نهاية دالة

, و

غير صحيحة. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد حيث إذا توفر فإن ).

الجمع والتكامل

قاعدة لوبيتال

تعريفات

ومن جهة أخرى، لتكن , و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد بحيث إذا كانت و إذاً .

قاعدة التسلسل

خصائص

العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)

• لتكن , النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
• لكل يوجد على الأقل نقطة واحدة حيث.
• .

وفي هذا الصدد، يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <ε, عدد ઠ (يعتمد عادة على ε) حيث ان

من جانب آخر، وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

إضافةً إلى ذلك، كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة

أن

• 2)
• الحل:
• لتكن g(x)=x , لكل , إذا كان نختار إذاًو إذا كانت
• , يكون لدينا , بما أن , نستنتج أن
• مما يعني أن

نظرية [معيار المتتابعة

• إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:
• 1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
• 2/ لكل متتابعة في A تتقارب إلى c بحيث لكل , المتتابعه
• تتقارب إلى L

لا تتقارب إلى L

• 2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و
• لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
• ليست تقاربية في R
• أمثلة
• 1/ غير موجودة
• الحل
• نفرض أن إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
• إذا أخذنا المتتابعة لـ حيث ,
• هذا سيؤدي إلى أن لكن

نظرية

وفي السياق ذاته، إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

التاريخ

انظر إلى برنارد بولزانو.

نظرية

وعلى صعيد آخر، العدد هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A بحيث و .

• مثال:
• الفترة المفتوحة كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ.
• النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ لكنها لا تنتمي إلى
• . كل النقاط في هي نقاط تراكم ل

معيار التباعد

من جهة ثانية، 1/ إذا كانت ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة في A و لكل بحيث المتتابعة تتقارب إلى c لكن المتتابعة

لنفرض أن ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم

المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

• لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:
• إذا أعطي جوار لـL
• يوجد جوار لـ c
• بحيث x≠c هي أي نقطة في إذاً

أفترض f(x)=b, لكل, نريد إثبات أن

• ، وإذا كان , نفترض .
• (في الحقيقة في أي موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),
• إذا , ((الواحد تعويض عن ))
• لدينا وبما أن أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية

x10.8414710.10.9983340.010.999983

من جهة ثانية، تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.

وعلى صعيد آخر، للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بدرجة كبيرة من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x إلى حدّ كبير من p.

في هذا الإطار، نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

كذلك، تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:

أمثلة

1)

الحل

وكما نعلم أن المتتابعة

علاوةً على ذلك، ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن غير موجودة.