب 1500 مرآة للقمر الصناعي التشاركي الطلابي Starshine-3.

علاوةً على ذلك، عدد حتى تتحول في كثير من الأحيان في الهندسة، ولا سيما في الأرقام مع خماسية التماثل. طول القطر المنتظم للخماسي يساوي ضلعها. رؤوس الأشكال العشرية الوجوه المنتظمة هي تلك الموجودة في ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة بشكل متبادل.

الاهرامات المصرية

من جهة ثانية، في منتصف القرن التاسع عشر، ودرس فريدريش ROBER الأهرامات المصرية المختلفة بما في ذلك تلك التي خفرع، منقرع، وبعض الجيزة، سقارة، وأبوصير المجموعات. لم يطبق النسبة الذهبية على الهرم الأكبر في الجيزة، لكنه وافق بدلاً من ذلك مع جون شاي بيرنج على أن نسبة الجانب إلى الارتفاع هي 8: 5. بالنسبة لجميع الأهرامات الأخرى، طبق القياسات المتعلقة بمثلث كبلر، وادعى أن أطوال أضلاعها الكاملة أو نصفها مرتبطة بارتفاعها من خلال النسبة الذهبية.

ومن جهة أخرى، ادعى إريك تمبل بيل، عالم الرياضيات والمؤرخ، في سنة 1950 أن الرياضيات المصرية لن تدعم القدرة على حساب الارتفاع المائل للأهرامات، أو النسبة إلى الارتفاع، باستثناء حالة الهرم 3: 4: 5، منذ ذلك الحين كان المثلث 3: 4: 5 هو المثلث القائم الزاوية الوحيد المعروف للمصريين ولم يعرفوا نظرية فيثاغورس، ولا بأي طريقة للتفكير حول اللاعقلانية مثل أو φ. تتطابق أمثلة المشكلات الهندسية لتصميم الهرم في بردية Rhind مع منحدرات منطقية مختلفة.

علاوةً على ذلك، أحد الأهرامات المصرية القريبة من «الهرم الذهبي» هو الهرم الأكبر بالجيزة (المعروف كذلك باسم هرم خوفو أو خوفو). منحدره البالغ 51 درجة 52 'قريب من ميل الهرم «الذهبي» عند 51 درجة 50' - وحتى أقرب إلى ميل الهرم القائم على البالغ 51 درجة 51 '. ومع ذلك، تم العثور على الكثير من النظريات الرياضية الأخرى لشكل الهرم الأكبر، استنادًا إلى المنحدرات المنطقية، على أنها تفسيرات أكثر دقة وأكثر منطقية لمنحدر 51 درجة 52 '.

علاوةً على ذلك، في عام 1859، أساء عالم الهرم جون تايلور تفسير هيرودوت على أنه يشير إلى أن مربع ارتفاع الهرم الأكبر يساوي مساحة أحد مثلثات وجهه. أدى ذلك إلى ادعاء تايلور أنه في الهرم الأكبر، يتم تمثيل النسبة الذهبية بنسبة طول الوجه (ارتفاع المنحدر، يميل بزاوية θ على الأرض) إلى نصف الطول من ضلع القاعدة المربعة (ما يعادل قاطع الزاوية θ). أعلاه قرابة و ، على التوالي. نسبة هذه الأطوال هي النسبة الذهبية، وهي دقيقة لأرقام أكثر من أي من القياسات الأصلية. وبالمثل، أفاد هوارد فايس بارتفاع الهرم الأكبر ، ونصف القاعدة ، مما ينتج عنه 1.6189 لنسبة الارتفاع المائل إلى نصف القاعدة، مرة أخرى أكثر دقة من تقلب البيانات.

كذلك، يؤكد مايكل رايس أن المراجع الرئيسية في تاريخ العمارة المصرية جادلت بأن المصريين كانوا على دراية جيدة بالنسبة الذهبية وأنها جزء من رياضيات الأهرامات، مستشهدين بجيدون (1957). ناقش مؤرخو العلوم منذ فترة طويلة ما إذا كان لدى المصريين أي معرفة من هذا القبيل، معتبرين أن ظهوره في الهرم الأكبر هو نتيجة الصدفة.

تجلياتها

إضافةً إلى ذلك، الشكل الهندسي لنجم البحر الذي يمتاز بشكل خماسي الأضلاع المتداخل.

من جهة ثانية، يظهر الرقم الذهبي في الكثير من الإنجازات الإنسانية، ولكن كذلك في الطبيعة بعض الأحيان وبشكل تقريبي مثل:

في هذا الإطار، ويبدو كذلك أن خارج قسمة الطول الإجمالي لجسم الإنسان على ارتفاع السرة عن الأرض مساو، هو الآخر، للرقم الذهبي.

أو في زهرة دوار الشمس أو في حراشف الصنوبر («تفاح الصنوبر»).

في هذا الإطار، شكل قوقعة الحلزون الهندسي، وقد تم تفنيد هذا الظهور للنسبة الذهبية حيث الحلزون الذهبي هو واحد من الأرقام اللانهائية لأي خوارزمية حلزونية ممكنة ولا يشترط أن تكون النسبة الذهبية داخلة.

قسمة قطعة خطية على تقسيم داخلي

وفي هذا الصدد، ارسم قوسًا بمركزه A ونصف قطره AD. يتقاطع هذا القوس مع مقطع الخط الأصلي AB عند النقطة S. تقسم النقطة S مقطع الخط الأصلي AB إلى مقاطع خطية AS و SB بأطوال في النسبة الذهبية.

إضافةً إلى ذلك، باستخدام قطعة مستقيمة AB، أنشئ BC عموديًا عند النقطة B، بحيث يكون BC نصف طول AB. ارسم الوتر AC.

وفي هذا الصدد، ارسم قوسًا بمركزه C ونصف قطره BC. يتقاطع هذا القوس مع الوتر AC عند النقطة D.

العلاقة مع متوالية فيبوناتشي

ومن ناحية أخرى، إن رياضيات النسبة الذهبية ومتوالية فيبوناتشي مترابطة بشكل وثيق. تسلسل فيبوناتشي هو:

إضافةً إلى ذلك، بمعنى آخر، إذا كان رقم فيبوناتشي مقسومًا على سابقه المباشر في التسلسل، فإن حاصل القسمة يقارب φ ؛ مثلًا، 987/610  1.6180327868852. هذه هي تقريبية بالتناوب الدنيا والعليا من φ وتتقارب إلى φ مع تزايد أعداد فيبوناتشي، و:

يتضمن التعبير المغلق لتسلسل فيبوناتشي النسبة الذهبية:

وفي هذا الصدد، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987. . .

من جانب آخر، النسبة الذهبية هي حد نسب المصطلحات المتعاقبة في متوالية فيبوناتشي (أو أي متوالية تشبه فيبوناتشي)، كما أوضح كبلر:

ومن ناحية أخرى، بالنسبة للمعاملات المعطاة أ، ب بحيث تحقق س المعادلة. حتى أكثر عموما، أي دالة كسرية (مع معاملات عقلانية) من جذر ن متعدد الحدود غير القابل للاختزال درجة عشر، على rationals يمكن خفضها إلى متعدد الحدود من الدرجة مصاغة من حيث نظرية المجال، إذا كانت α جذرًا لكثير حدود من الدرجة n غير القابلة للاختزال، إذن درجة ن أكثر مع الأساس

• بشكل عام:
• حيث أعلاه، فإن نسب المصطلحات المتتالية لسلسلة فيبوناتشي، هي حالة متى
• علاوة على ذلك، فإن القوى المتعاقبة لـ φ تخضع لتكرار فيبوناتشي:
• هذه الهوية تسمح أي متعدد الحدود في φ أن تنخفض إلى التعبير الخطي. فمثلا:
• يمكن تحقيق الاختزال إلى تعبير خطي في خطوة واحدة باستخدام العلاقة
• أين هو k th رقم فيبوناتشي.

كذلك، ومع ذلك، فهذه ليست خاصية خاصة لـ φ، لأنه يمكن تقليل كثيرات الحدود في أي حل x لمعادلة تربيعية بطريقة مماثلة، من خلال تطبيق:

اللاعقلانية

علاوةً على ذلك، النسبة الذهبية هي رقم غير نسبي. فيما يلي دليلان قصيران على اللاعقلانية:

المثلث الذهبي، المعين، ثلاثي السطوح المعيني

ومن ناحية أخرى، المعين الذهبي هو المعين الذي تكون أقطاره في النسبة الذهبية. ثلاثي السطوح المعين هو متعدد الأشكال ومحدب له خاصية خاصة جدًا: جميع وجوهه عبارة عن معينية ذهبية. في المثلث السطوح المعيني، تكون الزاوية ثنائية السطوح بين أي معينين متجاورين هي 144 درجة، وهو ضعف الزاوية المتساوية الساقين في المثلث الذهبي وأربعة أضعاف الزاوية الأكثر حدة.

بناء أودوم

وفي هذا الصدد، جورج أودوم أعطت بناء بسيط ملحوظ φ التي تنطوي على مثلث متساوي الأضلاع: إذا هو منصوص عليه مثلث متساوي الأضلاع في دائرة والجزء الخط الواصل بين نقاط المنتصف من الجانبين يتم إنتاج لتتقاطع دائرة في أي من نقطتين، ثم هذه النقاط الثلاث هي في نسبة ذهبية. هذه النتيجة هي نتيجة مباشرة لنظرية الأوتار المتقاطعة ويمكن استخدامها لبناء خماسي منتظم، وهو بناء جذب انتباه مقياس الهندسة الكندي الشهير سكوت ماكدونالد كوكستر الذي نشره باسم Odom كرسم تخطيطي في الرياضيات الأمريكية الشهرية مصحوبًا به كلمة واحدة «ها!»

الاهرام

من جانب آخر، يمكن تحليل كل من الأهرامات المصرية والأهرامات المربعة العادية التي تشبهها فيما يتعلق بالنسب الذهبية والنسب الأخرى.

التاريخ

من جانب آخر، بحلول عام 1910، بدأ عالم الرياضيات مارك بار في استخدام الحرف اليوناني فاي (φ) كرمز للنسبة الذهبية. تم تمثيله كذلك بواسطة tau (τ)، الحرف الأول من اليونانية القديمة τομή («قص» أو «قسم»).

وفي السياق ذاته، لاحظ عالم الرياضيات الألماني سيمون جاكوب (المتوفى 1564) أن أرقام فيبوناتشي المتتالية تتقارب مع النسبة الذهبية. أعاد يوهانس كيبلر اكتشاف هذا في عام 1608. تم ذكر أول تقريب معروف نظام عد عشري للنسبة الذهبية (العكسية) على أنه «نحو 0.6180340» في عام 1597 بواسطة مايكل مايستلين من جامعة توبنغن في رسالة إلى كيبلر، طالبه السابق. في نفس العام، كتب كبلر إلى مايستلين عن مثلث كيبلر، والذي يجمع النسبة الذهبية مع مبرهنة فيثاغورس. قال كبلر عن هؤلاء:

وعلى صعيد آخر، تمت دراسة النسبة الذهبية محيطيًا خلال الألفية التالية. استعملها أبو كامل (نحو 850-930) في حساباته الهندسية للخماسيات والعشاري. أثرت كتاباته على كتابات فيبوناتشي (ليوناردو بيزا) (1170-1250)، الذي استعمل النسبة في مسائل الهندسة ذات الصلة، على الرغم من عدم ربطها مطلقًا بسلسلة الأرقام التي سميت باسمه.

التطبيقات والملاحظات

من جهة ثانية، بين عامي 1973 و1974، طور روجر بنروز تبليط بنروز، وهو نمط مرتبط بالنسبة الذهبية في كل من نسبة مساحات بلاطيتيها المعينية وترددها النسبي داخل النموذج. أدى هذا إلى اكتشاف دان شيختمان في أوائل ثمانينيات القرن الماضي لأشباه البلورات، والتي يُظهر بعضها تناظر إيكوساهدرا.

وعلى صعيد آخر، أطلق لوكا باسيولي على كتابه نسبة Divina (1509) بعد النسبة، واستكشف خصائصه بما في ذلك ظهوره في بعض المواد الصلبة الأفلاطونية. أطلق ليوناردو دافنشي، الذي رسم الكتاب المذكور أعلاه، على نسبة المقطع aurea («القسم الذهبي»). حل علماء الرياضيات في القرن السادس عشر مثل رافائيل بومبيلي المسائل الهندسية باستخدام النسبة.

.

إضافةً إلى ذلك، بعض من أعظم العقول الرياضية من جميع الأعمار، مثل فيثاغورس وإقليدس في اليونان القديمة، عبر عالم الرياضيات الإيطالي في العصور الوسطى ليوناردو فيبوناتشي وعالم فلك عصر النهضة يوهانس كيبلر، إلى الشخصيات العلمية الحالية مثل فيزيائي أكسفورد روجر بنروز، قضوا ساعات طويلة على هذه النسبة البسيطة وخصائصها. ... لقد فكر علماء الأحياء، والفنانون، والموسيقيون، والمؤرخون، والمهندسون المعماريون، وعلماء النفس، وحتى الصوفيون، وناقشوا أسس انتشارها وجاذبيتها. في الواقع، ربما يكون من العدل أن نقول إن النسبة الذهبية ألهمت المفكرين من جميع التخصصات مثل أي رقم آخر في تاريخ الرياضيات.بحسب ماريو ليفيو، درس علماء الرياضيات اليونانيون القدماء لأول مرة ما نسميه الآن النسبة الذهبية، بسبب ظهورها المتكرر في الهندسة. تقسيم الخط إلى «نسبة متطرفة ومتوسطة» (القسم الذهبي) مهم في هندسة الخماسيات والخماسيات المنتظمة. بحسب قصة واحدة، اكتشف عالم الرياضيات هيباسوس من القرن الخامس قبل الميلاد أن النسبة الذهبية لم تكن عددًا صحيحًا ولا جزءًا (عددًا غير نسبي)، مما أثار دهشة الفيثاغورس. عناصر إقليدس تقدم الكثير من الافتراضات وإثباتاتها باستخدام النسبة الذهبية، وتحتوي على أول تعريف معروف لها والذي يستمر على النحو التالي:

ومن جهة أخرى، استعمل علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر أبراهام دي موفر ودانييل برنولي وليونهارد أويلر صيغة قائمة على النسبة الذهبية والتي تجد قيمة رقم فيبوناتشي بناءً على موضعه في التسلسل؛ في سنة 1843، تم اكتشاف هذا بواسطة جاك فيليب ماري بينيه، الذي أطلق عليه اسم «صيغة بينيه». استعمل مارتن أوم لأول مرة المصطلح الألماني goldener Schnitt («القسم الذهبي») لوصف النسبة في سنة 1835. استعمل جيمس سولي المصطلح الإنجليزي المكافئ في سنة 1875.

فن

علاوةً على ذلك، أدت الرسوم التوضيحية لليوناردو دافنشي عن متعدد السطوح في Divina ratioe إلى التكهن بأنه قد أدرج النسبة الذهبية في لوحاته. لكن الإيحاء بأن لوحة الموناليزا الخاصة به، مثلًا، تستعمل نسب النسبة الذهبية، لا تدعمها كتابات ليوناردو. وبالمثل، على الرغم من أن الرجل فيتروفيان يظهر غالبًا فيما يتعلق بالنسبة الذهبية، إلا أن نسب الشكل لا تتطابق معها في الواقع، ويذكر النص فقط نسب الأعداد الصحيحة.

ومن جهة أخرى، تم نشر Divina نسبة (النسبة الإلهية)، وهو عمل مكون من ثلاثة مجلدات بواسطة لوكا باتشولي، في سنة 1509. كان الراهب الفرنسيسكاني باسيولي معروفًا في الغالب بكونه عالم رياضيات، لكنه كذلك كان مدربًا ومهتمًا للغاية بالفن. استكشفت Divina ratioe رياضيات النسبة الذهبية. على الرغم من أنه كثيرًا ما يُقال إن باسيولي دعا إلى تطبيق النسبة الذهبية لإعطاء نسب متناغمة ومرضية، إلا أن ليفيو يشير إلى أن التفسير قد تم تتبعه إلى خطأ في عام 1799، وأن باسيولي قد دافع بالفعل عن نظام فيتروفيان للنسب العقلانية. رأى باسيولي كذلك أهمية دينية كاثوليكية في النسبة، مما أدى إلى عنوان عمله.

وعلى صعيد آخر، استعمل سلفادور دالي، متأثرًا بأعمال ماتيلا غيكا، بوضوح النسبة الذهبية في تحفته، سر العشاء الأخير. أبعاد اللوحة عبارة عن مستطيل ذهبي. يتدلى من اثنا عشر وجهًا ضخمًا، في المنظور بحيث تظهر الحواف بنسبة ذهبية لبعضها البعض، فوق وخلف يسوع ويسيطر على التكوين.

من جانب آخر، وجدت دراسة إحصائية أجريت عام 1999 على 565 عملاً فنياً لرسامين عظماء مختلفين أن هؤلاء الفنانين لم يستعملوا النسبة الذهبية في حجم لوحاتهم. وخلصت الدراسة إلى أن متوسط نسبة جانبي اللوحات المدروسة 1.34 بمتوسطات للفنانين الفرديين تتراوح من 1.04 (جويا) إلى 1.46 (بيليني). من ناحية أخرى، أدرج Pablo Tosto أكثر من 350 عملاً لفنانين مشهورين، بما في ذلك أكثر من 100 من اللوحات ذات المستطيل الذهبي ونسب الجذر 5، وأخرى بنسب مثل root-2 و 3 و 4 و 6.

خصائص أخرى

وفي السياق ذاته، النسبة الذهبية هي وحدة أساسية في حقل العدد الجبري وهو رقم Pisot – Vijayaraghavan . في الحقل لدينا ، أين هل رقم لوكاس.

ومن ناحية أخرى، تظهر النسبة الذهبية كذلك في الهندسة الزائدية، مثل المسافة القصوى من نقطة على جانب واحد من مثلث مثالي إلى أقرب الجانبين الآخرين: هذه المسافة، طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع الذي يتكون من نقاط التماس a الدائرة المدرجة داخل المثلث المثالي، هي .

ومن جهة أخرى، النسبة الذهبية لها أبسط تعبير (وأبطأ تقارب) كتوسيع كسر مستمر لأي عدد غير نسبي (انظر الصيغ البديلة أعلاه). ولهذا السبب، فهي واحدة من أسوأ حالات نظرية تقريب لاغرانج وهي حالة متطرفة لعدم مساواة هورويتز لتقديرات ديوفانتين. قد يكون هذا هو السبب في ظهور الزوايا القريبة من النسبة الذهبية في كثير من الأحيان في النمو النباتي (نمو النباتات).

في هذا الإطار، ونتيجة لذلك، يمكن للمرء أن تتحلل بسهولة أي قوة φ إلى مضاعفات φ وثابت. المضاعف والثابت هما دائمًا أرقام فيبوناتشي متجاورة. يؤدي هذا إلى خاصية أخرى للقوى الإيجابية لـ φ :

وفي السياق ذاته، يحتوي تسلسل قوى φ على هذه القيم 0.618 ... 1.0، 1.618 ... 2.618 ... ؛ بشكل عام، فإن أي قوة لـ φ تساوي مجموع القوتين السابقتين مباشرة:

إذا ، ثم:

• تظهر النسبة الذهبية في نظرية الوظائف المعيارية كذلك. دع
• ثم
• كذلك إذا و ، ثم

وعلى صعيد آخر، عند استخدام النسبة الذهبية كأساس ل نظام الأرقام (انظر قاعدة النسبة الذهبية، يلقب في بعض الاحيان phinary أو φ -nary)، كل عدد صحيح لديه تمثيل تنتهي، على الرغم من φ يجري غير منطقي، ولكن كل جزء يحتوي على تمثيل إنهاء غير.

من جانب آخر، يؤدي تعريف كثير الحدود التربيعي والعلاقة المرافقة إلى قيم عشرية تشترك في φ الكسري مع φ :