حالات الارتفاع

للارتفاع في المثلث ثلاث حالات إما أن يسقط داخل المثلث أو يكون ضلعاً فيه أو أن يسقط خارجه على امتداد قاعدة الارتفاع. حالات الارتفاع في مثلث.png وسط تصغير 600بك h_1,h_2,h_3 ارتفاعات في المثلثات A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3 على الترتيب

خصائص الارتفاع

الارتفاع في المثلث المتساوي الساقيين.png تصغير 150بك AD ارتفاع في مثلث متطابق الضلعيين، DC DB Sine law.png تصغير 150بك AN b.sin C c.sin B

تعطى قوانين مساحة المثلث مساحة المثلث بالقانون

المساحة ½ الارتفاع × قاعدة الارتفاع.

• إذا كان الارتفاع ضلعاً في مثلث ما فإن هذا مثلث قائم المثلث قائم الزاوية في قدم الارتفاع.
• في أي مثلث ثلاثة ارتفاعات تتقاطع في نقطة واحدة تعرف بـملتقى الارتفاعات ( تستخدم مبرهنة سيفا لاثبات ما سبق).
• الارتفاع الساقط على قاعدة المثلث المتساوي الساقين منصف (هندسة رياضية) ينصفها عند قدم الارتفاع (من تطابق المثلثين ADC و ADB ).
• في أي مثلث ABC، زواياه A,B,C و أطوال أضلاعه a,b,c يعطى طول الارتفاع الساقط على BC بالقانون

h b.sin C c.sin B

حساب طول الارتفاع

في المثلث القائم

الصيغة الأولى

إذا كان الارتفاع h يقسم وتر المثلث القائم الوتر في المثلث ABC القائم في C إلى p و g فإن طول الارتفاع يعطى بالقانون h^2 pg برهان رياضي البرهان إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن المثلثان HBC و HCA تشابه المثلثات متشابهان و من التشابه ينتج frac CH HB frac HA CH Right triangle abchpq.svg 180بك تصغير h ارتفاع في مثلث قائم الزاوية Rightarrow CH^2 HB.HA و وهو المطلوب إثباته هو المطلوب .

الصيغة الثانية

إذا كانت a,b,c أطوال أضلاع المثلث ABC القائم في C فإن الارتفاع الساقط على AB يعطى بالقانون h frac ab c البرهان إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن AC ارتفاع Leftarrow مساحة المثلث ½ BC × AC كذلك CH ارتفاع Leftarrow مساحة المثلث ½ AB × CH Rightarrow AC.BC AB.CH Rightarrow CH frac AC.BC AB و هو المطلوب.

في المثلث المتساوي الأضلاع

الارتفاع في مثلث متقايس الاضلاع.png 180بك تصغير اذا كان a طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع المثلث المتطابق الأضلاع فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون h frac asqrt 3 2 البرهان ِِإذا كان ABC مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن H منتصف BC ( من خواص الارتفاع السابق ذكرها ). بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC a^2 AH^2 + (frac a 2 )^2 Rightarrow AH^2 frac 3 a ^2 4 Rightarrow AH frac asqrt 3 2 و هو المطلوب.

ملتقى الارتفاعات

Triangle.Ortho .svg تصغير 150بك ملتقى الارتفاعات حالات ملتقى الارتفاعات.png تصغير 300 بك حالات ملتقى الارتفاعات ملتقى الارتفاعات (orthocentre), أو المركز القائم لمثلث هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. تتقاطع الارتفاعات في مثلث في نقطة واحدة ولذلك يكفي لإيجاد نقطة ملتقى الارتفاعت رسم ارتفاعين فقط في أي مثلث. كما هو الحال في الارتفاعات فإن لملتقى الارتفاعات ثلاث حالات إما أن تكون داخل المثلث أو تكون رأساً في المثلث أو تكون خارجة عن المثلث. Cross section in tetrahedron.png تصغير 300 بك يسار مقطع قائم في هرم ثلاثي يظهر بأن نقطة التقاء ارتفاعات المثلث abc المشكل للمقطع تمر بالعمود ED من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له. في الهندسة الفراغية ، عندما يمثل المثلث مقطع قائم لهرم ثلاثي، فإن ملتقى ارتفاعات هذا المثلث يقع على المستقيم العمود من رأس الهرم المقطوع على الوجه المقابل له.

اقرأ أيضاً

• مثلث
• متوسط (هندسة رياضية) متوسط المثلث
• مبرهنة فيثاغورس
• نقاط هامة للمثلث
• قوانين مساحة المثلث

شريط بوابات رياضيات هندسة رياضية تصنيف هندسة مثلثية تصنيف هندسة المثلث تصنيف مثلثات Sine law.png تصغير AN ارتفاع و BC قاعدة الارتفاع و النقطة N قدم الارتفاع في هندسة رياضية الهندسة الرياضية ، الارتفاع في المثلث هو خط مستقيم (رياضيات) الخط عمودي العمودي النازل من إحدى زاوية (هندسة) زوايا مثلث المثلث إلى الضلع المقابل لهذه ال زاوية (هندسة) زاوية أو امتداد هذا الضلع. و يعرف هذا الضلع المقابل لهذه الزاوية بـقاعدة الارتفاع، بينما تسمى نقطة التقاطع بين الارتفاع و قاعدته بـقدم الارتفاع.