هزاز توافقي

معادلة شرودنغر

ومن جهة أخرى، إنّ الاختلاف المهم بين معادلة حركة الهزّاز التوافقي ومعادلة شرودنغر الموجية لحركة جسيم (ممثل في حركة موجية) في حفرة كمومية يكمن في أنّه لايوجد هنا جدران تحد من الحركة، ولذلك ليس للهزّاز التوافقي شروط حديّة.

في هذا الإطار، صيغة معادلة شرودنغر للهزّاز التوافقي تصف الجسيم على أنه موجة Ψ وتـُعطى بالعلاقة:

كذلك، يحتاج حل المعادلة التفاضلية السابقة إلى معرفة جيدة بالرياضيات الخاصّة بالمعادلات التفاضليّة ولذلك نكتفي هنا بإعطاء نتيجة الحلِّ، حيث أنّ الطاقة كمومية وتُعطى بالعلاقة:

وفي هذا السياق، نجد للمعادلة السابقة حلا ً عند قيم معيّنة للطاقة (E) منفصلة، ومجموع هذه القيم تـُسمى القيم الخاصّة eigen value لهذه المعادلة.

وهذه المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي:

مهتز توافقي بسيط

ومن جهة أخرى، تتذبذب سرعة وتسارع المذبذب التوافقي البسيط بنفس تردد الموضع، ولكن بأطوار مُزاحة. وتكون السرعة قُصْوَى عندما تكون الإزاحة صفراً، بينما يكون التسارع في الاتجاه المعاكس للإزاحة.

وفي السياق ذاته، حيث تكون الحركة دورية ، تتكرر بشكل جيبي بسعة ثابتة A. فضلًا عن سعتها، تتميز حركة المذبذب التوافقي البسيط بدورتها (زمنها الدوري) ، زمن التذبذب الواحد أو تردده ، عدد الدورات لكل وحدة زمنية. يعتمد الموضع في زمن معين t كذلك على الطور φ ، الذي يحدد نقطة البداية على الموجة الجيبية. تتحدّد الفترة والتردد بحجم الكتلة m وثابت القوة k ، في حين تتحدّد السعة والطور بموضع البداية والسرعة .

ومن ناحية أخرى، المذبذب التوافقي البسيط هو مذبذب ليس مُسَيَّراً ولا مخمداً . يتكون من كتلة m ، والتي تتعرض لقوة مفردة F ، والتي تسحب الكتلة في اتجاه النقطة وتعتمد فقط على الموضع x للكتلة وثابت k . من توازن القوى ( قانون نيوتن الثاني ) للنظام ينتج: بحل هذه المعادلة التفاضلية ، نجد أن الحركة موصوفة بالدالة:

من جهة ثانية، وتعطى الطاقة الكامنة المختزنة في مذبذب توافقي بسيط عند موضع x بالعلاقة:

E_0=1/2. ħω

• حيث:
• هو ثابت بلانك
• المصادر
• انظر كذلك
• رقاص
• معادلة شرودنغر
• ميكانيكا الكم

من جهة ثانية، الأربعة حلول الأولى تعطى بالعلاقات ، حيث: n =0 ،1 ،2 ،3 ، وتنتج التوابع الموجيّة الآتية:

والعجلة

يوضٍّح الشكل (1) تغيرات الطاقة الكامنة للجسيم مع الانزياح.

من جهة ثانية، وتدل العلامة السالبة في المعادلة F = -k.x أن القوة F والإزاحة x في اتجاهين متضادين.

في هذا الإطار، إن طاقة الوضع المختزنة في ياي مشدود بقدر ما تساوي الشغل المبذول في شده، وبالتالي إذا تأثر الياي بقوة مقدارها F فتحرك طرفه الحر إزاحة dx فإن dU=dW=F.dx، حيث U هي طاقة الوضع وW الشغل المبذول. وبالتالي يمكن الحصول على طاقة الوضع كالتالي:

x مسافة إزاحة الجسيم عن نقطة التوازن

و السرعة الزّاويّة (البندولية)

حيث : n=0,1,2,3

وفي هذا السياق، نلاحظ أنّه عندما تكون 0=n ، يأخذ الهزّاز أدنى طاقة كمومية له وهي الحالة القاعية (الحالة الأرضية)، وهي :

إضافةً إلى ذلك، ومن هذه العلاقة نرى أنّ طاقة الهزّاز التوافقي هي طاقة كموية ولها قيم منفصلة، والخطوة في طيف الطاقة هي (ħω).