تم النشر اليوم 11-12-2025 | جبر خطي التاريخ

التاريخ

يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي  مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه < >حساب الجبر والمقابلة أو < >الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.  < >المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان < >Liber algebrae et almucabala،  روبرت تشستر  (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيرارد أوف كريمونا . وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين . وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج. انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة محدد المحددات ، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف غوتفريد لايبنتس لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حلحلة الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل كارل فريدريش غاوس غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة حذف غاوسي الحذف الغاوسي ، التي نُظر إليها في البداية كتطور في جدس الجيوديسيا . ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في انجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح < >Matrix (< >ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح < >Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات ب محدد المحددات . وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني حسين توفيق باشا كتابًا سماه الجبر الخطي .Archive.org Linear Algebra, by Hussein Tevfik مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحلحلة الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.

مجال الدراسة

الفضاءات المتجهية

تعتبر فضاء متجهي الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل (رياضيات) حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة (رياضيات) مجموعة V أُضيفت إليها عملية ثنائية عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عنصر (رياضيات) عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي متجه جمع المتجهات وطرحها جمع المتجهات . تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجهة ثالثة يُرمز إليها ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجهة ما v وتعطي متجهة جديدة يُرمز إليها ب av. قد تسمى العملية الثانية < > جداء عددي جداء عدديا أو < >ضرباً عدديا للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن جداء قياسي الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا). تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما بديهية الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F. 0 100 - الموضوعة المعنى - عملية تجميعية تجميعية الجمع < >u + (< >v + < >w) (< >u + < >v) + < >w - F8F4FF عملية تبديلية تبادلية الجمع < >u + < >v < >v + < >u - وجود عنصر محايد (رياضيات) العنصر المحايد في الجمع يوجد عنصر 0 ∈ < >V, يسمى < > متجهة منعدمة المتجهة المنعدمة , حيث < >v + 0 < >v مهما كان < >v ∈ < >V. - F8F4FF وجود عنصر معاكس العنصر المعاكس في الجمع مهما كان < >v ∈ V, يوجد عنصر −< >v ∈ < >V, يسمى < > معاكس جمعي < >v, حيث < >v + (−< >v) 0 - توزيعية ضرب عدد حقيقي في مجموع متجهات& sp & sp < >a(< >u + < >v) < >au + < >av - F8F4FF توزيعية ضرب مجموع عددين في متجهة ما (< >a + < >b)< >v < >av + < >bv - التناسق بين الجداء القياسي و الجداء المعرف داخل الحقلF . < >a(< >bv) (< >ab)< >v هاته الموضوعة لا تنص على تجميعية عملية ما, بما أن هناك عمليتان in question, في الجداء القياسي < >bv and field multiplication < >ab. - F8F4FF العنصر المحايد في الجداء القياسي 1< >v < >v, حيث 1 يشير إلى 1 (عدد) المطابق الجدائي في F. قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون دالة رياضية دوالا أو متعددة الحدود متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

إذا كانت < >v متجهة غير منعدمة وكانت < >Tv تساوي < >v مضروبة في عدد ما، فإن المسقيم المار من الصفر ومن < >v هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى < >v القيم الذاتية والمتجهات الذاتية متجهة ذاتية ل T. العدد خ» حيث < >Tv خ»v يسمى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية قيمة ذاتية ل T. من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي

Tv-lambda v (T-lambda ext Id )v 0,

حيث Id هي مصفوفة الوحدة . من أجل حلحلة هاته المعادلة، ينبغي حلحلة المعادلة < >det(T − خ» Id) 0. محدد دالة المحدد هي متعددة الحدود متعددة حدود . إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد < >خ» ينتمي إلى المجموعة R. ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقل مغلق جبريا حقول مغلقة جبريا ، عدد مركب مجموعة الأعداد العقدية مثالا.

التحويلات الخطية

T V o W

T(u+v) T(u)+T(v), quad T(av) aT(v)

نظرية المصفوفات

مقال تفصيلي مصفوفة

الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي

بشكل رسمي، < >جداء داخلي هو تطبيق

langle cdot, cdot angle V imes V ightarrow mathbf F

يحقق بديهية الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F

التماثل مرافق عدد مركب المرافق

langle u,v angle overline langle v,u angle .

لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة عدد حقيقي الأعداد الحقيقية R.

خطية الخطية لدى المدخل الأول

langle au,v angle a langle u,v angle.

langle u+v,w angle langle u,w angle+ langle v,w angle.

كونها موجبة عند تساوي المدخلين

langle v,v angle geq 0 مع تحقق التساوي فقط حين يساوي < >v صفرا.

تطبيقات

حل المعادلات الخطية

مقال تفصيلي نظام معادلات خطية

egin at 7

2x && + && y && - && z && && 8 & qquad (L_1) \r -3x && - && y && + && 2z && && -11 & qquad (L_2) \r -2x && + && y && + && 2z && && -3 & qquad (L_3) end at انظر إلى مصفوفة مثلثية .

مقدمة

بدأ جبر الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي. تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا. يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها عبارة عن مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة عبارة عن قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم اقتصاد الاقتصاد ، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل ناتج قومي إجمالي الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8). وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي كمصطلح تجريدي فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من جبر الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك زمرة ال مصفوفة مصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم مايُدرس خلاله هو

1. المتجهات في Rn وCn
2. جبر المصفوفات
3. المصفوفات المربعة
4. البنى الجبرية
5. الفضاءات والفضاءات الجزئية المتجهية
6. الترابط الخطي، القاعدة، البُعد
7. التطبيقات
8. التطبيقات الخطية
9. فضاءات التطبيقات الخطية
10. المصفوفات والتطبيقات الخطية
11. تغيير القاعدة، والتشابه
12. التعامد والتقطير
13. الحدوديات فوق حقل
14. الأشكال القانونية
15. الداليات الخطية، والفضاءالثنوي
16. الأشكال الخطانية(ثنائية الخطية)والتربيعية والهرميتية
17. المؤثرات الخطية على فضاءات الجداء الداخلي
18. تطبيقات في الهندسة والحسبان

Linear subspaces with shading.svg 250 فضاء إقليدي الفضاء الإقليدي الثلاثي الأبعاد R3 هو فضاء متجهي، والمستقيمات والمستويات المارة من مركز (رياضيات) نقطة المركز هي في حد ذاتها فضاءات متجهية جزئية في R3. الجبر الخطي إنك Linear algebra هو فرع من رياضيات الرياضيات يهتم بدراسة فضاء متجهي الفضاءات المتجهية (أَو الفضاءات الخطية) و تحويل خطي التحويلات الخطية و نظام المعادلات الخطية النظم الخطية . تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعاً مركزياً في رياضيات الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل جبر الجبر الخطي كثيراً في كلا من جبر تجريدي الجبر المجرد و تحليل دالي التحليل الدالي . للجبر الخطي أيضاً أهمية في هندسة تحليلية الهندسة التحليلية . كما أن له تطبيقات شاملة في علوم طبيعية العلوم الطبيعية و علوم اجتماعية العلوم الاجتماعية .