نظرة شاملة

تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية المعادلة

(x+1)^2 -9 ,

لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربع عدد حقيقي إما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد المركبة تمنح حلا لهاته المعضلة. الفكرة هي تمديد الحقول تمديد الأعداد الحقيقية وحدة تخيلية بالوحدة التخيلية i حيث i^2 -1, مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة. في هذه المعادلة الحل هو math −1 ± 3< >i . هكذا، ليس فقط تصبح جميع معادلة تربيعية المعادلات التربيعية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة، بل أيضا، تصبح جميع معادلة جبرية المعادلات الحدودية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة باستعمال الأعداد العقدية.

تعريف

Complex conjugate picture.svg upright بيان المستوى العقدي للمستوى العقدي . الجزء الحقيقي لعدد مركب nowrap 1 < >z < >x + < >iy هو < >x, وجزءه التخيلي هو < >y. عدد مركب هو عدد يُكتب على الشكل التالي

a+bi,

حيث a و b عددان حقيقيان و i هي < > وحدة تخيلية الوحدة التخيلية , وتحقق < >i2 −1. على سبيل المثال، -3.5 +2i هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقدي a+0i ب a وإلى العدد العقدي 0+bi ب bi . بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكل a - bi حيث b موجب بدلا من a + (-b)i . على سبيل المثال، يُكتب 3-4i بدلا من 3+(-4)i . رمز مجموعة (رياضيات) مجموعة الأعداد العقدية هو mathbf C أو mathbb C . العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z a+ bi يسمى < >الجزء الحقيقي ل z، بينما يسمى b < >الجزء التخيلي ل z. هكذا، < >الجزء التخيلي لعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (â„œ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (â„‘(z. على سبيل المثال،,

operatorname Re (-3.5 + 2i) -3.5,

operatorname Im (-3.5 + 2i) 2.

أحيانـًا, يُكتب العدد المركب z على الصورة z a + bj (خصوصـًا في مجال هندسة كهربية الهندسة الكهربية ، وذلك باستخدام الرمز j بدلا من i ، لأن i هو رمز تيار كهربي التيار الكهربي )

المستوى العقدي

مقال تفصيلي المستوى العقدي Complex number illustration.png رُسم عدد عقدي على شكل نقطة (باللون الأحمر) وعلى شكل متجهة (باللون الأزرق) في المستوى العقدي رسم أرغند البياني a+bi التعبير < >المستطيلي للنقطة. يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أو متجه ينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أو المستوى العقدي رسم أرغند البياني , المسمى هكذا نسبة إلى جون روبرت أرغند . عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المحور العمودي.

العمليات الأساسية

نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة mathbb R يمكن تطبيقها على الأعداد المركبة. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي

مرافق عدد مركب

مرافق عدد مركب مرافق العدد المركب x + yi, هو العدد المركب x - yi,. يُرمز لمرافق العدد المركب z بالرمز ar z . هندسيا، ar z هو انعكاس z حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته ar ar z z. يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد مركب ما، كما تبين المعادلتان التاليتان

operatorname Re ,(z) frac 1 2 (z+ar z ),

operatorname Im ,(z) frac 1 2i (z-ar z ). ,

بالإضافة إلى ذلك، فإن عددا مركبا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه. البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية

• overline z+w ar z + ar w , أي أن مرافق مجموع عددين مركبين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع.
• overline z w ar z ar w , أي أن مرافق حاصل ضرب عددين مركبين هو حاصل ضرب المرافقين لهذين العددين.
• overline (z/w) ar z /ar w , أي أن مرافق حاصل قسمة عددين مركبين هو حاصل قسمة المرافقين لهذين العددين.

مقلوب عدد مقلوب عدد مركب ما مختلف عن الصفر z x + yi,، هو

frac 1 z frac ar z z ar z frac ar z x^2+y^2 .

لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من البسط والمقام في العدد المرافق للمقام. الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يسمى معيار العدد المركب.

الجمع والطرح

Vector Addition.svg يمكن أن يُجمع عددان مركبان بطريقة هندسية وذلك بإنشاء متواز للأضلاع. تتم عملية الجمع كما يلي (a + bi)+(a' + b'i) (a+a')+(b+b')i , وكذلك عملية الطرح كما يلي (a + bi)-(a' + b'i) (a-a')+(b-b')i , يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.

الضرب والقسمة

تتم عملية الضرب كما يلي (a + bi) (a' + b'i) (aa' - bb') + (ab' + a'b)i , تتم عملية القسمة كما يلي frac a + bi a' + b'i frac (aa'+bb')+i(a'b-ab') a'^2+b'^2 ,

الجذر التربيعي

انظر أيضا جذر تربيعي الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (مع < >b ≠ 0) هما pm (gamma + delta i) حيث

gamma sqrt frac a + sqrt a^2 + b^2 2

و

delta sgn (b) sqrt frac -a + sqrt a^2 + b^2 2

حيث sgn هي دالة الإشارة .

تمثيل الأعداد المركبة

إذا كان z عددا مركبا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي

التمثيل الجبري

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل

,z a+bi

التمثيل الهندسي

الأعداد المركبة بشكلها الجبري z a+bi لذا فكل عدد مركب هو زوج مرتب (a,b) في محور الأعداد, وكل زوج كهذا يمكن حساب إحداثياته بواسطة الزاوية المتكونة من التقاء محور x مع الخط المستقيم الخارج من نقطة الأصل ويمر في الزوج (a,b), وأيضا بواسطة طول الخط المحصور بين (a,b) و- (0,0). هذه الإمكانية تسمح لنا بصياغة العدد المركب بالشكل التالي

z r(cos heta+ isin heta ),

حيث

r sqrt a^2+b^2

heta ,tan^ -1 (frac b a )

التمثيل الأسي

يكتب العدد على شكل

,z z .e^ i heta

حيث

z sqrt a^2+b^2

heta ,tan^ -1 (b/a)

الخصائص

بنية الحقل

حلول المعادلات الحدودية

ليكن math < >a0, …, < >a< >n أعدادا مركبة (تسمى معامل معاملات ). للمعادلة

a_n z^n + dotsb + a_1 z + a_0 0

حل واحد على الأقل z، إذا افتُرض أنه على الأقل أحد الأعداد ذات الدرجات الأعلى، math < >a1, …, < >a< >n غير مساو للصفر. هذا هو نص المبرهنة الأساسية في الجبر . لهذا السبب، يُقال عن المجموعة C أنها حقل مغلق جبريا . هذه الخاصية ليست متوفرة في عدد كسري حقل الأعداد الجذرية Q (ليس لمتعددة الحدود math < >x2 − 2 من جذر كسري بما أن حلها هو الجذر التربيعي ل 2 sqrt 2 و هو عدد غير كسري). مجموعة عدد حقيقي الأعداد الحقيقية R لا تمتلك هي أيضا هذه الخاصية (ليس لمتعددة الحدود math < >x2 + < >a من جذر حقيقي عندما يكون a موجبا قطعا). انظر إلى مبرهنة ليوفيل (تحليل مركب) مبرهنة ليوفيل وإلى طوبولوجيا وإلى نظرية غالوا وإلى مصفوفة مربعة وإلى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية .

التحليل العقدي

Sin1perz.png 270 Color wheel graphs of complex functions Color wheel graph of sin(1/< >z). الأجزاء السوداء في وسط الصورة تشير إلى أعداد لها قيم مطلقة كبيرة. مقال تفصيلي تحليل عقدي دراسة الدوال اللائي متغيراتها أعداد مركبة، تسمى تحليل عقدي التحليل العقدي ، وله تطبيقات هائلة في رياضيات تطبيقية الرياضيات التطبيقية كما في باقي فروع الرياضيات. عادة، البراهين الأكثر بساطة في تحليل حقيقي التحليل الحقيقي وحتى في نظرية الأعداد تستعمل تقنيات مستمدة من التحليل العقدي (انظر مبرهنة الأعداد الأولية على سبيل المثال).

الدوال التامة الشكل

يقال عن دالة < >f&thinsp C → C أنها دالة تامة الشكل إذا حققت معادلات كوشي-ريمان . على سبيل المثال، كل تحويل خطي C → C يكتب على الشكل

f(z) az+boverline z

حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكل إذا وفقط إذا كان b مساويا للصفر.

لحق نقطة ولحق متجهة

Complex number.svg تصغير تمثيل هندسي لعدد مركب المستوى mathcal P منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم) (O vec u , vec v )، التطبيق الذي يربط كل عدد مركب z , جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة < >M التي زوج احداثياتها (a, b) , من mathcal P ، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب a + bi, يسمى 'لحق' النقطة < >M ويرمز له بالرمز mathrm Aff (M), التطبيق الذي يربط كل عدد مركب جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة vec u من mathcal V التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب a + bi, يسمى 'لحق' المتجهة vec u.

تطبيقات

نظرية التحكم

نظرية التحكم

جريان الموائع

انظر إلى جريان الموائع .

معالجة الإشارة

تستعمل الأعداد المركبة في معالجة الإشارة .

الهندسة الرياضية

الهندسة الكسيرية

عد من هندسة كسيرية الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثال مجموعة ماندلبرو و مجموعة جوليا مجموعات جوليا .

المتلثات

انظر إلى مبرهنة ماردن وإلى دالة تكعيبية .

نظرية الأعداد الجبرية

Pentagon construct إنشاء متعدد منتظم للأضلاع إنشاءات الفرجار والمسطرة باستعمال الفرجار والمسطرة . لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات مركبة، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمى عدد جبري أعداد جبرية . تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي في النظرية الجبرية للأعداد . انظر إلى حقل (رياضيات) وإلى حقل الأعداد الجبرية وإلى جذور الوحدة (تحليل عقدي) وإلى تساعي (مضلع) وإلى إنشاءات الفرجار والمسطرة وإلى عدد طبيعي غاوسي وإلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين .

نظرية الأعداد التحليلية

تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية, مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان math خ¶(< >s) بتوزيع عدد أولي الأعداد الأولية .

التاريخ

أول إشارة سريعة إلى جذر تربيعي الجذور المربعة عدد سالب للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال الرياضيات الإغريقية عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري , الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد. انظر إلى جيرولامو كاردانو وإلى المبرهنة الأساسية في الجبر . NegativeOne3Root.svg الجذور المكعبة الثلاثة ل 1-, اثنان منها أعداد مركبة

تعميمات ومفاهيم متعلقة بالأعداد المركبة

ميز مركب دالة Complex number illustration.svg يمكن أن يُمثل عدد عقدي على شكل زوج من الأعداد الحقيقية math (< >a, < >b) مكونا بذالك متجهة على مخطط يسمى مستوى عقدي مخطط أرغند , ممثلا مستوى عقدي المستوى العقدي . Re هو محور الأعداد الحقيقية, Im هو محور الأعداد التخيلية, و math < >i هو وحدة تخيلية الوحدة التخيلية والتي تحقق المعادلة math 1 < >i2 −1 . العدد المركبقاموس المورد، البعلبكي، بيروت، لبنان. أو العدد العقدي إنك Complex number هو أي عدد يُكتب على الصورة a+bi, حيث a و b عدد حقيقي عددان حقيقيان و i عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن i² -1) ويسمى وحدة تخيلية . ويسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي. و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) مساوياً ل 0، فإن قيمة العدد المركب تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط ، ويسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا. وعندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـًا صرفـًا. من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصةً في عملية القسمة. ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط. عندما وجد الرياضيون أن المعادلة (x² -1) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضياتيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نقوله صحيحا أم لا، لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو وحدة تخيلية العدد التخيلي i. وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1. وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد -1 جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد i) فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا