تم النشر اليوم 05-12-2025 | مثلث متساوي الأضلاع خصائص أساسية

خصائص أساسية

• كل المثلثات المتساوية الأضلاع تشابه المثلثات متشابهة .
• ارتفاع (مثلث) الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف ارتفاع (مثلث) القاعدة .
• متوسط (هندسة رياضية) المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي منصف ينصفه .
• يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني .
• AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD ABC ارتفاع (مثلث) ارتفاع Leftrightarrow AD متوسط (هندسة رياضية) متوسط Leftrightarrow AD منصف الزاوية منصف للزاوية A.
• P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P ABC مركز قائم Leftrightarrow P نقطة وسطى Leftrightarrow P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون h frac asqrt 3 2 برهان رياضي البرهان إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه ارتفاع (مثلث) قدمه H فإن H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع السابق ذكرها ). بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC a^2 AH^2 + (frac a 2 )^2 Rightarrow AH^2 frac 3 a ^2 4 Rightarrow AH frac asqrt 3 2 وهو المطلوب إثباته وهو المطلوب .

المساحة

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحة مساحته تعطى بالقانون Area frac a^2sqrt 3 4 البرهان قوانين مساحة المثلث مساحة المثلث ½ الارتفاع × القاعدة مساحة المثلث ½ frac asqrt 3 2 × a , Leftarrow مساحة المثلث المتساوي الأضلاع frac a^2sqrt 3 4 وهو المطلوب.

مبرهنات مهمة

• تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي تثليث الزاوية مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
• مبرهنة نابليون
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة بومبي
• تنص صيغة ل متباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا مساحة المساحة القصوى عندما يكون محيط (هندسة رياضية) المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.

خصائص أخرى

File Equilateral-triangle-heights.svg 300 مثلث متساوي الأضلاع، أطوال أضلاعه متساوية (a b c)، وقياسات زواياه متساوية (alpha eta gamma 60^circ) وارتفاعاته متساوية (ha hb hc). بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن

• طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو R frac a sqrt 3 frac 2h 3
• طول نصف قطر دائرة داخلية الدائرة الداخلية هو r frac a 2sqrt 3 frac R 2 frac h 3
• حسب مبرهنة أويلر (هندسة رياضية) مبرهنة أويلر ، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
• المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
• نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي frac pi 3sqrt 3 ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
• نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع عدد مربع محيطه هي frac 1 12sqrt 3 ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.

الإنشاء الهندسي

مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة إنشاءات الفرجار والمسطرة الفرجار والمسطرة . Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle Triangolo-Equilatero.png تصغير مثلث متساوي الأضلاع. في الهندسة الرياضية ، المثلث المتساوي الأضلاع إنك Equilateral triangle هو مثلث جميع ضلع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زاوية (هندسة) زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس و قياس كل منهما يساوي ستين درجة. المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.