هندسة تحليلية

أوروبا الغربية

من جانب آخر، عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637. ولكن بيير دي فيرما كان كذلك من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.

في هذا الإطار، الهندسة الديكارتية هي تسمية محتملة للهندسة التحليلية. سميت هكذا نسبة إلى ديكارت.

ميل الخط المستقيم

في هذا الإطار، المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.

• المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:
• م= (y2-y1)/(x2-x1) حيث x1 لا تساوي x2.
• م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.

إضافةً إلى ذلك، ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.

• الهندسة التحليلية المعاصرة
• مراجع
• انظر كذلك
• معادلة خطية
• فضاء متجهي
• ضرب اتجاهي

المسافة والزاوية

في هذا الإطار، لتكن قطعة مستقيمة حيث و معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين و هي :

في هذا الإطار، وفي الشكل المجاور تكون المسافة بين النقطتين و تعطى بالقانون:

بعض القوانين في الهندسة التحيلية

وفي السياق ذاته، مثال الشكل الجبري للدائرة هي : حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.

وعلى صعيد آخر، تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية.

الإحداثيات

في هذا الإطار، في النظام الإحداثي الأسطواني، كل نقطة في الفضاء ممثلة بارتفاعها z، وبشعاعها r المبتعدة به عن المحور z، وبالزاوية θ، التي يكونها إسقاط النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفقيين (أي محوري الأفاصيل والأراتوب).

وفي هذا الصدد، يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور أو محور الأفاصيل، والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور أو محور الأراتيب.

• محوري الإحداثيات يقسمان المستوي الإحداثي إلى أربعة أجزاء :
• الربع الأول: وفيه كل نقطة تحقق الشرطين:.
• الربع الثاني: وفيه كل نقطة تحقق الشرطين:.
• الربع الثالث: وفيه كل نقطة تحقق الشرطين:.
• الربع الرابع: وفيه كل نقطة تحقق الشرطين:.
• كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :
• المحور السيني : وفيه كل نقطة تحقق الشرط:(y = 0).
• المحور الصادي: وفيه كل نقطة تحقق الشرط:(x = 0).
• الإحداثيات القطبية (في المستوى)

في هذا الإطار، ويسمي الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب .

الإحداثيات الكروية (في الفضاء)

إضافةً إلى ذلك، في النظام الإحداثي الكروي، كل نقطة في الفضاء ممثلة بالمسافة التي تفصلها عن أصل المعلم، وبالزاوية التي يكونها إسقاط هذه النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفققين وبالزاوية التي تكونها هذه النقطة نسبة إلى محور الارتفاعات z.

الإحداثيات الديكارتية (في المستوى أو في الفضاء)

علاوةً على ذلك، يحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س، ص) أو بالإنجليزية .

وعلى صعيد آخر، يعمم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستعمال نظام إحداثي أسطواني أو نظام إحداثي كروي.

علاوةً على ذلك، في الهندسة التحليلية، يزود المستوى بنظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجا إحداثيات يعبر عنها بأعداد حقيقية.

ومن ناحية أخرى، في نظام الإحداثيات القطبية، تمثَّل كل نقطة في المستوى الإقليدي بالمسافة r التي تفصلها عن أصل المعلم وبالزاوية θ علما أن هذه الزاوية تُقاس ابتداءا من محور الأفاصيل، من الجهة الموجبة (أي جهة اليمين)، وفي عكس عقارب الساعة. باستعمال هاتين القاعدتين، تمثَّل نقط المستوى بزوج مرتب (r, θ). المرور من نظام إحداثيات ديكارتي إلى نظام إحداثيات قطبي وعكس ذلك مُمكنان باستعمال الصيغ التالية:

من جانب آخر، أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س، ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): . حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستعمل الإحداثي الثالث (ع) أو ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س، ص، ع) أو بالإنجليزية: .

إضافةً إلى ذلك، ترتبط كل نقطة في المستوي بزوج مرتب وحيد من الأعداد وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوي.

.

الإحداثيات الأسطوانية (في الفضاء)

معادلات المنحنيات

علاوةً على ذلك، في الهندسة التحليلية، أي معادلة تمثل مجموعة جزئية من المستوى تسمى مجموعة الحل لهذه المعادلة. مثلًا، المعادلة تمثل مجموعة كل النقط في مستوى التي تكون قيمة إحداثي تساوي قيمة إحداثي . وهذه النقط تكون خطا مستقيما، وتسمى الصيغة بأنها معادلة هذا الخط. وبصورة عامة فإن المعادلات الخطية تمثل خطوطا، والمعادلة التربيعية تمثل قطعا مخروطيا بينما المعادلات ذات الدرجات الأعلى تمثل منحنيات أكثر تعقيدا. فالمعادلة تمثل دائرة نصف قطرها .

كذلك، في الفراغ الثلاثي نجد أن المعادلة عادة ما تمثل سطحا، ويكون المنحنى هو تقاطع سطحين معا.

إضافةً إلى ذلك، وعادة، المعادلة الواحدة يمثلها منحنى في المستوى. ولكن لهذه القاعدة بعض الاستثناءات، فمثلا المعادلة: تمثل كل المستوى، بينما المعادلة فتمثل نقطة واحدة هي .

اليونان القديمة

علاوةً على ذلك، حل عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس معضلات وبرهن على مبرهنات باستعمال طرقا تملك الكثير من الشبه مع نظام الإحداثيات وقد قيل في بعض الإحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.

الفرس

من جهة ثانية، في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.

إحداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة

إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :