نظرية الزمر

التاريخ

وعلى صعيد آخر، في الهندسة الرياضية، صارت الزمر مهمة في الهندسة الإسقاطية وفيما بعد في الهندسة غير الإقليدية. زعم فيليكس كلاين في عمل له يسمى برنامج إرلنغن نشره عام 1872، أن " نظرية الزمر هي المبدأ المنظِم للهندسة الرياضية ".

في هذا الإطار، إيفاريست غالوا، في ثلاثينات القرن التاسع عشر هو أول من استعمل الزمر من أجل تحديد قابلية حلحلة المعادلات الحدودية من عدمه.

كذلك، لنظرية الزمر ثلاثة جذور تاريخية هي: نظرية الأعداد ونظرية المعادلات الجبرية والهندسة الرياضية. ابتُدأ الفرع الآتي من نظرية الأعداد من طرف ليونهارد أويلر وطوره غاوس في عمله حول الحسابيات النمطية والزمر المجموعية والجداءية المتعلقة بالحقول التربيعية. النتائج الأولى حول زمر التبديلات حصل عليها كل من جوزيف لوي لاغرانج وباولو روفيني ونيلس هنريك أبيل، خلال محاولتهم حلحلة المعادلات الحدودية من درجات عالية.

من جانب آخر، أبدع إيفاريست غالوا مصطلح Group (زمرة) وأنشأ رابطا، معروف في الوقت الحالي باسم نظرية غالوا، بين نظرية الزمر حديثة الولادة من جهة، ونظرية الحقول من جهة أخرى.

نظرية الزمر الأولية

• ويتحقق مبدأ الحذف للزمرة (G,*) من جهة اليمين واليسار أي :
• a*b=a*c
• b=c هذا من جهة اليسار
• b*a=c*a

وعلى صعيد آخر، 2. العملية * تجميعية، يعني أنه إذا كان a و b و c عناصر من G فإن (a*b)*c=a*(b*c).

وفي هذا السياق، 3. G تحتوي على عنصر محايد، يرمز له غالبا ب e، يعني أنه مهما يكن a عنصر من G فإن: e*a=a*e=a.

كذلك، 4. كل عنصر من الزمرة (G,*) له عنصر معاكس، إذا كان a عنصر من G، فإنه يوجد عنصر b ضمن G بحيث يحقق: a*b=b*a=e.

وفي هذا الصدد، G هي مجموعة و* عملية ثنائية تجميعية على G، تخضع للقواعد التالية (أو ما يدعى بدهيات):

إضافةً إلى ذلك، 1. (G،*) تملك انغلاقا، يعني أنه إذا كان a وb ضِمْنَ G فإن a*b يكون ضمن G كذلك

يمكن تعريف زمرة (G،*) :

وفي هذا الصدد، نستنتج البدهيتين 1 و 2 تلقائياً من تعريف العملية الثنائية التجميعية لذلك يمكن إهمالهما.

لها حل وحيد في G

ومن جهة أخرى، في الزمرة G يوجد عنصر محايد وحيد e وكذلك معكوس وحيد a يحققان العلاقات التالية: e*x=x*e=x و a*x=x*a=e

كذلك، ويمكن القول أن الزمرة G تبادلية إذا كانت العملية الثنائية المعرفة عليها * تبادلية، عند إذ يطلق على الزمرة زمرة أبيلية (تبادلية): نسبة للعالم الذي اكتشفها.

زمر المصفوفات

فروع نظرية الزمر

وفي هذا السياق، الصنف الذي يأتي ثانيا من حيث الأهمية هو زمرة المصفوفات، أو ما يعرف بالزمر الخطية. لتكن G مجموعة من المصفوفات القابلة للعكس.

انظر إلى زمرة تبديلات

نظرية الأعداد الجبرية

وفي هذا السياق، تستعمل نظرية الأعداد الجبرية نظرية الزمر من أجل الحصول على تطبيقات مهمة. مثلًا، جداء أويلر

التحليل التناسقي أو التوافقي

علم التعمية

كذلك، تدل على المبرهنة الأساسية في الحسابيات والتي تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي يمكن أن يكتب جداءً لأعداد أولية. فشل هذا النص على حلقات أكثر عمومية أدى إلى تعريف مفهومي زمر الصنف والأعداد الأولية النظامية. استعمل إرنشت كومر هذين المفهومين أثناء تطرقه إلى مبرهنة فيرما الأخيرة.

نظرية لاي

كذلك، زمرة لاي هي زمرة تكون في نفس الوقت متعدد شُعبٍ قابل للتفاضل.

نظرية الزمر التوافقية والهندسية

الأصناف الأساسية للزمر

انظر إلى زمرة مصفوفات وإلى تمثيل الزمر.

b=c هذا من جهة اليمين

y*a=b

علاوةً على ذلك، وكذلك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى إذا كان كل من a و b ينتميان إلى G فإن a*x=b

زمر التبديلات

انظر إلى زمرة متناوبة.

إضافةً إلى ذلك، إذا كانت X تحوي n عنصرا وكانت G تتكون من جميع تبديلات X الممكنة، فإن G تسمى زمرة متماثلة. يُرمز إليها حينئذ Sn.

من جهة ثانية، أول صنف من الزمر دُرس هو زمر التبديلات. لتكن X مجموعة ما، ولتكن G مجموعة من التقابلات من X إلى X (والمعروفة باسم تبديلات)، منغلقةً تحت عمليتي التركيب والعكس. G زمرة والعملية المعرِفة لها هي عملية تركيب التبديلات.

نظرية الزمر المنتهية

انظر إلى تصنيف الزمر المنتهية البسيطة.

تمثيل الزمر

تطبيقات نظرية الزمر

من جهة ثانية، تطبيقات نظرية الزمر كثيرة، فأغلب البُنى التي يتطرق إليها الجبر التجريدي هي حالات خاصة من الزمر. الحلقات مثلًا، يمكن أن ينظر إليها على أنها زمر أبيلية (بقانون الجمع) إضافة إلى عملية ثانية تتمثل في الضرب أو الجداء.

• نظرية غالوا
• الطوبولوجيا جبرية
• الهندسة الجبرية

مجموع مباشر للزمر

ومن جهة أخرى، في نظرية الزمر، نقول عن الزمرة G أنها مجموع مباشر لمجموعة من الزمر الجزئية {Hi}:

• إذا تحقق:
• جميع الزمر Hi هي زمر جزئية طبيعية من G.
• كل زوج من الزمر الجزئية لهما تقاطع ضئيل.
• {G = Hi} أي أن G تتشكل عن طريق جمع كافة الزمر الجزئية.
• انظر كذلك
• زمرة
• قائمة مواضيع نظرية الزمر